Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse

Die Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse ist in gewissem Sinne ein Analogon zur Fourierreihenentwicklung einer Funktion. Jede beschränkte stetige Funktion kann als additive Überlagerung harmonischer Schwingungen dargestellt werden. Auch ein stationärer stochastischer Prozess kann dargestellt werden als additive Überlagerung harmonischer Schwingungen, allerdings mit zufälliger Amplitude. Die Spektraldarstellung eines stationären Prozesses bietet in der Regel tiefere Einblicke in die Struktur des Prozesses, insbesondere wenn es sich um eine Mischung verschiedener periodischer Anteile handelt.

Mathematische Beschreibung

Sei $\mathbb {Z}$ die Menge der ganzen Zahlen und $X_{t};\ t\in \mathbb {Z}$ ein zeitdiskreter stationärer stochastischer Prozess mit Erwartungswert $\operatorname {E} X_{t}=0$ und Kovarianzfunktion $\operatorname {Cov} (X_{t},X_{t+h})=\Gamma (t,t+h)$, die wegen der Stationarität nur von der Differenz der Zeitpunkte abhängt, also nur die Funktion einer Variablen ist:$\Gamma (t,t+h)=:\gamma (h)$.

Spektraldarstellung von $X_{t}$

Jeder stationäre Prozess $X_{t}$ mit $\operatorname {E} X_{t}=0$ hat die sogenannte Spektraldarstellung

$X_{t}=\int _{-\pi }^{\pi }e^{it\lambda }dZ(\lambda )$.

Dies ist ein Stochastisches Integral, und zwar bzgl. eines Prozesses $Z(\lambda )$ mit unkorrelierten Zuwächsen, d.h. für $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\lambda _{4}$ sind die Zuwächse $Y(\lambda _{2})-Y(\lambda _{1})$ und $Y(\lambda _{4})-Y(\lambda _{3})$ unkorelliert.

Wenn $Z(\lambda )$ nur endlich viele Zuwächse hat, z.B. $n$ Zuwächse $A(\lambda _{1}),\dots ,A(\lambda _{n})$ bei $-\pi <\lambda _{1},<\dots ,\lambda _{n}<\pi$, dann kann obiges Integral als Summe geschrieben werden:

$X_{t}=\sum _{k=1}^{n}A(\lambda _{k})e^{it\lambda _{k}}$

Jeder Summand ist eine harmonische Schwingung mit Frequenz $\lambda _{k}$ und der zufälligen Amplitude $A(\lambda _{k})$.

Spektraldarstellung der Kovarianzfunktion

Die Kovarianzfunktion $\gamma (h)$ ist eine symmetrische und positiv semidefinite Funktion und hat damit nach dem Satz von Bochner (in diskreter Variante als Satz von Herglotz bezeichnet) die Darstellung

$\gamma (h)=\int _{-\pi }^{\pi }e^{ih\lambda }dF(\lambda )$.

Dabei heißt $F$ Spektralverteilungsfunktion. Sie ist auf $[-\pi ,\pi ]$ monoton nicht fallend und es gilt $F(-\pi )=0;\ F(\pi )=\gamma (0)=\operatorname {Var} X_{t}$. Die Beziehung

$\operatorname {E} |Z(\lambda _{2}]-Z(\lambda _{1})|^{2}=F(\lambda _{2})-F(\lambda _{1});\ \lambda _{2}\geq \lambda _{1}$

stellt die Verbindung zwischen Spektraldarstellung von $X_{t}$ mit der Spektraldarstellung von $\gamma (h)$ dar.

Spektraldichte

Wenn $\sum _{h=-\infty }^{\infty }|\gamma (h)|<\infty$, dann kann die Spektraldarstellung von $\gamma (h)$ als Riemannsches Integral geschrieben werden:

$\gamma (h)=\int _{-\pi }^{\pi }f(\lambda )e^{ih\lambda }d\lambda$.

Die Funktion $f$ heißt Spektraldichte von $X_{t}$. Anschaulich gesprochen gibt $f(\lambda )$ an, mit welcher Intensität die Frequenz $\lambda$ im Spektrum von $X_{t}$ vorkommt. Die Spektraldichte selbst hat die Darstellung

$f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{h=-\infty }^{\infty }e^{-ih\lambda }\gamma (h)$.

$f$ ist also die Fouriertransformierte von $\gamma$, bzw. $\gamma$ ist die inverse Fouriertransformierte von $f$. Für $h=0$ gilt speziell

$\gamma (0)=\operatorname {Var} X_{t}=\int _{-\pi }^{\pi }f(\lambda )d\lambda$.

Dies kann als Streuungszerlegung (signaltechnisch Leistungsverteilung) auf die verschiedenen Frequenzen $\lambda$ interpretiert werden.

Zeitstetiger Fall

Sei nun $X_{t}$ein stationärer Prozess mit reellwertigem $t\in \mathbb {R}$. Dann modifizieren sich obige Formeln zu:

$X_{t}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda t}dZ(\lambda );\ \ \gamma (h)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda h}dF(\lambda )$.

Dabei ist $Z(\lambda )$ wiederum ein stochastischer Prozess mit unkorrelierten Zuwächsen. Falls $\int _{-\infty }^{\infty }|\gamma (h)|dh<\infty$, dann hat die Spektralverteilungsfunktion $F$ eine Spektraldichte $f$, und es gilt:

$\gamma (h)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda h}f(\lambda )d\lambda ;\ \ f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\gamma (h)e^{-ih\lambda }dh$.

Beispiele

• Ein stationärer Prozess $X_{t}$ mit der häufig benutzten Kovarianzfunktion $\gamma (h)=\sigma ^{2}e^{-\alpha |h|}$ hat die Spektraldichte $f(\lambda )={\frac {\sigma ^{2}\alpha }{\pi (\lambda ^{2}+\alpha ^{2})}}$.
• Weißes Rauschen hat die Kovarianzfunktion $\gamma (h)={\begin{cases}\sigma ^{2}&{\text{wenn }}h=0\\0&{\text{sonst }}\end{cases}}\$ und die Spektraldichte $f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\sigma ^{2}$.

Die Spektraldichte ist also konstant. Alle Frequenzen sind gleichstark im Spektrum vertreten (Analogie zum weißen Licht).

Anwendungen

Spektraldarstellungen benötigt man in der Zeitreihenanalyse, in der Signalverarbeitung (siehe z.B. auch Spektrale Leistungsdichte), bei der Konstruktion geigneter Filter (beispielsweise Tiefpass, Hochpass oder Bandpass).