Wikipedista:Jirka Fiala/Pískoviště - en

V lineární algebře je ortogonální matice nebo ortonormální matice skutečná čtvercová matice, jejíž sloupce a řádky jsou ortonormální vektory .

Jedním ze způsobů, jak to vyjádřit, je $Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,$ kde ${\boldsymbol {Q}}^{T}$ je transpozice ${\boldsymbol {Q}}$ a ${\boldsymbol {I}}$ je matice identity .

To vede k ekvivalentní charakterizaci: matice ${\boldsymbol {Q}}$ je ortogonální, pokud je její transpozice rovna její inverzní : $Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},$ kde Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle \boldsymbol{Q}^{−1}} je převrácená hodnota ${\boldsymbol {Q}}$ .

Ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}$ je nutně invertibilní (s inverzní $1=<math>{\boldsymbol {Q}}$^{−1} = ${\boldsymbol {Q}}$^{T}</math> ), unitární ( $1=<math>{\boldsymbol {Q}}$^{−1} = ${\boldsymbol {Q}}$^{∗}</math> ), kde Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle \boldsymbol{Q}^{∗}} je hermitovský adjoint ( konjugovaná transpozice ) ${\boldsymbol {Q}}$, a proto normální ( $1=<math>{\boldsymbol {Q}}$^{∗}${\boldsymbol {Q}}$ = QQ^{∗}</math> ) přes reálná čísla . Determinant jakékoli ortogonální matice je buď +1 nebo -1. Jako lineární transformace ortogonální matice zachovává vnitřní produkt vektorů, a proto se chová jako izometrie euklidovského prostoru, jako je rotace, odraz nebo rotoreflection . Jinými slovy, je to unitární transformace .

Soubor $n\times n$ ortogonálních matic, pod násobením, tvoří skupinu ${\boldsymbol {O}}(n)$, známou jako ortogonální grupa . Podgrupa ${\boldsymbol {S}}O(n)$ sestávající z ortogonálních matic s determinantem +1 se nazývá speciální ortogonální grupa a každý její prvek je speciální ortogonální maticí. Jako lineární transformace funguje každá speciální ortogonální matice jako rotace.

Přehled

Vizuální chápání násobení transpozicí matice. Je-li A ortogonální matice a B je její transpozice, ij-tý prvek součinu AA ^{T} zanikne, pokud i≠j, protože i-tá řada A je ortogonální k j-té řadě A.

Ortogonální matice je skutečnou specializací unitární matice, a tedy vždy normální matice . Ačkoli zde uvažujeme pouze skutečné matice, lze definici použít pro matice se záznamy z libovolného pole . Ortogonální matice však přirozeně vyvstávají z tečkových produktů a pro matice komplexních čísel to vede místo toho k jednotnému požadavku. Ortogonální matice zachovávají bodový součin tedy pro vektory $'<math>u$$v$'</math> v v $n$ rozměrném reálném euklidovském prostoru ${\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\left(Q{\boldsymbol {u}}\right)\cdot \left(Q{\boldsymbol {v}}\right)$ kde ${\boldsymbol {Q}}$ je ortogonální matice. Chcete-li vidět vnitřní spojení produktu, zvažte vektor $'<math>v$'</math> v $n$ -rozměrném reálném euklidovském prostoru . Psáno s ohledem na ortonormální základ, druhá mocnina délky $'<math>v$'</math> je $'<math>v$'^{T}'$v$'</math> . Pokud lineární transformace v maticovém tvaru $<math>{\boldsymbol {Q}}$'$v$'</math> zachovává vektorové délky, pak

Konečně-dimenzionální lineární izometrie – rotace, odrazy a jejich kombinace – tedy vytvářejí ortogonální matice. Opak je také pravdou: ortogonální matice implikují ortogonální transformace. Nicméně, lineární algebra zahrnuje ortogonální transformace mezi prostory, které mohou být žádný konečný-rozměrný ani stejného rozměru, a tito mají žádný ortogonální maticový ekvivalent.

