Fiksa punkto (matematiko)

Funkcio kun tri fiksaj punktoj

En matematiko, fiksa punkto (ankaŭ sciata kiel invarianta punkto) de funkcio estas punkto tio estas bildigata al si per la funkcio. Tio estas ke x estas fiksa punkto de la funkcio f se kaj nur se f(x)=x.

Ekzemple, se f estas difinita sur la reelaj nombroj, f: R → R kiel

f(x) = x² - 3x + 4

tiam 2 estas fiksa punkto de f, ĉar f(2) = 2.

Funkcio de inverso f(x)=1/x havas du fiksajn punktojn -1 kaj 1.

Ne ĉiu funkcio havas fiksan punkton: ekzemple, se f estas funkcio difinita sur la reelaj nombroj kiel f(x) = x+1, tiam ĝi ne havas fiksan punkton, ĉar x ne estas egala al x+1 por ĉiu reela nombro x.

En grafikaĵo de reela funkcio de reela argumento, tio ke x estas fiksa punkto signifas ke la punkto de la grafikaĵo (x, f(x)) estas sur la rekto y=x, aŭ en aliaj vortoj la grafikaĵo de f intersekciĝas kun la rekto y=x

La ekzemplo f(x) = x+1 estas okazo en kiu la grafikaĵo estas rekto kiu estas paralela al la rekto y=x.

Jen estas ekzemploj kun la funkcio, kies argumento kaj valoro estas 2-dimensiaj vektoroj de la reelaj nombroj, f: R² → R²:

• Rotacio de ebeno (sen eliro en 3-dimensian spacon) havas unu fiksan punkton, kiu estas centro de la rotacio.
• Reflekto de ebeno (sen eliro en 3-dimensian spacon) havas rekton konsistantan el fiksaj punktoj, kiu rekto estas la rekto je kiu estas la reflekto.

Aro de fiksaj punktoj de funkcio f estas skribata kiel Fix(f):

$\operatorname {Fix} (f)=\{x\in X\colon \;f(x)=x\}$

Punktoj kiu revenas al la fonta valoro post finia kvanto de ripetoj de apliko de la funkcio estas nomataj kiel periodaj punktoj; fiksa punkto estas perioda punkto kun periodo 1.

Teoremoj garantiantaj ekziston de fiksaj punktoj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Fiksa punkta teoremo.

Alloga fiksa punkto

Ripeta apliko de kosinuso x_n+1 = cos(x_n) kun komenca valoro x₁ = -1

Alloga fiksa punkto de funkcio f estas fiksa punkto x₀ de f tia ke por ĉiu valoro de x en la domajno kiu estas sufiĉe proksima al x₀, la vico de ripetitaj aplikoj de la funkcio

x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ...

konverĝas al x₀. Kiel proksima devas esti la komenca valoro estas aparta demando.

Tiel, estas konsiderata vico (u_n) kun donita komenca valoro u₀=x kaj rikura rilato u_n+1=f(u_n). Se la vico (u_n) havas limeson egalan al u₀, do u₀ estas alloga fiksa punkto de funkcio f.

Kutime oni ankaŭ postulas, ke la valoroj u_n ne estu ekster iu donita pli granda najbaraĵo, do ke la punkto estas asimptote stabila.

La kosinusa funkcio (kun argumento en radianoj) havas akurate unu fiksan punkton ĉirkaŭ 0,739085133, kiu estas alloga. La vico konverĝas al la valoro por ajna starta valoro.

Ne ĉiu fiksa punkto estas alloga: ekzemple, x=0 estas fiksa punkto de la funkcio f(x) = 2x, sed ripetado de apliko de ĉi tiu funkcio por ĉiu starta valoro escepte de 0 donas malkonverĝon.

Se la funkcio f estas kontinue diferencialebla en malfermita apudaĵo de fiksa punkto x₀, kaj |f'(x₀)| < 1, allogeco estas garantiita.

Allogaj fiksaj punktoj estas speciala okazo de pli larĝa matematika koncepto de altenaĵoj.

Alloga fiksa punkto estas nomata kiel stabila fiksa punkto se ĝi estas ankaŭ ljapunova stabila.

Fiksa punkto estas neŭtre stabila fiksa punkto se ĝi estas ljapunova stabila sed ne alloganta.

Rapido de konverĝo

Formala difino de la ordo de konverĝo estas jena.

Estu vico p_n, kiu kun n→∞ konverĝas al p. Se ekzistas pozitivaj konstantoj λ kaj α tiaj ke

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {|p_{n+1}-p|}{{|p_{n}-p|}^{\alpha }}}=\lambda$

do estas konverĝo de ordo α kun asimptota erara konstanto λ.

Funkcio f(x)=kxⁿ kun entjera n, n≥1, se n>1 aŭ |k|<1 havas allogan fiksan punkton je x=0 de ordo n.

