Energía potencial electrostática y potencial eléctrico

La variación de la energía potencial representa un trabajo realizado por una fuerza conservativa. Del mismo modo que la fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, también la fuerza eléctrica o fuerza de Coulomb $F_{el}$ entre dos cargas es conservativa, siendo de repulsión si tienen el mismo signo y de atracción si son de signo opuesto. Los objetos que se repelen tienen mayor energía potencial cuanto menor es la distancia entre ellos, y si se atraen es mayor su energía potencial cuanto mayor es la distancia entre ellos.

El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor final de una función, la energía potencial, dado que solamente dependerá de las posiciones inicial y final y no de la trayectoria seguida. Las fuerzas electrostáticas originadas por cargas eléctricas, son conservativas y, por tanto, el trabajo realizado por estas fuerzas no dependerá de la trayectoria seguida

W=\int _{A}^{B}{\vec {F}}_{el}\cdot d{\vec {l}}=E_{pA}-E_{pB}\,\!

siendo $E_{p}$ la función energía potencial y $E_{pA}$ y $E_{pB}$ los valores de la energía potencial en las posiciones A y B.

Para calcular el trabajo $W$ debido a la fuerza eléctrica o electrostática, $F_{el}$ :

F_{el}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{2}}}=qE

para trasladar la carga $q$ de la posición A a la B, se necesita primero expresar el trabajo infinitesimal $dW$ como el producto escalar del vector fuerza ${\vec {F}}_{el}$ por el vector desplazamiento ${\vec {dl}}$ tangente a la trayectoria. Además, la fuerza eléctrica sobre la carga q es ${\vec {F}}_{el}=q{\vec {E}}$ siendo ${\vec {E}}$ el campo eléctrico debido a la carga Q. De este modo, el trabajo elemental $dW$ se puede escribir

$dW={\vec {F}}_{el}\cdot {\vec {dl}}=F_{e}dlcos\theta =F_{e}dr=qEdr$

siendo dr es el desplazamiento infinitesimal de la carga q en la dirección radial desde Q. Y la constante $\varepsilon _{0}$ representa la permitividad eléctrica del vacío.

Así, el trabajo $W$ debido a la fuerza eléctrica entre las cargas Q y q, se puede considerar como el realizado por el campo eléctrico E para trasladar la carga q , desde una posición A a otra B, una vez que se ha expresado la fuerza eléctrica en función del campo eléctrico creado por una de ellas, en este caso Q. Y será, entonces

$W=\int _{A}^{B}{\vec {F}}_{el}\cdot d{\vec {l}}=\int _{A}^{B}q{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=\int _{A}^{B}{\frac {Qq}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}dr=-\left\lbrack {\frac {Qq}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right\rbrack _{A}^{B}={\frac {Qq}{4\pi \varepsilon _{0}r_{A}}}-{\frac {Qq}{4\pi \varepsilon _{0}r_{B}}}$

Como se puede observar, el trabajo W debido a la fuerza electrostática, no depende del camino seguido por la carga q para ir desde la posición A a la posición B ya que solo depende de las posiciones inicial ra y final rb. Esto es debido a que la fuerza de repulsión Fel, que ejerce la carga fuente Q situada en el origen de coordenadas , sobre la carga q , es conservativa. Es más, se puede observar que este trabajo realizado por la fuerza electrostática es la diferencia de los valores que adquiere una función entre las posiciones de partida y llegada. Esta función es, precisamente la Energía Potencial para la fuerza y el campo eléctrico y se escribe como,

E_{p}(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r}}

La fuerza electrostática que da origen a la energía potencial entre las dos cargas, es de carácter repulsivo si las cargas Q y q son del mismo signo (como en este caso se ha supuesto). La energía potencial será, por tanto, una función decreciente con r siguiendo la función +1/r. Si las cargas fueran de signo opuesto la energía potencial sería negativa, siguiendo la función -1/r y la fuerza electrostática de carácter atractivo. Esta dualidad, en el carácter repulsivo o atractivo de la fuerza electrostática y del diferente signo de la energía potencial y del potencial (por extensión), es una propiedad intrínseca a la interacción eléctrica, que no posee otro tipo de campos o de fuerzas, como por ejemplo, la fuerza de gravitación. Si se utilizan las funciones energía potencial y potencial, es necesario establecer un origen de potenciales como referencia de nivel cero para dichas funciones. Considerando cargas puntuales, el valor cero de energía potencial se establece en el infinito (donde la energía potencial y el potencial se anulan), o sea para $r=\infty$ , $E_{p}=0$ quedando definida la función energía potencial para todos los puntos del espacio, sin necesidad de ninguna constante adicional. Si se utilizan diferencias de energía potencial ( o de potencial ) al calcular el trabajo realizado por la fuerza conservativa, depende del origen de potenciales.