Ortogonální matice jsou důležité z mnoha důvodů, teoretických i praktických. Ortogonálních matic $n\times n$ tvoří grupu pod maticovým násobením, ortogonální grupu označovanou ${\boldsymbol {O}}(n)$, která se svými podgrupami je široce používána v matematice a fyzikálních vědách. Například bodová skupina molekuly je podskupinou O(3). Protože verze ortogonálních matic s pohyblivou řádovou čárkou mají výhodné vlastnosti, jsou klíčem k mnoha algoritmům v numerické lineární algebře, jako je ${\boldsymbol {Q}}R$ rozklad . Jako další příklad, s vhodnou normalizací, je diskrétní kosinusová transformace (používaná při kompresi MP3 ) reprezentována ortogonální maticí.

Elementární konstrukce

Nižší rozměry

Nejjednodušší ortogonální matice jsou matice 1 × 1 [1] a [−1], které můžeme interpretovat jako identitu a odraz skutečné čáry napříč počátkem.

Matice 2 × 2 mají tvar ${\begin{pmatrix}p&t\\q&u\end{pmatrix}},$ které ortogonalita vyžaduje, splňují tři rovnice ${\begin{aligned}1&=p^{2}+t^{2},\\1&=q^{2}+u^{2},\\0&=pq+tu.\end{aligned}}$

S ohledem na první rovnici, bez ztráty obecnosti nechť $1=<math>p$ = cos \theta</math>, $1=<math>q$ = sin \theta</math> ; pak buď $1=<math>t$ = −$q$</math>, $1=<math>u$ = $p$</math> nebo $1=<math>t$ = $q$</math>, $1=<math>u$ = −$p$</math> . První případ můžeme interpretovat jako rotaci o $\theta$ (kde $1=\theta =0$ je identita) a druhý jako odraz přes přímku pod úhlem

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\text{ (rotation), }}\qquad {\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\text{ (reflection)}}$

Speciální případ odrazové matice s Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle 1=\theta = 90°} generuje odraz kolem přímky pod úhlem 45° daný vztahem $1=<math>y$ = $x$</math> a proto vyměňuje $x$ a $y$ ; je to permutační matice s jednou 1 v každém sloupci a řádku (a jinak 0): ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Identita je také permutační matice.

Odraz je vlastní inverzní, což znamená, že matice odrazu je symetrická (rovná se její transpozici) i ortogonální. Součin dvou rotačních matic je rotační matice a součin dvou reflexních matic je také rotační matice.

Vyšší rozměry

Bez ohledu na rozměr je vždy možné klasifikovat ortogonální matice jako čistě rotační nebo ne, ale pro matice 3 × 3 a větší mohou být nerotační matice komplikovanější než odrazy. Například, ${\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}{\text{ and }}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

představují inverzi přes počátek a rotoinverzi kolem osy $z$ .

Rotace se ve vyšších dimenzích stávají komplikovanějšími; již nemohou být zcela charakterizovány jedním úhlem a mohou ovlivnit více než jeden rovinný podprostor. Je běžné popisovat matici rotace 3 × 3 pomocí osy a úhlu, ale funguje to pouze ve třech rozměrech. Nad třemi rozměry jsou potřeba dva nebo více úhlů, každý spojený s rovinou rotace .

Máme však základní stavební kameny pro permutace, odrazy a rotace, které platí obecně.

Primitivové

Nejelementárnější permutací je transpozice, získaná z matice identity výměnou dvou řádků. Libovolnou $n\times n$ permutační matici lze zkonstruovat jako součin maximálně Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle n − 1} transpozic.

Householderův odraz je konstruován z nenulového vektoru $'<math>v$'</math> as $Q=I-2{\frac {{\boldsymbol {v}}{\boldsymbol {v}}^{\mathrm {T} }}{{\boldsymbol {v}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {v}}}}.$

Zde je čitatelem symetrická matice, zatímco jmenovatelem je číslo, druhá mocnina $'<math>v$'</math> . Toto je odraz v nadrovině kolmé k $'<math>v$'</math> (negující jakoukoli složku vektoru rovnoběžnou s $'<math>v$'</math> ). Je-li $'<math>v$'</math> jednotkový vektor, pak $1=<math>{\boldsymbol {Q}}$ = ${\boldsymbol {I}}$ − 2vv^{T}}}1</math> lze zkonstruovat jako součin nejvýše $n$ takových odrazů.

