Ptolemaios

See artikkel räägib antiikaja astronoomist, geograafist ja matemaatikust; samanimeliste inimeste kohta vaata lehekülge Ptolemaios (täpsustus)

---

Klaudios Ptolemaios (kreeka Κλαύδιος Πτολεμαῖος; ladina Claudius Ptolemaeus; umbes 100, võib-olla Ptolemais Hermeiu – pärast 160. aastast, arvatavasti Aleksandria) oli hilishellenistlik astronoom, astroloog, matemaatik, geograaf, muusikateoreetik ja filosoof, kes tegutses Aleksandrias Rooma riigi provintsis Egiptuses.

Teda peetakse geotsentrilise maailmasüsteemi peamiseks kinnistajaks. Eriti tema kolm teost astronoomiast, geograafiast ja astroloogiast olid Euroopas varauusajani teaduslikud standardteosed ja tähtsad andmekogud.

Ptolemaios kirjutas "Almagesti", 13 raamatust koosneva matemaatika- ja astronoomiatraktaadi. See teos jäi keskaja lõpuni astronoomia standardteoseks Euroopas. See sisaldas peale põhjaliku tähekataloogi geotsentrilise maailmasüsteemi ehk Ptolemaiose maailmasüsteemi üksikasjalikku esitust. Koos enamiku kaasaegsetega heitis ta sellega kõrvale Aristarchose ja Seleukose heliotsentrilise maailmasüsteemii, mis pääses Euroopas võidule alles 1400 aastat hiljem tänu Mikołaj Kopernikule, Johannes Keplerile ja Galileo Galileile.

Ptolemaiose geograafiateost "Geōgraphikē Hyphēgēsis" hoidis käes veel Cassiodorus aastal 561/562, kuid seda retsipeeriti uuesti alles tänu ühe Konstantinoopoli ärakirja ladina tõlkele, mis tehti Firenzes alates 1397. aastast.

Elust

"Tetrabiblos" ehk "Quadripartitum" (1622)

Ptolemaiose elust on vähe teada, põhiliselt ainult see, mis ta oma teostes ise ütleb. Need on astronoomiliste vaatluste kuupäevad, varaseim 26. märtsist 127, hiliseim 2. veebruarist 141. Ühes hilisemas kommentaaris on öeldud, et ta elas keiser Hadrianuse ajal ja kuni Marcus Aureliuse valitsemisajani. Tema astronoomilistes vaatlustes mainitakse ainult Aleksandriat ja pole alust oletada, et ta kunagi kuskil mujal elas. Astronoom Theodoros Meliteniotes kirjutas 1360. aasta paiku, et ta sündis Ptolemais Hermius, aga kuskil mujal seda öeldud ei ole. Araabia allikate järgi arvatakse, et Klaudios Ptolemaios oli pärit Ülem-Egiptusest. Tema nimi Ptolemaios viitab kreeka päritolu või helleniseeritud esivanematele ja päritolule Egiptusest, eesnimi Claudius sellele, et keegi tema esivanematest sai keiser Claudiuse või keiser Nero ajal Rooma kodakondsuse.

Ptolemaios mainib ainult kahte kaasaegset: Syronit, kellele ta pühendas oma astronoomilised ja astroloogilised teoses, ja Theonit, keda ta informeeris oma vaatlustest.

Oma teosed kirjutas ta vanakreeka keeles. Varaseim tema peateostest, "Almagest", on kirjutatud ajavahemikus 141 (viimase seal loetletud vaatluse aasta) – 147/148 (keiser Antoninus Pius kümnendast valitsemisaastast pärineb raidkiri Kanoboses, mis toob ära üksikasju "Almagestist"). Et tema kohta on nii vähe teada, elas ta nähtavasti eraklikult, aga pidi olema pärit jõukast perekonnast, mis võimaldas tal matemaatika ja astronoomiaga tegelemist. Ta tundis hästi ka filosoofiat, eriti platonismi ja aristotelismi, samuti matemaatikat, tundis aga vähe huvi bioloogia ja meditsiini vastu. Tema ajal ei olnud Aleksandria teaduskeskusena enam nii oluline nagu hellenismiajal, kuid oli endiselt tähtis astronoomiakeskus. Aleksandria raamatukogu pidi olema Ptolemaiosele tähtis töövahend.

