File:01-71-Eck-Quadratrix.svg

Beschreibung01-71-Eck-Quadratrix.svg	Deutsch: 71-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel English: 71-gon, exact construction using the quadratrix of Hippias as an additional aid
Datum	23. November 2017
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
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Das regelmäßige 71-Eck ist unter alleiniger Verwendung der klassischen Konstruktionsmittel Zirkel und Lineal nicht konstruierbar. Ein zusätzliches Hilfsmittel zur Dreiteilung beliebiger Winkel reicht ebenfalls nicht aus. Nimmt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel, das die Teilung des 90-Grad-Winkels in ${\displaystyle n}$ gleich große Winkel erlaubt, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine exakte Lösung möglich. Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, sind aber in der einschlägigen Literatur nicht erwähnt.

• Um von einem regelmäßigen 71-Eck den Zentriwinkel ${\displaystyle \mu }$ mithilfe der Quadratrix des Hippias zu finden, ist zuerst eine sogenannte Hilfsstrecke zu konstruieren, deren Gesamtlänge ${\displaystyle 71}$ gleich langer Teile entspricht, aber die Abschnitte aus den Radien ${\displaystyle 2,4,8,16,32,8}$ und ${\displaystyle 1}$ (Summe ${\displaystyle =71}$) zusammengesetzt sind.

• Der Zentriwinkel des 71-Ecks ergibt sich aus ${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{71}},}$ aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab ${\displaystyle >0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle \leq 90^{\circ }}$ in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Einundsiebzigstel der Strecke ${\displaystyle {\overline {MC}}}$ kann nur ein Einundsiebzigstel des Winkels ${\displaystyle 90^{\circ }}$ erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ aus dem Umkreis mit seinen ${\displaystyle 360^{\circ },}$ das Vierfache eines Einundsiebzigstel, d. h. der Teilungspunkt ${\displaystyle 4}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {MC}},}$ zur Konstruktion des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ genutzt.

• Es ist nicht erforderlich die Strecke ${\displaystyle {\overline {MC}}}$ in ${\displaystyle 71}$ einzelne, gleich lange Teile zu unterteilen, denn man benötigt davon nur die Länge von ${\displaystyle 4}$ Teilen. Des Weiteren ist es bei einer sehr hohen Anzahl der Teilungen (sehr kleine Zirkelöffnung für z. B. ${\displaystyle 1}$ Teil) vorteilhaft, den Durchmesser des Umkreises als Summe von ${\displaystyle 71}$ gleich langen Teilen festzulegen. Aufgrund dessen wird im Folgenden die sogenannte Hilfsstrecke nur aus ${\displaystyle 7}$ Radien – jeweils ein Vielfaches eines Einundsiebzigstel – zusammengesetzt.

Nach dem Zeichen des Kreises um dessen Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ und des Quadrates ${\displaystyle ME_{1}BC}$, z. B. mit der Seitenlänge ${\displaystyle 1}$, erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung ${\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$:^[1][2]

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}}$

Es geht weiter mit dem Einzeichnen des Durchmessers ${\displaystyle {\overline {D,0\;C}}}$ sowie einer Geraden durch den Winkelscheitel ${\displaystyle D,0}$ mit beliebiger Winkelweite (vorteilhaft ca. 15°– 30°) zum Durchmesser. Nun nimmt man einen geschätzten Radius in den Zirkel der mind. 36-mal auf der Geraden ab dem Punkt ${\displaystyle D,0}$ Platz hat und zieht damit einen Kreis um ${\displaystyle D,0}$, dabei ergeben sich die Schnittpunkte ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle F.}$

Es folgt die Festlegung der sogenannten Hilfsstrecke mit den Radien ${\displaystyle 4}$ (z. B. ${\displaystyle {\overline {2F}}}$ um Schnittpunkt ${\displaystyle 2),}$ ${\displaystyle 8,16,32,8}$ und ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (}$durch Halbierung der Strecke ${\displaystyle {\overline {D,0\;2}}),}$ jeweils um den zuvor erzeugten Schnittpunkt. Die damit erzeugten Schnittpunkte sind ${\displaystyle 6,14,30,62,70}$ und ${\displaystyle 71.}$ Nach dem Verbinden des Punktes ${\displaystyle 71}$ mit ${\displaystyle C}$ wird die Hilfsstrecke ${\displaystyle {\overline {D,0\;71}}}$ in ${\displaystyle G,0'}$ halbiert und Punkt ${\displaystyle G,0'}$ mit ${\displaystyle M}$ verbunden. Die Strecke ${\displaystyle {\overline {D,0\;F}}}$ (entspricht ${\displaystyle 2}$ gleich langen Teilen der Hilfsstrecke ${\displaystyle {\overline {D,0\;71}}}$) ab ${\displaystyle G,0'}$ abgetragen ergibt den Schnittpunkt ${\displaystyle 2'.}$ Eine sich daran anschließende Parallele zu ${\displaystyle {\overline {G,0'\;M}}}$ ab Punkt ${\displaystyle 2'}$ bringt, da sich die Streckenteilung auf dem Durchmesser bezieht, den Teilungspunkt ${\displaystyle 4}$ auf der Strecke ${\displaystyle {\overline {MC}}.}$ Nach dem Einzeichnen einer Parallelen zu ${\displaystyle {\overline {ME_{1}}}}$ ab den Teilungspunkt ${\displaystyle 4}$ bis zur Kurve der Quadratrix des Hippias, ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle H}$. Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle H}$ bis zum Umkreis. Somit ergibt sich der Zentriwinkel ${\displaystyle \mu }$ und auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt ${\displaystyle E_{2}.}$ Die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}$ ist die exakte Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des regelmäßigen 71-Ecks.

Nach dem Abtragen der noch fehlenden Seitenlängen ${\displaystyle a}$ auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte, ist das 71-Eck ${\displaystyle E_{1}\ldots E_{71}}$ fertiggestellt.

• Strahlensatz

1. ↑ Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Verlag Vieweg+Teubner 2003, S. 45–48 Die Quadratur des Kreises (Auszug Google), abgerufen am 24. März 2018
2. ↑ Horst Hischer: Mathematik in der Schule 32 (1994) 5, Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme, ab Seite 279, abgerufen am 24. März 2018

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