Givensova rotace působí na dvourozměrný (rovinný) podprostor překlenutý dvěma souřadnicovými osami, které se otáčí o zvolený úhel. Obvykle se používá k vynulování jedné subdiagonální položky. Jakoukoli rotační matici o velikosti $n\times n$ lze zkonstruovat jako součin maximálně

Jacobiho rotace má stejný tvar jako Givensova rotace, ale používá se k vynulování obou off-diagonálních vstupů symetrické podmatice 2 × 2 .

Vlastnosti

Vlastnosti matice

Skutečná čtvercová matice je ortogonální právě tehdy, když její sloupce tvoří ortonormální základ euklidovského prostoru $'<math>{\boldsymbol {R}}$'^{$n$}</math> s obyčejným euklidovským tečkovým součinem, což je případ právě tehdy, když její řádky tvoří ortonormální základ $'<math>{\boldsymbol {R}}$'^{$n$}</math> . Mohlo by být lákavé předpokládat, že matice s ortogonálními (nikoli ortonormálními) sloupci by se nazývala ortogonální matice, ale takové matice nemají žádný zvláštní význam a nemají žádné zvláštní jméno; splňují pouze $1=<math>{\boldsymbol {M}}$^{T}${\boldsymbol {M}}$ = ${\boldsymbol {D}}$</math>, s ${\boldsymbol {D}}$ diagonální maticí .

Determinant jakékoli ortogonální matice je +1 nebo -1. Vyplývá to ze základních faktů o determinantech takto: $1=\det(I)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }Q\right)=\det \left(Q^{\mathrm {T} }\right)\det(Q)={\bigl (}\det(Q){\bigr )}^{2}.$

Opak není pravda; mít determinant ±1 není zárukou ortogonality, a to ani u ortogonálních sloupců, jak ukazuje následující protipříklad. ${\begin{pmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

S permutačními maticemi se determinant shoduje se signaturou, přičemž je +1 nebo -1, protože parita permutace je sudá nebo lichá, protože determinant je střídající se funkcí řádků.

Silnější než determinantní omezení je skutečnost, že ortogonální matici lze vždy diagonalizovat přes komplexní čísla, aby vykazovala úplnou sadu vlastních hodnot, z nichž všechny musí mít (komplexní) modul. 1.

Vlastnosti skupiny

Inverzní hodnota každé ortogonální matice je opět ortogonální, stejně jako maticový součin dvou ortogonálních matic. Ve skutečnosti množina všech $n\times n$ ortogonálních matic splňuje všechny axiómy grupy . Je to kompaktní Lieova skupina dimenzí

Ortogonální matice, jejichž determinant je +1, tvoří dráhově spojenou normální podgrupu ${\boldsymbol {O}}(n)$ indexu 2, speciální ortogonální grupu ${\boldsymbol {S}}O(n)$ rotací. Kvocientová grupa ${\boldsymbol {O}}(<math>n$)/SO($n$)</math> je izomorfní k ${\boldsymbol {O}}(1)$, přičemž projekční mapa volí [+1] nebo [−1] podle determinantu. Ortogonální matice s determinantem -1 nezahrnují identitu, a tak netvoří podskupinu, ale pouze coset ; je také (samostatně) připojen. Každá ortogonální skupina se tedy rozpadne na dva kusy; a protože projekční mapa se rozdělí, ${\boldsymbol {O}}(n)$ je polopřímý součin ${\boldsymbol {S}}O(n)$ pomocí Nelze pochopit (SVG (MathML lze aktivovat pomocí doplňku prohlížeče): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „http://localhost:6011/cs.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{O}(1)}}1} . Jestliže $n$ je liché, pak polopřímý součin je ve skutečnosti přímý součin a jakákoliv ortogonální matice může být vytvořena tím, že vezmeme rotační matici a případně negujeme všechny její sloupce. To vyplývá z vlastnosti determinantů, že negace sloupce neguje determinant, a tedy negace lichého (nikoli sudého) počtu sloupců neguje determinant.