Looming

Ptolemaiosest on järele jäänud mitu olulist tööd, sealhulgas optikast ja muusikateooriast. Kuid kõige kuulsamad on tema astronoomia-, geograafia- ja astroloogiaalased saavutused.

Astronoomia

Ilmselt kõige suuremaks osutus Ptolemaiose mõju astronoomias. Tema araabiakeelse nime järgi tuntud teos "Almagest" ('Suurim ehitus') oli järgnenud 15 sajandi jooksul tuntuim ja hinnatuim astronoomiateos. Selles raamatus avaldas Ptolemaios oma maailmasüsteemi (Ptolemaiose maailmasüsteem), mis oli geotsentrilise maailmasüsteemi eri juht. See oli parim geotsentriline maailmasüsteem ja sellest sai geotsentrilise maailmasüsteemi sünonüüm.

Ptolemaiose maailmasüsteem

Ptolemaiose maailmasüsteem Maaga keskmes

Ptolemaiose maailmasüsteem Hannoveri Kopernikusstraße metroojaamas

Ptolemaiose järgi on Maa kindlalt universumi keskmes. Kõik teised taevakehad (Kuu, Päike, viis tol ajal tuntud planeeti ja tähistaevas) liiguvad kristallsfäärides täiuslikel ringorbiitidel deferentidel ümber oma keskme (deferendi keskme). Deferendil liikumine ei ole ühtlane. On veel üks punkt, millest deferendil liikumine paistab ühtlasena. See on ekvandi kese (ekvantpunkt). Kõik kolm keset asetsevad ühel joonel (keskmete jooned) ning on iga planeedi ekstsentrilisuse võrra omavahel nihkes. Et viia astronoomilised vaatlused, eriti planeetide ajutine tagurpidi liikumine (retrograadne liikumine) selle süsteemiga kooskõlla, oli aga tarvis lasta kõikidel taevakehadel teha oma orbiitidel veel ringe (epitsükleid) ning osalt veel liikumisi primaarsete epitsüklite ümber, või siis lasta keskmete joonel pöörelda (Kuu teooria ja Merkuuri teooria). Niisuguste (omavahel kergelt kaldus olevate) orbiitide abil õnnestus Ptolemaiosel viia oma mudel vastavusse (tol ajal veel palja silmaga tehtud) vaatlustega.

Tänapäeva matemaatika keeles võiks Ptolemaiose arvutusviisi nimetada Fourier' analüüsi empiiriliseks eelkäijaks, millega empiiriliselt määrati planeetide orbiitide teisesed perioodid (sealhulgas keskpunktivõrrand).

Ptolemaiose maailmasüsteem ennustas orbiite täpsemalt kui Mikołaj Koperniku maailmasüsteem (16. sajand). Ptolemaiose süsteemi vahetas 1600. aasta paiku välja samuti veel geotsentriline Tycho maailmasüsteem, mis sai nime Tycho Brahe järgi. Alles Johannes Kepleri avastus, et planeedid tiirlevad ümber Päikese mööda ellipseid, viis heliotsentrilise maailmasüsteemi tol ajal piisavalt täpse ja astronoomide seas üldtunnustatud mudelini. Ptolemaiose arvutusmeetodid olid täpsed ja arvutusmeetodina põhiideelt ka õiged, kuid mitte filosoofilise tõlgenduse poolest, et kõik keerleb Maa kui keskme ümber. Kepleri arvutuste läbimurre ja edu ei olnud tingitud mitte ainult sellest, et arvutuste keskmes oli Päike, mitte Maa, kui sellest, et Kepler ei kasutanud enam ringjoonelisi, vaid elliptilisi orbiite, mis viis suurema kooskõlani Tycho Brahe ja hiljem Galileo Galilei poolt tegelikult mõõdetud planeediandmetega.