Al realizar una gráfica de la energía potencial, Ep(r) se puede comprobar como disminuye su valor al aumentar la separación entre ambas cargas siguiendo la ley ${\frac {1}{r}}$ ,

Para definir de manera natural el Potencial Eléctrico a partir de la Energía potencial Electrostática, se considera la Energía Potencial de la carga Q y la carga q= +1 Coul separadas una distancia r, cuando el campo eléctrico E lo crea la carga fuente Q. De esta forma se obtendrá el potencial V creado por la carga Q; y que representa, a su vez, la energía potencial referida a la unidad de carga positiva. Por tanto, basta con dividir la energía potencial, Ep (r) por la carga q, que se sitúa a una distancia r de la carga fuente Q, para obtener el potencial eléctrico creado por Q a una distancia r

V(r)={\frac {E_{p}(r)}{q}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}\qquad \qquad [1]

estando la carga fuente Q en el origen de coordenadas. El potencial eléctrico tiene el mismo comportamiento con la distancia r que la energía potencial eléctrica.

El hecho de que la fuerza electrostática sea conservativa significa que la energía cinética mas la energía potencial asociada a la partícula de carga q y de masa m, es una constante, es decir, su energía total E, permanece constante para cualquier posición r adoptada por la partícula dentro de la región donde aparece el campo creado por Q. Este hecho se puede expresar analiticamente [1][1].

E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r}}+{\frac {mv^{2}}{2}}=constante

Potencial debido a un sistema de cargas puntuales

Se puede calcular el potencial en un punto P debido a la presencia de un sistema de cargas puntuales. El potencial es una magnitud escalar a la que se puede aplicar el principio de superposición por ser las ecuaciones de la electrostática, lineales.

El potencial creado por una carga $q$ a una distancia r, según se ha visto en ec. [1], viene dado por

V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r}}

El potencial creado por varias cargas $q_{1},q_{2},q_{3},...q_{i}$ en un punto P que distan $r_{1},r_{2},r_{3},...r_{i}$ de cada centro de carga respectivamente, será la superposición de los potenciales que crean cada una de las cargas, por separado, en dicho punto

V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+...+V_{i}=\sum _{i}^{}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{i}}{r_{i}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i}^{}{\frac {q_{i}}{r_{i}}}

El potencial debido a una distribución continua de carga se puede calcular transformando la última expresión. Las cargas puntuales pasan a ser elementos de carga infinitesimales dq y la suma pasa a ser una integral

V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {dq}{r}}

Esta expresión supone que V=0 a una distancia infinita de distribución. No puede, por tanto, utilizarse para obtener el potencial creado por las distribuciones indefinidas de carga como pueden ser la distribución lineal de carga indefinida o el plano indefinido de carga. En toda región del espacio donde existe un campo eléctrico, existe también una energía potencial electrostática expresable como

E_{p}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int {\vec {E}}^{2}dV\qquad \qquad [2]

extendida al volumen del espacio donde reside el campo eléctrico. Y siendo ${\vec {E}}^{2}={\vec {E}}.{\vec {E}}=E^{2}$ .

Superficies equipotenciales

Una forma práctica de visualizar en el espacio la energía potencial o el potencial, consiste en utilizar la representación gráfica de las superficies equipotenciales o superficies de igual potencial. La definición matemática de superficie equipotencial aplicado a la energía potencial es:

Ep=cte

Es decir una superficie equipotencial representa el lugar geométrico de todos los puntos que del espacio que presentan el mismo valor de potencial y,por tanto, la misma energía potencial. Para una carga puntual, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas en cuyo centro está la carga. Por otro lado, las líneas de campo son radiales y, por tanto perpendiculares a las superficies esféricas. Y para un campo eléctrico uniforme las equipotenciales son planos paralelos entre sí y perpendiculares a las lineas de campo. Si una carga eléctrica que se desplaza a lo largo de una superficie equipotencial, no experimenta cambios de energía potencial, o sea,

$dV={\vec {E}}.d{\vec {l}}=0$ .

