دالة الجيب الزائدية

منحنى دالة الجيب الزائدي على جزء من ℝ.

الجيب الزائدي (بالفرنسية: Sinus Hyperbolique)‏ في الرياضيات هي دالة زائدية لها خصائص ومميزات مُعَرِّفَة لها.

تعريف

يُرمز لدالة الجيب الزائدي بـ Sinh (أو hs) وهي معرفة بالعلاقة التالية:

$\sinh :z\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}$

حيث $z\mapsto \mathrm {e} ^{z}$ هو الأس المركب.

دالة الجيب الزائدي هي دالة فردية.

دالة الجيب الزائدية هي الدالة المتناظرة لجيب الزاوية في الهندسة الزائدية.

خصائص

الخصائص العامة

• sinh هي دالة متصلة (مستمرة)، كما أنها دالة تامة الشكل؛ يعني أنها قابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية من المشتقات، أما مشتقتها الأولى فهي دالة جيب التمام الزائدي التي يُعبر عنها بـ Cosh.
• sinh هي دالة زوجية.
• المشتق العكسي لـ sinh هو Cosh + C، حيث أن C عدد ثابت لا متغير.
• عند القيام بعمليات تطبيقية لـ sinh على المجال ℝ فإن الدالة تكون رتيبة، بينما تكون مقعرة على المجال ]-∞,0[ في حين تكون محدبة على ]0,+∞[.

الخصائص المثلثية

من خلال تعاريف الدالتين (الجيب التام الزائدي والجيب الزائدي)، يًمكن استنتاج المتساويات التالية:

$\mathrm {e} ^{z}=\cosh(z)+\sinh(z)$

$\mathrm {e} ^{-z}=\cosh(z)-\sinh(z)$

هذه المتساويات هي مماثلة لصيغة أويلر في علم المثلثات الكلاسيكية.

إذا كانت الإحداثيات (cos(t), sin(t)) تُكون دائرة، فإن نفس الإحداثيات (cos(t)، sin(t)) تُحددان القطع الإيجابي من القطع الزائد، إذن لكل $t>0$ فإن:

$\cosh ^{2}\left(t\right)-\sinh ^{2}\left(t\right)=1$.

من ناحية أخرى، لكل $x\in \mathbb {R}$ :

$\sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\mathrm {i} \sin(x)$ ;

$\sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)$ ;

$\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)$ ;

$\sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2}}$.

استخدام الصيغ المثلثية مثل $\tan(2t)={\frac {2\tan t}{1-\tan ^{2}t}}$ يُمَكِّنُ من الحصول على علاقات أكثر تفصيلا، وذلك على غرار:

$\sinh(x)={\frac {-1}{\tan \left(2\arctan \left(\mathrm {e} ^{x}\right)\right)}}$ ;

دالة الجيب الزائدي في سلسلة تايلور

في سلسلة تايلور، يُصبح تعبير دالة Sinh على الشكل التالي:

$\sinh z=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+\dots =\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$.

القيم

هذه بعض قيم دالة Sinh:

• $\sinh(0)=0$ ;
• $\sinh(1)={\frac {\mathrm {e} ^{2}-1}{2\mathrm {e} }}$ ;
• $\sinh(\mathrm {i} )=\mathrm {i} \sin(1)$.

الأصفار

كل جذور دالة Sinh ${\displaystyle }$ هي أعداد خيالية محضة حيث $z\in \mathbb {C} \quad \sinh(z)=0\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \pi \mathbb {Z}$.

الدالة العكسية

رسم بياني للدالة العكسية للجيب الزائدي على جزء من ℝ.

الدالة sinh تقبل دالة عكسية يُرمز لها بـ arsinh (أو argsinh أو argsh أو في بعض الأحيان sinh^-1)، وتُسمى الدالة العكسية لدالة الجيب الزائدي، وهي دالة متعددة الجوانب، لكن لها فرع رئيسي وعادة ما يكون معرف على: $\left]-\infty \mathrm {i} ,-\mathrm {i} \right]$ et $\left[\mathrm {i} ,+\infty \mathrm {i} \right[$ :
بحيث:

$\operatorname {arsinh} (z)=\log \left(z+{\sqrt {1+z^{2}}}\right)$,

وبما أن $\log$ و${\sqrt {~}}$ هي دوال تنتمي إلى اللوغاريتم العقدي والجذر التربيعي المعقد، إذن إذا كانت $\sinh Z=z$ فإن:

$\cosh ^{2}Z=1+z^{2}$ أو $\mathrm {e} ^{Z}=\sinh Z+\cosh Z$

البناء الهندسي لدالة sinh في ℝ على ℝ يُحقق إذن المتساوية التالية:

$\operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)$.