Nyní zvažte $(<math>n$ + 1) × ($n$ + 1)</math> ortogonální matice se vstupem vpravo dole rovným 1. Zbytek posledního sloupce (a posledního řádku) musí být nuly a součin jakýchkoli dvou takových matic má stejný tvar. Zbytek matice je $n\times n$ ortogonální matice; tedy ${\boldsymbol {O}}(n)$ je podskupina ${\boldsymbol {O}}(n+1)$ (a všech vyšších skupin).

${\begin{pmatrix}&&&0\\&\mathrm {O} (n)&&\vdots \\&&&0\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}$

Protože elementární odraz ve formě matice Householder může redukovat jakoukoli ortogonální matici na tuto omezenou formu, série takových odrazů může přivést jakoukoli ortogonální matici k identitě; tak ortogonální skupina je skupina reflexe . Poslední sloupec může být fixován na libovolný jednotkový vektor a každá volba poskytuje jinou kopii ${\boldsymbol {O}}(n)$ v ${\boldsymbol {O}}(n+1)$ ; tímto způsobem ${\boldsymbol {O}}(n+1)$ je svazek nad jednotkovou koulí $<math>{\boldsymbol {S}}$^{$n$}</math> s vláknem ${\boldsymbol {O}}(n)$ .

Podobně ${\boldsymbol {S}}O(n)$ je podskupina ${\boldsymbol {S}}O(n+1)$ ; a jakákoli speciální ortogonální matice může být generována pomocí rotací Givensových rovin pomocí analogického postupu. Struktura svazku přetrvává: ${\boldsymbol {S}}O(<math>n$) ↪ SO($n$ + 1) → ${\boldsymbol {S}}$^{$n$}</math> . Jediná rotace může vytvořit nulu v prvním řádku posledního sloupce a série Nelze pochopit (SVG (MathML lze aktivovat pomocí doplňku prohlížeče): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „http://localhost:6011/cs.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle n − 1} rotací vynuluje všechny kromě posledního řádku posledního sloupce matice rotace $n\times n$ . Protože jsou roviny pevné, má každá rotace pouze jeden stupeň volnosti, svůj úhel. Indukcí tedy ${\boldsymbol {S}}O(n)$ má $(n-1)+(n-2)+\cdots +1={\frac {n(n-1)}{2}}$ stupně volnosti, stejně jako ${\boldsymbol {O}}(n)$ .

Permutační matice jsou ještě jednodušší; tvoří nikoli Lieovu grupu, ale pouze konečnou grupu, řád $n!$ symetrická skupina ${\boldsymbol {S}}_{n}$ . Stejným druhem argumentu je ${\boldsymbol {S}}_{n}$ podgrupou ${\boldsymbol {S}}_{n+1}$ . Sudé permutace vytvářejí podskupinu permutačních matic determinantu +1, pořadí

Kanonická forma

V širším měřítku se účinek jakékoli ortogonální matice rozdělí na nezávislé akce na ortogonálních dvourozměrných podprostorech. To znamená, že pokud je ${\boldsymbol {Q}}$ speciální ortogonální, pak lze vždy najít ortogonální matici ${\boldsymbol {P}}$, (rotační) změnu báze, která přivede ${\boldsymbol {Q}}$ do tvaru blokové úhlopříčky:

$P^{\mathrm {T} }QP={\begin{pmatrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{pmatrix}}\ (n{\text{ even}}),\ P^{\mathrm {T} }QP={\begin{pmatrix}R_{1}&&&\\&\ddots &&\\&&R_{k}&\\&&&1\end{pmatrix}}\ (n{\text{ odd}}).$

kde matice $<math>{\boldsymbol {R}}$_{1}, ..., ${\boldsymbol {R}}$_{$k$}${\boldsymbol {R}}$_{1}, ..., ${\boldsymbol {R}}$_{$k$}}}1</math> a se zbývajícími položkami nula. Výjimečně může být rotační blok diagonální, Nelze pochopit (SVG (MathML lze aktivovat pomocí doplňku prohlížeče): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „http://localhost:6011/cs.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle ±I}}1} diagonalizuje na +1 a -1, může být do tvaru převedena jakákoli ortogonální matice $P^{\mathrm {T} }QP={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{pmatrix}},$

Matice $<math>{\boldsymbol {R}}$_{1}, ..., ${\boldsymbol {R}}$_{$k$}${\boldsymbol {R}}$_{1}, ..., ${\boldsymbol {R}}$_{$k$}</math> dávají konjugované dvojice vlastních čísel ležících na jednotkové kružnici v komplexní rovině ; takže tento rozklad potvrzuje, že všechna vlastní čísla mají absolutní hodnotu 1. Je-li Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle n}}1} je vlastní vektor spojený s +1 osou rotace.