Kriitika

Ptolemaiose maailmasüsteemi esitus (1661)

Uuemal ajal hinnati Ptolemaiose saavutusi aga palju kriitilisemalt. Juba Tycho Brahe rääkis 1600. aasta paiku pettusest. Aastal 1817 heitis prantsuse astronoom ja matemaatik Jean-Baptiste Joseph Delambre talle ette võltsitud ja väljamõeldud vaatlusi, eelarvamusi, vale ja plagiaati. Neid süüdistusi kordas 1977 ja veel kord 1985 täies mahus ameerika astronoom Robert Russell Newton. Newtoni väitel on kõik need väidetavalt Ptolemaiose enda tehtud vaatlused, mille pikkustele on liidetud ainult pretsessiooni väärtus 2° 40' (õige oleks olnud 3° 40'), kas fiktiivsed või Hipparchoselt üle võetud. Selle hävitava hinnanguga ühines Bartel Leendert van der Waerden raamatus "Die Astronomie der Griechen" (1988).

Teiselt poolt andis juba 1796 Pierre Simon Laplace lihtsa seletuse: ühekraadine vahe on seletatav sama suure veaga tollases Päikese liikumise teoorias. Bradley E. Schaefer jõudis 2002. aastal järeldusele, et suure osa vaatlusandmetest, mille Ptolemaios ära toob, sai kas ta ise või said tema assistendid. Ent juhul kui vanemad andmed sobisid tema mudeliga paremini kokku kui tema enda omad, kasutas ta allikat märkimata neid. Selline teguviis oli tol ajal tavaline.

Teised tööd

Ptolemaios kirjutas ka teose "Planeedihüpoteesid", kus ta "Alamagesti" andmeid kasutades keskmiseks Päikese kauguseks 1210 (tegelikult 23 480) Maa raadiust. Seal näidatakse ka, kuidas ehitada kosmose näitlikku mehaanilist mudelit.

"Käsitabelid" on peamiselt praktiliseks otstarbeks mõeldud kogumik. Teoses "Phaseis" (Tähtede tõusud ja loojangud ilmamärkidega) esitas ta ka tähekataloogi, mis põhines tähtede aastasel liikumisel ning oli umbes veerandi võrra mahukam kui Hipparchose oma. Matemaatika rakendamiseks astronoomias on mõeldud tööd "Analemma" ja "Planisphaerium". Nimetamisväärne on ka ühel steelil säilinud Kanobose raidkiri.

Aja märkimiseks kasutas Ptolemaios Egiptuse kalendrit. Kahemõttelisuse vältimiseks nimetab ta öiste nähtuste puhul lõppeva ja algava Vana-Egiptuse ööpäeva. Nende täpsete andmete järgi saab sündmusi täpselt dateerida Juliuse kalendri järgi.

Matemaatika

Ptolemaiose teoreem

Ainus teadaolev omaette matemaatiline töö on ainult Proklose kaudu pärandunud "Traktaat paralleelide postulaadist", milles ta tahtis tõestada Eukleidese paralleelide aksioomi, aga tema tõestus on matemaatiliselt väär. Teised matemaatilised ideed on sisse põimitud astronoomilistesse töödesse.

Nii pärineb temalt Ptolemaiose teoreem. See puudutab kõõlnelinurki – nelinurki, millele saab konstrueerida ümberringjoone. Ptolemaiose teoreem ütleb, et kõõlnelinurga vastaskülgede pikkuste korrutis võrdub diagonaalide korrutisega: ac + bd = ef. Et ka sümmeetrilisel trapetsil on ümberringjoon, tuleneb sümmeetrilise trapetsi haarade b = d ja diagonaalide e = f puhul erijuht ac + b² = e². Teoreem kehtib ka ristkülikute kohta, millel samuti on ümberringjoon. Siin kehtib siis a = c, nii et Pythagorase teoreem on Ptolemaiose teoreemi erijuht: a² + b² = e². Nagu Pythagorase teoreemgi, on Ptolemaiose teoreem pööratav.