Algunas propiedades de las superficies equipotenciales son:

• Las líneas de campo eléctrico son, en cada punto, perpendiculares a las superficies equipotenciales con sentido hacia potenciales decrecientes.

• El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos de una misma superficie equipotencial es nulo.

• Dos superficies equipotenciales no se pueden cortar.

Cuando la representación geométrica de los potenciales se realiza en el plano, en lugar de superficies equipotenciales aparecen líneas equipotenciales. Ahora las líneas de campo eléctrico serán perpendiculares a las líneas equipotenciales.

1.- Lineas de campo y líneas equipotenciales creadas por una carga positiva. Las lineas equipotenciales son circunferencias.
2.- Lineas de campo y líneas equipotenciales creadas por un campo uniforme. Las lineas equipotenciales son lineas rectas.
3.- Lineas de campo y líneas equipotenciales creadas por un dipolo eléctrico.

Aplicaciones

Algunas aplicaciones de la energía potencial en el campo de la electrostática son:

Los condensadores:

Un condensador es, un dispositivo que almacena la energía en forma de energía potencial electrostática en su interior. Para almacenar la carga eléctrica, creadora del campo eléctrico, utiliza dos placas o superficies conductoras en forma de láminas separadas por un material dieléctrico (aislante). Estas placas son las que se cargarán eléctricamente cuando se conecte a una fuente de alimentación. Las dos placas se cargarán con la misma cantidad de carga (q) pero con distintos signos, siendo la magnitud de la carga proporcional a la diferencia de potencial aplicada. La constante de proporcionalidad entre la carga adquirida por el condensador y la diferencia de potencial alcanzado entre las dos placas se conoce como capacidad del condensador:

C={\frac {q}{V}}

Donde q es la carga de una de las placas y V la diferencia de potencial entre ellas.

Un condensador cargado y aislado representa un sistema que mantiene un campo eléctrico en su interior y, por tanto, prestará almacenada una energía potencial electrostática. La expresión de esta se puede representar en tres formas equivalentes:

E_{p}={\frac {1}{2}}qV={\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{C}}={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\int E^{2}dV

que se deducen de la fórmula general [2] anterior.

Las aplicaciones de los condensadores son numerosas en el campo de la electrónica y por tanto, también lo son para los electrodomésticos de consumo. En las aplicaciones tecnológicas de hoy en día, están presentes en los dispositivos multimedia como ordenadores, móviles, reproductores de vídeo y de sonido, etc... En estas aplicaciones de la tecnología actual, los condensadores son capaces de almacenar una energía potencial electrostática durante breves espacios de tiempo y con valores de la energía no excesivamente elevados.

Otra aplicación de la energía potencial, de interés en el campo de la electrostática, es el generador de Van de Graaff:

El generador de Van de Graaff:

En 1931 Van de Graaff contruye el mayor generador electrostático del mundo, con el propósito de producir una diferencia de potencial muy alta (del orden de 20 millones de voltios) y poder acelerar partículas cargadas que se hacían chocar contra blancos fijos. Los resultados de las colisiones permitían informar sobre las características de los núcleos atómicos del material que constituye el blanco. ESTRUCTURA DEL GENERADOR VAN DE GRAFF Consta de: - un generador inferior que suministra cargas positivas al dispositivo de Van de Graff y cuyo polo negativo hace el papel de tierra del dispositivo.
- dos poleas, una inferior dotada de un motor de accionamiento y una superior con una correa de material aislante ajustada a las dos poleas para transmitir el movimiento de la polea inferior a la superior.
-Un gran cilindro hueco de material aislante que contiene el mencionado sistema mecánico.
- Una gran esfera metálica superior hueca acoplada al cilindro hueco.
- Dos peines metálicos de cerdas muy finas destinados a transmitir las cargas desde el generador inferior hasta la esfera metálica hueca del dispositivo de van de Graaff . El primero está enfrentado a la correa a nivel de la polea inferior y está conectado eléctricamente al polo positivo del generador inferior. El segundo está enfrentado a la correa a nivel de la polea superior. El peine metálico superior está conectado eléctricamente al interior de la esfera metálica hueca.