Lieova algebra

Předpokládejme, že položky ${\boldsymbol {Q}}$ jsou diferencovatelné funkce $t$, a že $1=t=0$ dává $1=<math>{\boldsymbol {Q}}$ = ${\boldsymbol {I}}$</math> . Rozlišení podmínky ortogonality $Q^{\mathrm {T} }Q=I$ výnosy ${\dot {Q}}^{\mathrm {T} }Q+Q^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}=0$

Vyhodnocení v $1=t=0$ ( $1=<math>{\boldsymbol {Q}}$ = ${\boldsymbol {I}}$</math> ) pak implikuje ${\dot {Q}}^{\mathrm {T} }=-{\dot {Q}}.$

V podmínkách Lieovy grupy to znamená, že Lieova algebra ortogonální maticové skupiny sestává ze šikmo symetrických matic . V opačném směru je exponenciální matice jakékoli šikmo symetrické matice ortogonální matice (ve skutečnosti speciální ortogonální).

Například fyzika trojrozměrných objektů nazývá úhlovou rychlost jako diferenciální rotaci, tedy vektor v Lieově algebře. ${\mathfrak {so}}(3)$ tečna k ${\boldsymbol {S}}O(3)$ . Je-li dáno $1=\omega =(''x\theta '',''y\theta '',''z\theta '')$, kde $1='<math>v$' = ($x$, $y$, $z$)</math> je jednotkový vektor, je správný tvar šikmo symetrické matice $\omega$ $\Omega ={\begin{pmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{pmatrix}}.$

Exponenciála tohoto je ortogonální matice pro rotaci kolem osy $'<math>v$'</math> o úhel $\theta$ ; nastavení $1=<math>c$ = cos Šablona:Sfrac1</math>

Numerická lineární algebra

Výhody

Numerická analýza využívá mnoho vlastností ortogonálních matic pro numerickou lineární algebru a vznikají přirozeně. Například je často žádoucí vypočítat ortonormální bázi pro prostor nebo ortogonální změnu bází; oba mají formu ortogonálních matic. Mít determinant ±1 a všechna vlastní čísla velikosti 1 je velkým přínosem pro numerickou stabilitu . Jedním z důsledků je, že číslo podmínky je 1 (což je minimum), takže chyby se při násobení ortogonální maticí nezvětšují. Mnoho algoritmů používá z tohoto důvodu ortogonální matice, jako jsou Householderovy odrazy a Givensovy rotace . Je také užitečné, že ortogonální matice je nejen invertibilní, ale její inverzní je dostupná v podstatě zdarma výměnou indexů.

Permutace jsou zásadní pro úspěch mnoha algoritmů, včetně tahounové Gaussovy eliminace s částečným otáčením (kde permutace dělají pivotování). Zřídka se však objevují výslovně jako matrice; jejich speciální forma umožňuje efektivnější reprezentaci, jako je seznam $n$ indexů.

Podobně algoritmy využívající matice Householder a Givens typicky používají specializované metody násobení a ukládání. Například Givensova rotace ovlivní pouze dva řádky matice, kterou vynásobí, a změní plné násobení řádu $n^{3}$ na mnohem efektivnější řád $n$ . Když použití těchto odrazů a rotací zavede do matice nuly, uvolněný prostor je dostatečný k uložení dostatečných dat pro reprodukci transformace, a to robustně. (Po Stewart (1976 ), neukládáme úhel natočení, což je drahé a špatně se chová.)