Se f(x₀)=x₀ kaj ĉiuj derivaĵoj de funkcio f(x) de ordoj ĝis n-1 je x₀ ekzistas, kontinuas kaj egalas al nulo:

f'(x₀)=0, f''(x₀)=0, ..., f^(n-1)(x₀)=0

kaj la derivaĵo de ordo n≥2 ekzistas, kontinuas kaj ne egalas al neno, do la funkcio havas allogan fiksan punkton je x₀ de ordo n.

La konverĝo ofte estas fakte rapida. Konverĝo de ordo 1 estas simila al la eksponenta funkcio e^−kn. Konverĝo de ordo 2 estas jam simila al e^−kn2.

Aplikoj

Ludoteorio

En multaj kampoj, ekvilibro aŭ stabileco estas fundamentaj konceptoj kiuj povas esti priskribitaj per fiksaj punktoj. Ekzemple, en ekonomiko, nash-ekvilibro de ludo estas fiksa punkto de la luda plej bona responda rilato.

Maniero de Newton

Unu el uzoj de alloga fiksa punkto estas la maniero de Newton de solvado de ekvacioj. En la maniero, estas konsiderata funkcio tia ke solvaĵo de la ekvacio estas fiksa punkto de la funkcio. Se la fiksa punkto estas alloga, do la solvaĵo povas esti trovita per ripeta apliko de la funkcio al iu komenca valoro.

Estu funkcio F: X→X. Punkto x₀ en X estas solvaĵo de ekvacio F(x)=0 se kaj nur se x₀ estas fiksa punkto de funkcio f(x)=x-F(x) aŭ f(x)=x+F(x).

Eblas konsideri ankaŭ sistemon de ekvacioj, tiam X estas vektora spaco (kutime Rⁿ aŭ Cⁿ).

Unu el la plej konataj uzoj de la maniero estas kalkulado de kvadrata radiko de reela nombro a, a>0, per ripeta apliko de la funkcio

$f(x)=(x+{\frac {a}{x}})/2$

(tamen, ekzistas konsiderinde pli rapidaj manieroj de kalkulado de kvadrata radiko).

Logiko

Logikisto Saul Kripke uzas fiksajn punktojn en lia influa teorio de vero. Li montras kiel oni povas generi parte difinitan verecan predikaton (kiu restas nedifinita por problemaj frazoj similaj al "Ĉi tiu frazo estas ne vera"), per rikura difinado de "vero" startante de la segmento de lingvo kiu ne enhavas aperaĵoj de la vorto, kaj daŭrante ĝis kiam la procezo ĉesas al liveri iujn novajn bone-difinitajn frazojn. Ĉi tio bezonas kalkuleblan malfinion de paŝoj. Tio estas, por lingvo L, estu L' la lingvo generita per aldono al L, por ĉiu frazo S en L, de la frazo "S estas vera". Fiksa punkto estas atingita kiam L' estas L; je ĉi tiu punkto frazoj similaj al "Ĉi tiu frazo estas ne vera" restas nedifinitaj, tiel, laŭ Kripke, la teorio estas taŭga por naturaj lingvoj, kiuj enhavas sian propran verecan predikaton.

Topologia fiksa punkta propreco

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Fiksa punkta propreco.

Topologia spaco X havas la fiksan punktan proprecon (FPP aŭ PPF) se por ĉiu kontinua funkcio

f: X → X

tie ekzistas x en X tia ke f(x)=x.

La FPP estas topologia invarianto, kio estas ke ĝi estas konservata per ĉiu homeomorfio. La FPP estas konservata ankaŭ per ĉiu enentiro.

Laŭ fiksa punkta teoremo de Brouwer ĉiu kompakta kaj konveksa subaro de eŭklida spaco havas la FPP. Kompakteco sola ne implicas la FPP kaj konvekseco estas ne topologia propraĵo. Tiel estas senco demandi kiel topologie karakterizi la FPP.

En 1932 Borsuk demandis ĉu kompakteco kaj ankaŭ punktigebleco estas necesa kaj sufiĉa kondiĉo por la FPP. La problemo estis malfermita por 20 jaroj ĝis kiam la konjekto estis malpruvita de Shin'ichi Kinoshita kiu trovis ekzemplon de kompakta punktigebla spaco sen la FPP.

Vidu ankaŭ

• Fiksa punkta teoremo
• Plej malgranda fiksa punkto kaj plej granda fiksa punkto
• Ekvilibra punkto
• Ekvilibro
• Altenaĵo
• Ajgenvektoro
• Stabileca teorio
• Senmova punkto
• Transformo de Möbius
• Invarianto (matematiko)
• Fiksa punkta propreco
• Fiksa punkta kombinilo
• Maniero de Newton
• Nash-ekvilibro
• Kvadrategaleco
• Ludoteorio

Eksteraj ligiloj

• Animacioj pri ripetoj ĉe fiksaj punktoj