Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Σχέση (μαθηματικά)

Στα [[μαθηματικά]], '''σχέση'''  είναι μια ''συσχέτιση'' των στοιχείων ενός [[Σύνολο|συνόλου]] με τα στοιχεία κάποιου άλλου. Η έννοια της σχέσης χρησιμοποιείται στα μαθηματικά για να μοντελοποιήσουμε έννοιες όπως ''μεγαλύτερο από'', ''είναι ίσο με'', ''είναι ισοδύναμο με'' κλπ. Η ίδια η έννοια της [[συνάρτηση|συνάρτησης]] ορίζεται ως μια σχέση ειδικού τύπου.

==Αυστηρός ορισμός==
Έστω <math>X</math> και <math>Y</math> δύο τυχαία σύνολα. Σχέση από το <math>X</math> στο <math>Y</math> ονομάζουμε κάθε υποσύνολο <math>R</math> του [[Καρτεσιανό γινόμενο|καρτεσιανού γινομένου]] <math>X \times Y</math>:<ref name="S">{{cite web |last=Στεργίου |first=Κ. |title=Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις |url=https://eclass.uowm.gr/modules/document/file.php/ICTE257/7.%20%CE%A3%CF%87%CE%AD%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82%20%26%20%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%B1%CF%81%CF%84%CE%AE%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82_oc.pdf |publisher=Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών |accessdate=19 Φεβρουαρίου 2023}}</ref>{{rp|7}}<ref name="B">{{cite web |last=Βούρος |first=Γεώργιος |title=Διακριτά Μαθηματικά |url=https://www.icsd.aegean.gr/website_files/proptyxiako/996040443.pdf |publisher=Πανεπιστήμιο Αιγαίου |accessdate=19 Φεβρουαρίου 2023}}</ref>
:<math>R \subseteq X \times Y = \lbrace (x, y) \mid x \in X, y \in Y \rbrace</math>.

Δηλαδή μια σχέση από ένα σύνολο <math>X</math> σε ένα σύνολο <math>Y</math> δεν είναι τίποτε άλλο από ένα σύνολο [[διατεταγμένο ζεύγος|διατεταγμένων ζευγών]]. Το σύνολο <math>X</math> ονομάζεται [[πεδίο ορισμού]] και το σύνολο <math>Y</math> ονομάζεται [[σύνολο τιμών]]. Ειδικότερα αν <math>R</math> είναι μια σχέση από το σύνολο <math>X</math> στο σύνολο <math>X</math>, τότε λέμε ότι η <math>R</math> είναι μια σχέση στο <math>X</math>. Η έκφραση <math>(x, y) \in R</math> γράφεται διαφορετικά και ως εξής: <math>xRy</math> ή <math>R(x, y)</math> και λέμε ότι το <math>y</math> ''σχετίζεται'' με το <math>x</math> ''μέσω'' της σχέσης <math>R</math> ή ακόμα ότι η σχέση <math>R</math> ισχύει ''ανάμεσα'' στα στοιχεία <math>x</math> και <math>y</math>. Το γράμμα <math>R</math> μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα, συχνά ακόμα και με σύμβολα όπως <math><</math>, <math>></math>, <math>+</math>, <math>=</math> κ.α.

===Παραδείγματα===
Για παράδειγμα αν για τα σύνολα <math>X</math> και <math>Y</math> έχουμε <math>X = \lbrace 1, 2 \rbrace</math> και <math>Y = \lbrace 3, 4, 5 \rbrace</math>, <math>R</math> είναι μια σχέση στα σύνολα <math>X</math> και <math>Y</math> και <math>S</math> είναι μια σχέση στο σύνολο <math>X</math>, τότε για την <math>R</math> έχουμε:
:<math>R \subseteq \lbrace (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5) \rbrace</math>
και για την <math>S</math>:
:<math>S \subseteq \lbrace (1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2) \rbrace</math>

==Κλάσεις σχέσεων==
Μερικές σημαντικές κλάσεις σχέσεων <math>R</math>, από ένα σύνολο <math>X</math> σε ένα σύνολο <math>Y</math> δίνονται παρακάτω:
*'''αριστερά ολική''': για κάθε <math>x</math> στο <math>X</math> υπάρχει <math>y</math> στο <math>Y</math> τέτοιο ώστε <math>xRy</math>,
*'''επί ή δεξιά ολική''': για κάθε <math>y</math> στο <math>Y</math> υπάρχει <math>x</math> στο <math>X</math> τέτοιο ώστε <math>xRy</math>,
*'''συναρτησιακή''': για κάθε <math>x</math> στο <math>X</math> και <math>y, z</math> στο <math>Y</math> ισχύει ότι, αν <math>xRy</math> και <math>xRz</math> τότε <math>y = z</math>,
*'''ένα προς ένα''': για κάθε <math>x</math> και <math>z</math> στο <math>X</math> και για κάθε <math>y</math> στο <math>Y</math> ισχύει ότι αν <math>xRy</math> και <math>zRy</math> τότε <math>x = z</math>
*'''αμφιμονοσήμαντη''': συναρτησιακή και αριστερά και δεξιά ολική