Rozklady

Řada důležitých rozkladů matic ( zahrnuje ortogonální matice, včetně zejména:

${\boldsymbol {Q}}R$ rozklad

$1=<math>{\boldsymbol {M}}$ = QR</math>, ${\boldsymbol {Q}}$ ortogonální, ${\boldsymbol {R}}$ horní trojúhelníkový

Dekompozice singulární hodnoty

$1=<math>{\boldsymbol {M}}$ = ${\boldsymbol {U}}$Σ${\boldsymbol {V}}$^{T}</math>, ${\boldsymbol {U}}$ a ${\boldsymbol {V}}$ ortogonální, Nelze pochopit (SVG (MathML lze aktivovat pomocí doplňku prohlížeče): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „http://localhost:6011/cs.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle Σ} diagonální matice

Vlastní rozklad symetrické matice (rozklad podle spektrální věty )

$1=<math>{\boldsymbol {S}}$ = ${\boldsymbol {Q}}$Λ${\boldsymbol {Q}}$^{T}</math>, ${\boldsymbol {S}}$ symetrický, ${\boldsymbol {Q}}$ ortogonální, Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle Λ} diagonální

Polární rozklad

$1=<math>{\boldsymbol {M}}$ = QS</math>, ${\boldsymbol {Q}}$ ortogonální, ${\boldsymbol {S}}$ symetrický pozitivně semidefinitní

Příklady

Uvažujme přeurčený systém lineárních rovnic, jak se může stát při opakovaných měřeních fyzikálních jevů, aby se kompenzovaly experimentální chyby. Napište $1=<math>{\boldsymbol {A}}$'$x$' = '$b$'</math>, kde ${\boldsymbol {A}}$ je $m\times n$, $<math>m$ > $n$</math> . Rozklad ${\boldsymbol {Q}}R$ redukuje ${\boldsymbol {A}}$ na horní trojúhelníkové ${\boldsymbol {R}}$ . Pokud je například Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle \boldsymbol{A}}}1} , pak ${\boldsymbol {R}}$ má tvar $R={\begin{pmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\0&\cdot &\cdot \\0&0&\cdot \\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Lineární problém nejmenších čtverců je najít $'<math>x$'</math>, které minimalizuje Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle {{norm|<math>\boldsymbol{A}} '$x$' − '$b$'}}1</math>, což je ekvivalentní promítání $'<math>b$'</math> do podprostoru rozloženého sloupci ${\boldsymbol {A}}$ . Za předpokladu, že sloupce ${\boldsymbol {A}}$ (a tedy ${\boldsymbol {R}}$ ) jsou nezávislé, řešení projekce se nalézá z $1=<math>{\boldsymbol {A}}$^{T}${\boldsymbol {A}}$'$x$' = ${\boldsymbol {A}}$^{T}'$b$'</math> . Nyní $<math>{\boldsymbol {A}}$^{T}${\boldsymbol {A}}$</math> čtvercová ( $n\times n$ ) a invertibilní a také se rovná $<math>{\boldsymbol {R}}$^{T}${\boldsymbol {R}}$</math> Spodní řady nul v ${\boldsymbol {R}}$ jsou však nadbytečné v součinu, který je tedy již v nižším trojúhelníkovém horním trojúhelníkovém faktorizovaném tvaru, jako v Gaussově eliminaci ( Choleského rozklad ). Zde je ortogonalita důležitá nejen pro redukci $1=<math>{\boldsymbol {A}}$^{T}${\boldsymbol {A}}$ = (${\boldsymbol {R}}$^{T}${\boldsymbol {Q}}$^{T})QR</math> na $<math>{\boldsymbol {R}}$^{T}${\boldsymbol {R}}$</math>, ale také pro umožnění řešení bez zvětšování numerických problémů.

V případě lineárního systému, který je nedostatečně určen, nebo jinak neinvertibilní matice, je stejně užitečný rozklad singulární hodnoty (SVD). S ${\boldsymbol {A}}$ jako $<math>{\boldsymbol {U}}$Σ${\boldsymbol {V}}$^{T}</math>, uspokojivé řešení používá Moore-Penrose pseudoinverse, $<math>{\boldsymbol {V}}$Σ^{+}${\boldsymbol {U}}$^{T}</math>, kde Nelze pochopit (SVG (MathML lze aktivovat pomocí doplňku prohlížeče): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „http://localhost:6011/cs.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle Σ^{+}} pouze nahrazuje každý nenulový diagonální vstup jeho reciprokou. Nastavte $'<math>x$'</math> na $<math>{\boldsymbol {V}}$Σ^{+}${\boldsymbol {U}}$^{T}'$b$'</math> .

