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- In complex analysis, the argument principle (or Cauchy's argument principle) relates the difference between the number of zeros and poles of a meromorphic function to a contour integral of the function's logarithmic derivative. Specifically, if f(z) is a meromorphic function inside and on some closed contour C, and f has no zeros or poles on C, then where Z and P denote respectively the number of zeros and poles of f(z) inside the contour C, with each zero and pole counted as many times as its multiplicity and order, respectively, indicate. This statement of the theorem assumes that the contour C is simple, that is, without self-intersections, and that it is oriented counter-clockwise. More generally, suppose that f(z) is a meromorphic function on an open set Ω in the complex plane and that C is a closed curve in Ω which avoids all zeros and poles of f and is contractible to a point inside Ω. For each point z ∈ Ω, let n(C,z) be the winding number of C around z. Then where the first summation is over all zeros a of f counted with their multiplicities, and the second summation is over the poles b of f counted with their orders. (en)
- Das Prinzip vom Argument ist ein Satz aus der Funktionentheorie, der die mit Vielfachheiten gezählten Polstellen und -Stellen einer meromorphen Funktion durch ein Integral ausdrückt. (de)
- En el análisis complejo, el principio del argumento (o principio del argumento de Cauchy) expresa que si f(z) es unafunción meromorfa definida en el conjunto abierto limitado por un camino cerrado C, tal que f no tiene ceros ni polos en C, entonces se cumple la siguiente relación: donde N y P denotan respectivamente el número de ceros y polos de f(z) en el abierto limitado por el camino C, contando cada cero y polo tantas veces como indique su multiplicidad y orden respectivamente. En esta versión del teorema se supone que el camino C es simple, es decir, sin cortes consigo mismo, y que tiene una orientación antihoraria. De manera más general, considérese una curva C, orientada en sentido antihorario, que se pueda deformar hasta un punto en el interior de un conjunto abierto Ω del plano complejo. Para cada punto z ∈ Ω, sea n(C,z) el índice de C en torno al punto z. Entonces se tiene: donde la primera suma recorre todos los ceros a de f, contados tantas veces como indiquen sus multiplicidades, y la segunda suma recorre los polos b de f, contados tantas veces como indiquen sus órdenes. (es)
- En analyse complexe, le principe de l'argument (parfois appelé théorème de l'argument) relie la différence entre le nombre de zéros et de pôles d'une fonction méromorphe par rapport à une intégrale curviligne de sa dérivée logarithmique. (fr)
- 복소해석학에서 편각 원리(偏角原理, 영어: argument principle)는 유리형 함수의 의 닫힌곡선을 따른 경로 적분과 경로 내부에 포함된 영점과 극점 사이의 관계를 제시하는 정리이다. (ko)
- 複素解析において、偏角の原理（へんかくのげんり、英: argument principle）（あるいはコーシーの偏角の原理 (Cauchy's argument principle)）は有理型関数の零点と極の個数の差を関数の対数微分の周回積分と結びつける。 具体的には、f(z) がある閉じた経路 C 上および内側で有理型関数で、f が C 上に零点も極ももたなければ、 ただし N と P はそれぞれ経路 C の内側の f(z) の零点と極の個数を各零点と極をそれぞれ重複度と位数をこめて数えたものを表す。定理のこのステートメントは閉経路 C が単純であること、すなわち自己交叉がないことと、反時計回りに向き付けられていることを仮定している。 より一般に、f(z) が複素平面の開集合 Ω 上の有理型関数で C が Ω 内の閉曲線で f のすべての零点と極を避け Ω の内側の点に可縮であるとする。各点 z ∈ Ω に対し、n(C, z) を z のまわりの C の回転数とする。このとき ただし最初の和は重複度も数えて f のすべての零点 a を渡り、二番目の和は位数も数えて f の極 b を渡る。 (ja)
- Argumentprincipen är ett resultat inom komplex analys som uttrycker en analytisk funktions uppförande i ett givet område givet uppförandet på områdets rand. (sv)
- Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему: Теорема. Если функция мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области с гладкой границей и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула: , где и — количества соответственно нулей и полюсов функции в , учтённых каждый с его кратностью, а — изменение аргумента при обходе вдоль контура области (ориентация контура стандартная). (ru)
