عدد ابرحقیقی

بی‌نهایت کوچک‌ها(ε) و بی‌نهایت‌ها (ω) روی محور اعداد ابرحقیقی (ε = وارون ضربی ω)

سیستم اعداد ابرحقیقی (نماد: R* و به انگلیسی: Hyperreal number) یک راه رفتار با کمیت‌های بی‌نهایت بزرگ و کوچک است. اعداد ابرحقیقی یا حقیقی‌های غیر استاندارد یک توسعه اعداد حقیقی هستند که شامل اعدادی بزرگتر از هرچیز به قالب

$1+1+\cdots +1$ (برای هر تعداد متناهی از جملات) می‌باشند.

عدد ابرحقیقی $x$ متناهی است، اگر و تنها اگر به ازای هر $n$ ، $|x|<n$. همچنین، $x$ بینهایت کوچک است، اگر و تنها اگر به ازای هر $n$ ، $|x|<1/n$. قوانین منطق مرتبه اول در مجموعه اعداد حقیقی $\mathbb {R}$ برای $\mathbb {R*}$ نیز صادق است. به عنوان مثال، خاصیت جابجایی جمع $x+y=y+x$ برای مجموعه اعداد ابرحقیقی نیز برقرار می باشد.

چنین اعدادی بی‌نهایت و وارون ضربی آنها بی‌نهایت کوچک هستند. اصطلاح «ابرحقیقی» توسط ادوین هیویت در سال ۱۹۴۸ معرفی شد.

پیوند به بیرون

• [۱] مقدمه‌ای بسیار کوتاه بر آنالیز غیراستاندارد و اعداد ابرحقیقی
• Crowell, Calculus. یک متن در مورد بی‌نهایت کوچک‌ها.
• Hermoso, آنالیز غیر استاندارد و اعداد ابرحقیقی. مقدمه‌ای آرام.
• Keisler, حسابان مقدماتی: با رویکرد بی‌نهایت کوچک‌ها. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license