Zajímavý je také případ čtvercové invertibilní matice. Předpokládejme například, že Nelze pochopit (SVG (MathML lze aktivovat pomocí doplňku prohlížeče): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „http://localhost:6011/cs.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{A}}}1} , která byla vypočítána jako složení mnoha zákrutů a otočení. Plovoucí desetinná čárka neodpovídá matematickému ideálu reálných čísel, takže ${\boldsymbol {A}}$ postupně ztratilo svou pravou ortogonalitu. Gram-Schmidtův proces by mohl ortogonalizovat sloupce, ale není to nejspolehlivější, nejúčinnější ani nejvíce invariantní metoda. Polární rozklad rozdělí matici na pár, z nichž jedna je jedinečná ortogonální matice nejbližší dané matici nebo jedna z nejbližších, pokud je daná matice singulární. (Blízkost lze měřit jakýmkoli invariantem maticové normy při ortogonální změně báze, jako je spektrální norma nebo Frobeniova norma.) Pro téměř ortogonální matici lze rychlé konvergence k ortogonálnímu faktoru dosáhnout " Newtonovou metodou " přístup díky Higham (1986) ( 1990 ), při opakovaném zprůměrování matice s její inverzní transpozicí. Dubrulle (1999) publikoval zrychlenou metodu s pohodlným testem konvergence.

Uvažujme například neortogonální matici, pro kterou má jednoduchý algoritmus průměrování sedm kroků ${\begin{pmatrix}3&1\\7&5\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1.8125&0.0625\\3.4375&2.6875\end{pmatrix}}\rightarrow \cdots \rightarrow {\begin{pmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{pmatrix}}$ a které zrychlení se upraví na dva kroky (s Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle γ} = 0,353553, 0,565685).

${\begin{pmatrix}3&1\\7&5\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1.41421&-1.06066\\1.06066&1.41421\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{pmatrix}}$

Gram-Schmidt poskytuje horší řešení, znázorněné Frobeniovou vzdáleností 8,28659 místo minima 8,12404.

${\begin{pmatrix}3&1\\7&5\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0.393919&-0.919145\\0.919145&0.393919\end{pmatrix}}$

Randomizace

Některé numerické aplikace, jako jsou metody Monte Carlo a průzkum vysokorozměrných datových prostorů, vyžadují generování rovnoměrně distribuovaných náhodných ortogonálních matic. V tomto kontextu je „jednotné“ definováno z hlediska Haarovy míry, která v podstatě vyžaduje, aby se rozdělení nezměnilo, pokud je vynásobeno jakoukoli volně vybranou ortogonální maticí. Ortogonalizační matice s nezávislými rovnoměrně rozloženými náhodnými položkami nevedou k rovnoměrně rozloženým ortogonálním maticím </link>, ale ${\boldsymbol {Q}}R$ rozklad nezávislých normálně distribuovaných náhodných záznamů ano, pokud úhlopříčka ${\boldsymbol {R}}$ obsahuje pouze pozitivní záznamy ( . Stewart (1980) to nahradil efektivnější myšlenkou, kterou Diaconis & Shahshahani (1987) později zobecnili jako „algoritmus podskupiny“ (ve které formě funguje stejně dobře pro permutace a rotace). Pro generování $(<math>n$ + 1) × ($n$ + 1)</math> ortogonální matice vezměte Nelze pochopit (SVG (MathML lze aktivovat pomocí doplňku prohlížeče): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „http://localhost:6011/cs.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle n\times n}}1} . Vytvořte Householderův odraz z vektoru a poté jej aplikujte na menší matici (vloženou do větší velikosti s 1 v pravém dolním rohu).