Korrapärase viisnurga konstruktsioon Ptolemaiose järgi

"Almagestis" (I 10) leidub järgmine korrapärase viisnurga ja korrapärase kümmenurga konstruktsioon: Otsitava viis- või kümmenurga antud ümberringjoonel (diameetriga [AB]) poolitatakse raadius [OB] (keskpunktiga M) ja joonestatakse ringjoon ümber punkti M läbi punkti C. Selle ringjoone lõikepunkt diameetriga [AB] on punkt D. Siis on $s_{10}$ = OD kümmenurga küljepikkus ja $s_{5}$ = CD viisnurga küljepikkus. Peale selle on $s_{6}$ = r = OC kuusnurga küljepikkus. Konstruktsioon põhineb kahel teoreemil Eukleidese "Elementidest", nimelt XIII 10 ($s_{5}^{2}=s_{6}^{2}+s_{10}^{2}$) ja XIII 9 ($(s_{6}+s_{10}):s_{6}=s_{6}:s_{10}$) ning konstruktsioonil II 11 (kuldlõige).

Ptolemaiose kõõlude tabeli kohta

Oma astronoomilistes arvutustes "Almagestis" kasutab Ptolemaios tänapäeval mitte enam käibel olevat nurgafunktsiooni chord (crd): $\operatorname {chord} (\alpha )$ on kesknurgale $\alpha$ vastava kõõlu pikkus ühikringis. Peatükis I.11 on esitatud selle funktsiooni väärtuste tabel piirkonnas $\alpha ={\tfrac {1}{2}}^{\circ }$ kuni $180^{\circ }$ sammupikkusega ${\tfrac {1}{2}}^{\circ }$. Niisugustel kõõlude tabelitel on sama otstarve nagu siinuste tabelitel, kehtib:

$\operatorname {chord} (\alpha )=2\sin({\tfrac {\alpha }{2}}).$

Saavutatud täpsuse näiteks olgu märge "Almagestist":

$\operatorname {chord} (1^{\circ })=1^{p}2'50''.$

Kuuekümnendsüsteemis tähendab see:

$\operatorname {chord} (1^{\circ })={\frac {1}{60}}+{\frac {2}{60^{2}}}+{\frac {50}{60^{3}}}=0{,}017453702.$

Sellega on saavutatud umbes 5-kohaline täpsus, nagu näitab võrdlus:

$2\sin(0{,}5^{\circ })=0{,}017453071.$

Joonisel kehtib:

$\operatorname {chord} (\alpha )={\overline {BC}}$ ja $\operatorname {chord} ({\tfrac {\alpha }{2}})={\overline {BD}}.$

Ühikringis on Pythagorase teoreemil siis kuju:

$\operatorname {chord} (\alpha )^{2}+\operatorname {chord} (180^{\circ }-\alpha )^{2}=2^{2}.$

Geograafia

Ptolemaiose maailmakaart "Geographia" 15. sajandi käsikirjalisest eksemplarist. Selle paremas servas on ära toodud ka "Serica" ja "Sinae" (Hiina), "Taprobane" (Sri Lanka) ning "Aurea Chersonesus" (Malaka poolsaar)

Ptolemaiose tuntuim geograafiateos on "Geographia". Selles võttis ta kokku kõik Rooma impeeriumi aegsed geograafiateadmised. Rooma riigist kaugemalt jäävate alade kirjeldused ei ole tal aga alati usaldusväärsed.