==Σχέσεις σε ένα σύνολο==
Ορισμένες σημαντικές κλάσεις διμελών σχέσεων σε ένα σύνολο X είναι οι εξής:{{r|S|p=20}}{{r|B|p=12-15}}
*'''[[ανακλαστική σχέση|ανακλαστική]]''': για κάθε <math>x</math> στο <math>X</math> ισχύει <math>xRx</math>.
*'''[[συμμετρική σχέση|συμμετρική]]''': για κάθε <math>x, y</math> στο <math>X</math>, αν ισχύει <math>xRy</math> τότε ισχύει και yRx.
*'''[[αντισυμμετρική σχέση|αντισυμμετρική]]''': για κάθε <math>x, y</math> στο <math>X</math>, αν ισχύει <math>xRy</math> και <math>yRx</math> τότε <math>x = y</math>.
*'''[[ασυμετρική σχέση|ασυμετρική]]''': για κάθε <math>x, y</math> στο <math>X</math>, αν ισχύει <math>xRy</math> τότε δεν ισχύει <math>yRx</math>.
*'''[[μεταβατική σχέση|μεταβατική]]''': για κάθε <math>x, y, z</math> στο <math>X</math>, αν ισχύει <math>xRy</math> και <math>yRz</math> τότε <math>xRz</math>.
*'''[[ολική σχέση|ολική]]''': για κάθε <math>x, y</math> στο <math>X</math>, ισχύει <math>xRy</math> ή <math>yRx</math> ή και τα δύο.
*'''τριχοτομική''': για κάθε <math>x, y</math> στο <math>X</math>, ισχύει ακριβώς ένα από τα <math>xRy</math>, <math>yRx</math> ή <math>x = y</math>.
*'''Ευκλείδεια''': για κάθε <math>x, y, z</math> στο <math>X</math>, αν ισχύει <math>xRy</math> και <math>xRz</math> τότε <math>yRz</math> (και <math>zRy</math>).

Μια σχέση που είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ονομάζεται [[σχέση ισοδυναμίας]]. Μια σχέση που είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική ονομάζεται [[σχέση μερικής διάταξης]]. Μια σχέση μερικής διάταξης που είναι και ολική ονομάζεται [[σχέση ολικής διάταξης]].

==Η συνάρτηση ως σχέση==

Έστω <math>X</math> και <math>Y</math> δύο μη κενά σύνολα. Μια σχέση <math>f</math> από το σύνολο <math>X</math> στο σύνολο <math>Y</math> ονομάζεται '''συνάρτηση από το <math>X</math> στο <math>Y</math>''' αν:
*για κάθε <math>x</math> στο <math>X</math> υπάρχει <math>y</math> στο <math>Y</math> ώστε <math>xfy</math>
*αν <math>x</math> ανήκει στο <math>X</math>, <math>y, z</math> ανήκουν στο <math>Y</math> και ισχύει <math>xfy</math> και <math>xfz</math> τότε <math>y = z</math>.

Επομένως, μια σχέση <math>f</math> από το σύνολο <math>X</math> στο σύνολο <math>Y</math> ονομάζεται '''συνάρτηση από το <math>X</math> στο <math>Y</math>''' αν '''για κάθε <math>x</math> στο <math>X</math> υπάρχει μοναδικό <math>y</math> στο <math>Y</math> ώστε <math>xfy</math>'''. Με άλλα λόγια μια σχέση που είναι αριστερά ολική και συναρτησιακή, ονομάζεται συνάρτηση. Αν είναι μόνο συναρτησιακή τότε ονομάζεται [[μερική συνάρτηση]].

==Σύνθεση σχέσεων==
{{Main|Σύνθεση σχέσεων}}
Η σύνθεση σχέσεων είναι ένας τρόπος με τον οποίο σχηματίζουμε μια νέα σχέση από δύο δεδομένες σχέσεις <math>R</math> και <math>S</math> και την οποία συμβολίζουμε με <math>S \circ R</math>.{{r|B|p=17}} Ειδική κατηγορία σύνθεσης σχέσεων είναι η [[σύνθεση συνάρτησης|σύνθεση συναρτήσεων]].

===Ορισμός===
Αν <math>R \subseteq X \times Y</math> και <math>S \subseteq Y \times Z</math> είναι δύο διμελείς σχέσεις, τότε η σύνθεση τους <math>S \circ R</math> είναι η σχέση:
:<math>S \circ R = \{(x,z) \in X \times Z \mid \exists y \in Y: (x,y) \in R, (y,z)\in S \} \subseteq X \times Z</math>.

Με άλλα λόγια η σχέση <math>S \circ R</math> είναι η σχέση στην οποία ανήκουν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη <math>(x, z)</math> για τα οποία ισχύει το εξής: υπάρχει <math>y</math> στο <math>Y</math> τέτοιο ώστε το <math>(x, y)</math> να ανήκει στη <math>R</math> και το <math>(y, z)</math> να ανήκει στη <math>S</math>. 

===Ιδιότητες===

*Η σύνθεση σχέσεων είναι [[Προσεταιριστική ιδιότητα|προσεταιριστική]],
*Η αντίστροφη σχέση της <math>S \circ R</math> είναι η σχέση <math>(S \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1}</math>,
*Η σύνθεση μερικών συναρτήσεων είναι μερική συνάρτηση,
*Η σύνθεση επί σχέσεων, είναι επί σχέση,
*Η σύνθεση ένα προς ένα σχέσεων, είναι ένα προς ένα.

==Παραπομπές==
<references/>

[[Κατηγορία:Θεωρία συνόλων]]
[[Κατηγορία:Δυαδικές σχέσεις]]