Nejbližší ortogonální matice

Problém nalezení ortogonální matice ${\boldsymbol {Q}}$ nejbližší dané matici ${\boldsymbol {M}}$ souvisí s problémem Orthogonal Procrustes . Existuje několik různých způsobů, jak získat jedinečné řešení, z nichž nejjednodušší je vzít singulární rozklad ${\boldsymbol {M}}$ a nahradit singulární hodnoty jedničkami. Jiná metoda vyjadřuje ${\boldsymbol {R}}$ explicitně, ale vyžaduje použití maticové druhé odmocniny : $Q=M\left(M^{\mathrm {T} }M\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

To lze zkombinovat s babylonskou metodou pro extrakci druhé odmocniny matice, čímž se získá opakování, které kvadraticky konverguje k ortogonální matici: $Q_{n+1}=2M\left(Q_{n}^{-1}M+M^{\mathrm {T} }Q_{n}\right)^{-1}$ kde $1=<math>{\boldsymbol {Q}}$_{0} = ${\boldsymbol {M}}$</math>

Tyto iterace jsou stabilní za předpokladu, že číslo podmínky ${\boldsymbol {M}}$ je menší než tři.

Použití inverzní aproximace prvního řádu a stejná inicializace vede k modifikované iteraci:

$N_{n}=Q_{n}^{\mathrm {T} }Q_{n}$ $P_{n}={\frac {1}{2}}Q_{n}N_{n}$ $Q_{n+1}=2Q_{n}+P_{n}N_{n}-3P_{n}$

Otočte a připněte

Některá použití ortogonálních matic sužuje drobný technický problém. Nejen, že složky grupy s determinantem +1 a −1 nejsou vzájemně spojeny, dokonce ani složka +1, ${\boldsymbol {S}}O(n)$, není jednoduše spojena (kromě SO(1), což je triviální). Někdy je tedy výhodné, nebo dokonce nutné pracovat s krycí skupinou SO( $n$ ), spinovou skupinou, ${\boldsymbol {S}}pin(n)$ . Podobně ${\boldsymbol {O}}(n)$ má krycí skupiny, skupiny pinů, Pin( $n$ ). Pro $n>2$ je jednoduše spojen ${\boldsymbol {S}}pin(n)$ a tedy univerzální krycí skupina pro ${\boldsymbol {S}}O(n)$ . Zdaleka nejznámějším příkladem spinové grupy je ${\boldsymbol {S}}pin(3)$, což není nic jiného než ${\boldsymbol {S}}U(2)$, neboli skupina jednotkových čtveřic .

Skupiny Pin a Spin se nacházejí v Cliffordových algebrách, které samy mohou být sestaveny z ortogonálních matic.

Obdélníkové matice

Pokud ${\boldsymbol {Q}}$ není čtvercová matice, pak podmínky $1=<math>{\boldsymbol {Q}}$^{T}${\boldsymbol {Q}}$ = ${\boldsymbol {I}}$</math> a $1=''QQ''^{T}=<math>{\boldsymbol {I}}$</math> nejsou ekvivalentní. Podmínka $1=<math>{\boldsymbol {Q}}$^{T}${\boldsymbol {Q}}$ = ${\boldsymbol {I}}$</math> říká, že sloupce ${\boldsymbol {Q}}$ jsou ortonormální. To se může stát pouze v případě, že ${\boldsymbol {Q}}$ je matice $m\times n$ s $<math>n$ ≤ $m$</math> (kvůli lineární závislosti). Podobně $1=''QQ''^{T}=<math>{\boldsymbol {I}}$</math> říká, že řady ${\boldsymbol {Q}}$ jsou ortonormální, což vyžaduje $<math>n$ ≥ $m$</math> .

Pro tyto matice neexistuje standardní terminologie. Nazývají se různě „poloortogonální matice“, „ortonormální matice“, „ortogonální matice“ a někdy jednoduše „matice s ortonormálními řadami/sloupci“.

Pro případ $<math>n$ ≤ $m$</math> mohou být matice s ortonormálními sloupci označovány jako ortogonální k-snímky a jsou prvky Stiefelovy manifoldy .

Viz také

• Bioortogonální systém

Externí odkazy

• Tutorial and Interactive Program on Orthogonal Matrix

[[Kategorie:Matice]] [[Kategorie:Údržba:Články s nekontrolovanými překlady]]