Μέθοδος του Νεύτωνα

Στην αριθμητική ανάλυση η μέθοδος του Νεύτωνα (γνωστή και ως μέθοδος Newton-Raphson), είναι μία από τις καλύτερες μεθόδους διαδοχικών προσεγγίσεων για την προσεγγιστική εύρεση των ριζών μιας πραγματικής συνάρτησης.

Αυτή η μέθοδος όταν συγκλίνει, συγκλίνει ιδιαίτερα γρήγορα και πιο συγκεκριμένα τετραγωνικά. Σημαντικός παράγοντας για ύπαρξη σύγκλισης είναι αν η επαναληπτική διαδικασία ξεκινήσει «αρκετά κοντά» στην ζητούμενη λύση. Το πόσο «αρκετά κοντά» στην ρίζα θα πρέπει να βρίσκεται πρώτη προσέγγιση της ρίζας $x_{0}$, ώστε να υπάρξει σύγκλιση εξαρτάται από το πρόβλημα. Αν η μέθοδος ξεκινήσει μακριά από την επιθυμητή λύση υπάρχει πιθανότητα να μην συγκλίνει. Έτσι ασφαλείς υλοποιήσεις της μεθόδου θεωρούνται αυτές που έχουν ενσωματωμένη διαδικασία εντοπισμού και ενδεχομένως αποφυγής της μη σύγκλισης.

Με δεδομένη την συνάρτηση $f(x)$ και την παράγωγό της $f'(x)$, ξεκινώντας με ένα τυχαίο $x_{0}$ μία καλύτερη προσέγγιση $x_{1}$ δίνεται από την σχέση:

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}$

Η γενική αναδρομική σχέση της μεθόδου του Νεύτωνα είναι:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

όπου $x_{n+1}$ η προσεγγιστική τιμή της ρίζας της συνάρτησης $f(x)$ μετά από $n+1$ επαναλήψεις.

Μια σημαντική και κάπως απρόβλεπτη εφαρμογή της μεθόδου είναι η διαίρεση Newton-Raphson, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την γρήγορη εύρεση του αντίστροφου ενός αριθμού χρησιμοποιώντας μόνο πολλαπλασιασμό και αφαίρεση.

Ο αλγόριθμος είναι ο πρώτος της κλάσης της μεθόδου του Χαουσχόλντερ (Housholder's method), και τον διαδέχεται η μέθοδος του Χάλλεϋ (Halley's method).