Satz von Moivre-Laplace

Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der kontinuierlichen Normalverteilung an.

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Satz von de Moivre-Laplace oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace genannt, ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für $n\rightarrow \infty$ und Wahrscheinlichkeiten $0<p<1$ gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei der Normal-Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet. Für $p={\tfrac {1}{2}}$ kann diese Approximation durch das Galtonbrett experimentell veranschaulicht werden.

Beim Satz von Moivre-Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz. Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage für $p={\tfrac {1}{2}}$ und im Jahre 1812 wurde von Pierre-Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt.

Aussage

Sei $X_{1},X_{2},X_{3},\cdots$ eine Folge bernoulli-verteilter Zufallsvariablen und deren Summe $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ binomialverteilt mit Parametern $n\in \mathbb {N}$, $p\in \;]0,1[$ und $\sigma ^{2}=p(1-p)$. Dann gilt:

(1) $\quad \operatorname {P} \left(S_{n}=k\right)\;=\;B(k\mid p,n)\;\approx \;{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)$

(2) $\quad \lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left(x_{1}\leq {\frac {S_{n}-np}{\sigma {\sqrt {n}}}}\leq x_{2}\right)\;={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\exp \left(-{x^{2} \over 2\sigma ^{2}}\right)\mathrm {d} x$ für alle $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ mit $x_{1}<x_{2}$.

Der Satz von Moivre-Laplace besagt, dass die Verteilung der Zufallsvariablen für $n\to \infty$ schwach gegen die Standardnormalverteilung ${\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}\right)$ mit der Varianz $\sigma ^{2}=p(1-p)$ konvergiert.

Anwendungen

Der Satz von Moivre-Laplace ist die theoretische Grundlage der Normal-Approximation, einer Methode, mit der die Binomialverteilung angenähert werden kann.

Dabei formuliert man die obige Aussage durch eine Substitution um und erhält mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung $\Phi$

$\lim _{n\to \infty }\left|\operatorname {P} (S_{n}\leq t)-\Phi \left({\frac {t-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)\right|=0$

für alle $t\in \mathbb {R}$.

Damit kann der Wert der binomialverteilten Zufallsvariable $S_{n}$ über die Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden. Diese entnimmt man üblicherweise der Tabelle der Standardnormalverteilung.

Der Satz von Moivre-Laplace liefert ausreichend gute Näherungen, wenn $n$ und $p$ die folgende Bedingung erfüllen:

$np(1-p)>9$

Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die aus dem Einführen von Korrekturtermen $\pm {\tfrac {1}{2}}$ besteht und den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung kompensieren soll.

Beispiel

Plot der Dichte der Normalverteilung mit μ = 12 und σ = 3 und der Binomialverteilung mit n = 48 und p = 1/4

Zur Veranschaulichung der Bedeutung der Fehlerkorrektur werden nachfolgende Rechnungen durchgeführt.

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit $n=48$ und $p={\tfrac {1}{4}}$, damit gilt folglich $np(1-p)=9$. Wir vergleichen mit einer Normalverteilung mit Mittelwert $\mu =np=12$ und einer Varianz $\sigma ^{2}=np(1-p)=9$.

Nun suchen wir die Antwort auf die Frage „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Werte kleiner oder gleich $\mu -3\sigma =3$ sind“. Die Berechnungen bzw. Abschätzungen ergeben folgende Resultate:

• Binomialverteilung

$P(0\leq X\leq 3)=\sum _{k=0}^{3}{\binom {48}{k}}\cdot {\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}^{k}\cdot {\bigg (}{\frac {3}{4}}{\bigg )}^{48-k}\approx 0{,}004$

Der Näherungswert wurde durch Ablesen aus dem nebenstehenden Plot entnommen.

• Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur

${\begin{aligned}P(0\leq X\leq 3)&\approx \Phi \left({\tfrac {3+0{,}5-12}{3}}\right)-\Phi \left({\tfrac {0-0{,}5-12}{3}}\right)=\Phi \left(-2{,}83\right)-\Phi \left(-4{,}17\right)=\\&=1-\Phi \left(2{,}83\right)-1+\Phi \left(4{,}17\right)\approx -0{,}99767+1=0{,}00233\end{aligned}}$

Bei dieser Rechnung ist zu beachten, dass aus Gründen der Symmetrie $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ gilt und $\Phi (x)\approx 1$ für $x>4{,}09$ ist.

• Normalverteilung ohne Stetigkeitskorrektur

${\begin{aligned}P(0\leq X\leq 3)&\approx \Phi \left({\tfrac {3-12}{3}}\right)-\Phi \left({\tfrac {0-12}{3}}\right)=\Phi \left(-3\right)-\Phi \left(-4\right)=\\&=1-\Phi \left(3\right)-1+\Phi \left(4\right)=-0{,}99865+0{,}99997=0{,}00132\end{aligned}}$

Insgesamt kann aus den Werten der „Berechnungen“ erschlossen werden, dass mit Hilfe der Stetigkeitskorrektur ein bessere Übereinstimmung mit dem Wert der Binomialverteilung erzielt wird.

Literatur

• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, doi:10.1007/978-3-658-03077-3, S. 221 ff.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5, doi:10.1007/978-3-322-93581-6, S. 80–83

Weblinks

Wikibooks: Beweis des Satzes von Moivre-Laplace – Lern- und Lehrmaterialien

• Binomial- und Normalverteilung – Online-Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblättern (Java-Plugin benötigt)