FUNCIONAMIENTO DEL GENERADOR VAN DE GRAFF

Generador de Van de Graaff de La Casa Mágica, en el museo St. Louis Children's (USA)

- Se pone en marcha el motor que mueve la polea inferior, arrastra en su movimiento a la correa y transmite el movimiento a la polea superior.
- El generador inferior suministra cargas positivas al peine inferior. Con ellas se crea un campo eléctrico elevado en las puntas del peine. Por el poder de las puntas del peine inferior, las cargas positivas son depositadas en la superficie exterior de la polea.
- Las cargas depositadas sobre la correa viajan hasta la polea superior.
- Las cargas positivas que llegan a la altura del peine superior crean un campo eléctrico elevado en las puntas del peine superior. Por el poder de las puntas del peine superior las cargas positivas de la correa son capturadas por el peine y llevadas a la gran esfera metálica.
- Las cargas pasan a la cara externa de la esfera metálica superior.
- El proceso es continuo de forma que en la esfera superior se llega a acumular una enorme cantidad de carga eléctrica positiva. Entre el electrodo de tierra del generador inferior y la esfera metálica superior se crea una diferencia de potencial de varios millones de voltios, lo cual constituye el objetivo del Van de Graff.
- Si se conecta una esfera de prueba a la tierra inferior mediante un cable y se aproxima a la esfera metálica superior, debido a la gran diferencia de potencial existente entre ambas esferas, se producirá una gran descarga eléctrica.
Alternativa: En el generador inferior se puede invertir la polaridad, poniendo el electrodo positivo a tierra y el negativo conectado al peine inferior. En estas condiciones las polaridades y las cargas se invierten: la correa arrastra las cargas negativas depositadas por el peine inferior, el peine superior retira las cargas negativas de la correa, la esfera superior adquiere una gran carga negativa y, por tanto, un potencial negativo muy elevado respecto a la tierra. APLICACIONES DEL GENERADOR VAN DE GRAAFF La gran diferencia de potencial creada por el generador entre la esfera superior y la tierra inferior se emplea para acelerar partículas cargadas en un sistema acelerador que no aparece en la figura. Las partículas cargadas se producen en una fuente, recorren un tubo acelerador vertical, colocado no lejos de la cinta, e impactan sobre una muestra que hace de blanco. Según se utilice una u otra alternativo se podrán acelerar iones negativos o iones positivos. En resumen, la gran energía potencial electrostática acumulada en el Van de Graaff, de varios millones de electrón-voltios ( 1 electrón-voltio = 1.610-19 J ) se destina a suministrar una gran energía cinética a los iones del acelerador de partículas.

El generador de Van de Graaff también se utiliza en Escuelas y Centros de Educación para hacer demostraciones sobre los efectos del Potencial electrostático.

Referencias

[1] "Electrostática" José Damián Catala, ed.Quiasmo, isbn=9788493719166 (2009)

[2] Tilpler-Mosca Tipler-Mosca, ed. Reverté, 6º Edición, vol.2, Nº. 5-6 Págs. 97-130 (2015)

[3] "Electric Potencial Energy"

[4] Determinación del campo en un sistema de cargas puntuales

[5] "Generador de Van de Graff"

[6] "Fuerza eléctrica"

[7] "Condensador y su explicación física"

Enlaces

http://www.slideshare.net/saulino27/electrostatica

http://www.slideshare.net/jorgecamargo/electrosttica-presentacion

http://www.av.anz.udo.edu.ve/file.php/1/ElecMag/capitulo%20V/el%20condensador.html

http://www.areatecnologia.com/electricidad/condensador.html

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/graaf/graaf.html

https://phet.colorado.edu/es/simulation/legacy/efield

Bibliografía

Landau & Lifshitz, Teoría clásica de los campos, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.
Segura González, Wenceslao, Teoría de campo relativista, eWT Ediciones, 2014, ISBN 978-84-617-1463-6.
Física para la ciencia y la tecnología - Tipler y Mosca - Volumen 1 - Capítulo 1 y 2