Kokkuvõtliku "Tähtsate linnade kaanoni" kõrval koostas Ptolemaios "Geographia" ("Geōgraphikē Hyphēgēsis", "Explicatio geographica", 'geograafiline juhatus'), millesse ta joonistas üles teadaoleva maailma ja selle elanikud.

Kujutis 20. sajandi algusest

Selles teoses kasutas Ptolemaios koordinaatide võrku. Pikkuskraadide (±180°) alguseks (nullmeridiaaniks) võttis ta kuni 19. sajandini kasutatud meridiaani läbi "õndsate saarte" (makarōn nēsoi, insulae fortunatae), tänapäeva Kanaari saarte (läänepoolseim piirkond, mida ta teadis). Tema laiuskraadide definitsioon kehtib tänapäevani (ekvaator 0°, poolused ±90°). Peale selle esitab ta seal oma hüpoteesi tundmatust lõunamandrist (Terra Australis). Ptolemaios pani maakera kujutamiseks tasapinnal ette mitu sobivat projektsiooni. Ta tegi ka mitmesuguseid parandusi Marinose varasemas teoses. Ent ta kasutas teise käe infot või legende, nii et tema esitused, eriti käsitletud rahvaste kohta, on sageli ebatäpsed või isegi eksitavad. Ta tegeles ka Eratosthenese ja Poseidoniose Maa ümbermõõdu arvutustega. Ta võttis üle viimase väärad tulemused, mis läksid siis üle üldtuntud kirjandusse, nii et kuni Christoph Kolumbuseni arvati, et Maa ümbermõõt on ainult umbes 17 000 meremiili (30 000 km).

Ptolemaioselt pärinevad ainult kirjalikud juhised ja tabelid kaartide joonistamiseks, ta ise joonistas ainult mõned jämedad visandid. Hiljem kirjutati tema nime all geograafiaid ja täiendati sajandite jooksul arvukate kaartidega. Nii andis kartograaf Gerhard Mercator oma "Tabulae Geographicae" välja Ptolemaiose kaartide kompilatsioonina. Teos anti välja kuues trükis.

Muusikateooria

Ptolemaios lõi selgelt ja täpselt sõnastatud õpetuse muusikateooriast pealkirjaga "Harmonika" (kolm raamatut). See on tähtsaim säilinud antiikaegne muusikateoreetiline töö pärast Aristoxenost ja Eukleidest.

Selles kritiseerib ta nii Pythagorast kui ka Aristoxenost; Pythagorast järelduste pärast, millel puuduvad seosed vaadeldavate nähtustega, ja Aristoxenost intervallide ebatäpse määratlemise pärast selle asemel, et kasutada nende kirjeldamiseks täpseid matemaatilisi suhtarve. Ptolemaios jagas oktavi 7 astmeks.

Ta püüdis, nagu tõenäoliselt juba Eratosthenes, leida kompromissi Aristoxenose ja pütaagorlaste vahel, millele hiljem orienteerus ka Boethius. Arvutuslikult esindas ta Eukleidese positsiooni, ideeliselt ja terminoloogiliselt aga Aristoxenose õpetust, mis põhines muusikatajul.

Oma "Harmonikas" andis ta edasi palju üksikasju varasematelt muusikateoreetikutelt, näiteks Archytase, Eratosthenese ja Didymos Muusiku tetrakordid, mis oleks muidu kaduma läinud.

Optika

Tema teos "Optika" tegeleb valguse omadustega. Ta käsitleb eksperimentaalselt ja matemaatiliselt muu hulgas peegeldumist, murdumist ja värvusi. Mainitud on ka optilisi illusioone.

Filosoofia

Filosoofilises traktaadis "Peri kriteriou kai hegemonikou" ("De iudicandi facultate et animi principatu", "Otsustusjõust ja arust" pooldab ta uusplatooniliste ja stoiliste vaadete segu.