- 在复分析中，辐角原理（Argument principle）或称柯西辐角原理（Cauchy's argument principle）说如果 f(z) 是在某个围道 C 上以及内部一个亚纯函数，且 f 在 C 上没有零点或极点，则下列公式成立 这里 N 与 P 分别表示 f(z) 在围道 C 内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道 C 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。 更一般地，假设 C 是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集 Ω 中为一点。对每个 z ∈ Ω，令 n(C,z) 是 C 绕点 z 的卷绕数。则 这里第一个求和对 f 所有零点 a 进行并计重数，第二个求和在 f 的所有极点 b 上进行。 (zh)
- Принцип аргументу — теорема в комплексному аналізі, важливий наслідок основної теореми про лишки. (uk)
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- Das Prinzip vom Argument ist ein Satz aus der Funktionentheorie, der die mit Vielfachheiten gezählten Polstellen und -Stellen einer meromorphen Funktion durch ein Integral ausdrückt. (de)
- En analyse complexe, le principe de l'argument (parfois appelé théorème de l'argument) relie la différence entre le nombre de zéros et de pôles d'une fonction méromorphe par rapport à une intégrale curviligne de sa dérivée logarithmique. (fr)
- 복소해석학에서 편각 원리(偏角原理, 영어: argument principle)는 유리형 함수의 의 닫힌곡선을 따른 경로 적분과 경로 내부에 포함된 영점과 극점 사이의 관계를 제시하는 정리이다. (ko)
- 複素解析において、偏角の原理（へんかくのげんり、英: argument principle）（あるいはコーシーの偏角の原理 (Cauchy's argument principle)）は有理型関数の零点と極の個数の差を関数の対数微分の周回積分と結びつける。 具体的には、f(z) がある閉じた経路 C 上および内側で有理型関数で、f が C 上に零点も極ももたなければ、 ただし N と P はそれぞれ経路 C の内側の f(z) の零点と極の個数を各零点と極をそれぞれ重複度と位数をこめて数えたものを表す。定理のこのステートメントは閉経路 C が単純であること、すなわち自己交叉がないことと、反時計回りに向き付けられていることを仮定している。 より一般に、f(z) が複素平面の開集合 Ω 上の有理型関数で C が Ω 内の閉曲線で f のすべての零点と極を避け Ω の内側の点に可縮であるとする。各点 z ∈ Ω に対し、n(C, z) を z のまわりの C の回転数とする。このとき ただし最初の和は重複度も数えて f のすべての零点 a を渡り、二番目の和は位数も数えて f の極 b を渡る。 (ja)
- Argumentprincipen är ett resultat inom komplex analys som uttrycker en analytisk funktions uppförande i ett givet område givet uppförandet på områdets rand. (sv)
- Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему: Теорема. Если функция мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области с гладкой границей и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула: , где и — количества соответственно нулей и полюсов функции в , учтённых каждый с его кратностью, а — изменение аргумента при обходе вдоль контура области (ориентация контура стандартная). (ru)
- 在复分析中，辐角原理（Argument principle）或称柯西辐角原理（Cauchy's argument principle）说如果 f(z) 是在某个围道 C 上以及内部一个亚纯函数，且 f 在 C 上没有零点或极点，则下列公式成立 这里 N 与 P 分别表示 f(z) 在围道 C 内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道 C 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。 更一般地，假设 C 是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集 Ω 中为一点。对每个 z ∈ Ω，令 n(C,z) 是 C 绕点 z 的卷绕数。则 这里第一个求和对 f 所有零点 a 进行并计重数，第二个求和在 f 的所有极点 b 上进行。 (zh)
- Принцип аргументу — теорема в комплексному аналізі, важливий наслідок основної теореми про лишки. (uk)
- In complex analysis, the argument principle (or Cauchy's argument principle) relates the difference between the number of zeros and poles of a meromorphic function to a contour integral of the function's logarithmic derivative. Specifically, if f(z) is a meromorphic function inside and on some closed contour C, and f has no zeros or poles on C, then where the first summation is over all zeros a of f counted with their multiplicities, and the second summation is over the poles b of f counted with their orders. (en)
- En el análisis complejo, el principio del argumento (o principio del argumento de Cauchy) expresa que si f(z) es unafunción meromorfa definida en el conjunto abierto limitado por un camino cerrado C, tal que f no tiene ceros ni polos en C, entonces se cumple la siguiente relación: De manera más general, considérese una curva C, orientada en sentido antihorario, que se pueda deformar hasta un punto en el interior de un conjunto abierto Ω del plano complejo. Para cada punto z ∈ Ω, sea n(C,z) el índice de C en torno al punto z. Entonces se tiene: (es)
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- Prinzip vom Argument (de)
- Argument principle (en)
- Principio del argumento (es)
- Principe de l'argument (fr)
- 편각 원리 (ko)
- 偏角の原理 (ja)
- Принцип аргумента (ru)
- Argumentprincipen (sv)
- 辐角原理 (zh)
- Принцип аргументу (uk)
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