Ta kirjutas ka kaheosalise teose "Kriterion" tunnetusteooriast. Selle järgi piisab tõe tunnetamiseks mõistusest. Ta käsitleb ka loomade mõtlemist ning paigutab hegemonikon '​i, keha talitluskeskuse "elamise" jaoks südamesse, ja "hästi elamise", st eetiliste otsuste langetamiseks, ajju.

Astroloogia

Oma peamises astroloogiaraamatus "Tetrabiblos" ("Nelikraamat") püüdis ta astroloogiat esitada igati ratsionaalselt, põhjalikult ja süstemaatiliselt. Seda raamatut saatiski suur edu antiikajal ja ka islamimaailmas. Raamat oli väga tuntud ka keskaegses Euroopas. See neljast raamatust koosnev alusteos jäi eeskujuks neljaks sajandiks. Ptolemaiose enda pandud pealkiri oli võib-olla Ἀποτελεσματικά Apotelesmatika.

Raamat põhineb Ptolemaiose astronoomiaalastel töödel ja esitab astroloogia alused ning kirjeldab taevakehade mõju maisele sfäärile ja mateeriale ning inimesele.

Mälestuse jäädvustamine

• Kuu kraater Ptolemaeus (1935)
• Mount Ptolemy Antarktises (1962)
• Ptolemaiose järv Nuubias

Väljaanded ja tõlked

• Johan Ludvig Heiberg. Claudii Ptolemaei opera quae exstant omnia. Teubner: Leipzig, kd I (Syntaxis (Almagest)) kahes köites 1898, 1903, kd II (Opera astronomica minora), 1907. Osa III, 1 (Tetrabiblos) andsid välja Franz Boll ja Emilie Boer ning see ilmus 1954 (ja 1998 Wolfgang Hübneri parandustega), osa III, 2 (fragmendid, kaheldavad teosed) andis 1952, 1961 välja Friedrich Lammert.

"Almagest"

• Johan Ludvig Heiberg. Claudii Ptolemaei opera quae exstant omnia, Teubner: Leipzig
  • 1. Syntaxis Mathematics, 1898 (kreekakeelne tekstiväljaanne);
  • 2. Opera astronomica minora 1903 (kreekakeelne tekstiväljaanne).
  • uustrükk: Teubner: Leipzig 1963, 2 köidet, (Manitiuse tõlge Otto Neugebaueri parandustega)
• Karl Heinrich August Manitius. Des Claudius Ptolemäus Handbuch der Astronomie. Teubner: Leipzig
  • 1. 1912 (saksakeelne tõlge), veebis;
  • 2. 1913 (saksakeelne tõlge), veebis.
    (Heibergil põhinev tõlge saksa keelde)
• Robert Catesby Taliaferro ingliskeelne tõlge sarjas "Great Books of the Western World" (Encyclopedia Britannica), 1955
• Gerald J. Toomer. Ptolemy's Almagest. Translated and Annoted, Duckworth: London 1984; uustrükk: Princetoni ülikool: Princeton 1998, ISBN 0-691-00260-6 (ingliskeelne tõlge)

"Geōgraphikē Hyphēgēsis"

• Karl Friedrich August Nobbe (toim). Claudii Ptolemaei Geographia. 3 köidet, Leipzig 1843, 1845. Uustrükk: Olms, Hildesheim 1966 (kreekakeelne tekstiväljaanne).
• Edward Luther Stevenson (tlk). Claudius Ptolemy: The Geography, New York Public Library 1932. Uustrükk: Dover 1991 (ingliskeelne tõlge, väga vigane).
• John Lennart Berggren, Alexander Jones. Ptolemy's Geography: An Annotated Translation of the Theoretical Chapters, Princeton University Press 2000.
• Ptolemaios. Handbuch der Geographie (griechisch-deutsch), toim Alfred Stückelberger, Gerd Graßhoff, 2 poolköidet, Schwabe Verlag: Basel 2006, ISBN 3-7965-2148-7 (kreeka-saksa paralleelväljaanne)

"Tetrabiblos"

• Claudius Ptolemäus. Tetrabiblos. Nach der von Philipp Melanchthon besorgten seltenen Ausgabe aus dem Jahre 1553, 2. trükk, Chiron: Tübingen 2000, ISBN 3-925100-17-2; 3. trükk samas 2012.
• Frank E. Robbins. Ptolemy Tetrabiblos, Loeb Classical Library, Harvard University Press 1940.

"Harmooniaõpetus"

• Ingemar Düring. Die Harmonielehre des Klaudios Ptolemaios. Elander: Göteborg 1930; uustrükk: Olms, Hildesheim 1982.
• Jon Solomon. Ptolemy. Harmonics, Mnemosyne, Bibliotheca Classica Batava, Supplementum, Leiden: Brill 2000 (tõlge inglise keelde)

"Optika"

• A. M. Smith. Ptolemy’s theory of visual perception: An English translation of the Optics with introduction and commentary, Transactions of the American Philosophical Society, kd 86, osa 2, Philadelphia 1996.
• A. Lejeune. L'optique de Claude Ptolémée, Leuven 1956 ja Leiden: Brill 1989 (ladina ja prantsuse keeles)

Vaata ka

• Ptolemaiose häälestus
• Ptolemaiose võrratus
• Ptolemaiose graaf

Kirjandus

• Franz Boll. Studien über Claudius Ptolemaeus. Ein Beitrag zur Geschichte der griechischen Philosophie und Astrologie. – Neue Jahrbücher für Philologie und Pädagogik, täiendusköide 21, 2. Teubner: Leipzig 1894, lk 49–244.
• Ingemar Düring. Ptolemaios und Porphyrios über die Musik, Göteborg 1934. Faksiimile: Olms: Hildeshem 1987, ISBN 3-487-07932-1.
• Konrat Ziegler jt. Klaudios Ptolemaios. – Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft (RE), kd XXIII, 2, Stuttgart 1959, vg 1788–1859.
• Erich Polaschek. Klaudios Ptolemaios als Geograph. – Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft (RE), täiendusköide X, Stuttgart 1965, vg 680–833.
• Gerald J. Toomer. Ptolemy (or Claudius Ptolemeus). – Charles Coulston Gillispie (toim). Dictionary of Scientific Biography. kd 11: A. Pitcairn – B. Rush. Charles Scribner' Sons: New York 1975, lk 186–206.
• Wilfried Neumaier. Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker, Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios, dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra, Lang: Frankfurt am Main jt 1986, ISBN 3-8204-9492-8
• Klaus Geus. Ptolemaios – Reaktionär, Theoretiker, Plagiator? – Thomas Beck jt (toim). Barrieren und Zugänge. Die Geschichte der europäischen Expansion. Festschrift für Eberhard Schmitt zum 65. Geburtstag, Harrassowitz: Wiesbaden 2004, ISBN 3-447-04848-4, lk 36–50
• Alexander Jones (toim). Ptolemy in perspective: use and criticism of his work from antiquity to the nineteenth century, Springer: Dordrecht jt 2010.
• Jacqueline Feke, George Saliba. Ptolémée d'Alexandrie (Claude). – Richard Goulet (toim). Dictionnaire des philosophes antiques, kd 5, osa 2 (= V b), CNRS Éditions, Paris 2012, ISBN 978-2-271-07399-0, lk 1718–1735.
• Wolfgang Hübner. Klaudios Ptolemaios. – Christoph Riedweg jt (toim). Philosophie der Kaiserzeit und der Spätantike (= Grundriss der Geschichte der Philosophie. Die Philosophie der Antike, kd 5/1), Schwabe: Basel 2018, ISBN 978-3-7965-3698-4, lk 493–512, 528–536
• Jacqueline Feke. Ptolemy's Philosophy. Mathematics as a Way of Life, Princeton-Oxford 2018.