Ero sivun ”Laskutoimitus” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti

[katsottu versio]

← Vanhempi muutos

Poistettu sisältö Lisätty sisältö

VisuaalinenWikiteksti

Rivimuotoinen

Nykyinen versio 11. lokakuuta 2023 kello 11.56

Laskutoimitukseksi kutsutaan matematiikassa tiettyjä vakiintuneita tapoja liittää yhteen tai kahteen alkioon yksi alkio. ^[1] Aritmetiikassa laskutoimitukset ovat toimintoja, joissa yhden tai kahden luvun avulla muodostetaan uusi luku, jota kutsutaan laskutoimituksen arvoksi. Yhteenlasku $1+2=3$ on esimerkki laskutoimituksesta, jossa otetaan kaksi lukua ( $1$ ja $2$ ) ja niiden pari muodostaa uuden luvun $3$ .

Neljä peruslaskutoimitusta ovat ^[2]: yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku. Yleisesti alkeislaskutoimituksiksi käsitetään vielä esimerkiksi: potenssiin korotus ja juuren ottaminen.^lähde?

Peruslaskutoimitukset

Peruslaskutoimitukset ovat neljä tärkeintä luvuilla tehtävää laskutoimitusta. Ne ovat yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku.

Yhteenlasku on luvun lisääminen toiseen. Riippumatta siitä, missä järjestyksessä lukuja yhteenlasketaan toisiinsa, lopputulos on aina sama. Jos positiivisia lukuja lisätään toisiin positiivisiin lukuihin, tulos on aina positiivinen luku. Samoin jos negatiivisia lukuja lisätään negatiivisiin lukuihin, tulos on aina negatiivinen. Yhteenlaskua merkitään "plus"- tai summamerkillä: $+$

Vähennyslasku on yhteenlaskun käänteistoiminto. Se liittyy yhteenlaskuun siten että jos kaksi lukua lasketaan yhteen, vähentämällä summasta toinen yhteenlasketuista luvuista saadaan lopputulokseksi se toinen.

$a+b=c\Rightarrow c-b=a\land c-a=b$

Vähennyslasku on siinä suhteessa epäsymmetrinen, että vaihtamalla keskenään luku, josta vähennetään, ja luku, joka vähennetään, erotukset ovat samat vain erityistapauksissa.

$a-b=b-a\Leftrightarrow a=b$

Kertolasku voidaan palauttaa yhteenlaskuun siten, että kertolaskussa lisätään toisiinsa kertojan osoittama määrä kerrottavia. Kertojan ja kerrottavan vaihtaminen keskenään ei vaikuta lopputulokseen eli kertolasku on vaihdannainen. Erikoistapauksena mainittakoon, että nollalla kertominen tai nollan kertominen tuottaa aina tulokseksi luvun nolla riippumatta siitä, millä luvulla se kerrotaan tai mikä luku sillä kerrotaan.

Jakolasku ei suoraan palaudu yhteenlaskuun.

Formaalista määritelmästä

Matematiikassa laskutoimituksen formaali määritelmä voi vaihdella kirjallisuudesta ja asiayhteydestä riippuen. Yleensä joukon $E\,$ laskutoimitus määritellään kuvaukseksi $E\times E\to E$ , joka liittää jokaiseen järjestettyyn pariin $E\,$ :n alkioita s, s′ yksikäsitteisen $E\,$ :n alkion s′′.^[3] Näissä yhteyksissä laskutoimitus on synonyymi binäärioperaatiolle ^[4]. Laskutoimituksen ei välttämättä tarvitse operoida lukuja. Esimerkiksi edellisen määritelmän mukaan joukko-opillinen leikkaus ja unioni ovat laskutoimituksia mielivaltaisen joukon $E\,$ potenssijoukolle ${\mathcal {P}}(E).\,$ Näin määriteltynä rationaalilukujen yhteenlasku on laskutoimitus, mutta rationaalilukujen jakolasku määriteltynä funktiona $\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} -\{0\}\rightarrow \mathbb {Q}$ ei ole. Tämä ei kuitenkaan estä kutsumasta jakolaskua laskutoimitukseksi muissa yhteyksissä, kuten esimerkiksi aritmetiikassa ^lähde?.

Vektoriavaruuksissa vektorin kertominen skalaarilla, joka on kuvaus $K\times V\to V$ , saatetaan katsoa laskutoimitukseksi koulukunnasta riippuen. Toisinaan myös vektorien sisätuloa voidaan kutsua laskutoimitukseksi.

Lähteet

↑ Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 31. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0
↑ Peruslaskutoimitukset (Arkistoitu – Internet Archive), Peruslaskutoimitukset^{[vanhentunut linkki]}, Peruslaskutoimitukset, Peruslaskutoimitukset (Arkistoitu – Internet Archive)
↑ Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen: Algebra (s. 48) matematiikkalehtisolmu.fi. 2010. Viitattu 13.7.2019.
↑ Kalevi Suominen: Algebra II (Arkistoitu – Internet Archive)

Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Laskutoimitus Wikimedia Commonsissa

[h1-1] Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 31. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0

[salpaus-2] Peruslaskutoimitukset (Arkistoitu – Internet Archive), Peruslaskutoimitukset^{[vanhentunut linkki]}, Peruslaskutoimitukset, Peruslaskutoimitukset (Arkistoitu – Internet Archive)

[solmu_2010-3] Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen: Algebra (s. 48) matematiikkalehtisolmu.fi. 2010. Viitattu 13.7.2019.

[hy-4] Kalevi Suominen: Algebra II (Arkistoitu – Internet Archive)

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Rivi 1: / Rivi 1: @@
 {{lähteetön}}
+[[Tiedosto:Konkretismus (DSC04014).jpg|pienoiskuva|Yhteenlaskun konkreettisuus tulee näkyviin lukumäärien yhdistämisestä.]]
+[[Tiedosto:Arithmetic symbols de.svg|pienoiskuva|Peruslaskutoimitusten symbolit.]]
+'''Laskutoimitukseksi''' kutsutaan matematiikassa tiettyjä vakiintuneita tapoja liittää yhteen tai kahteen alkioon yksi alkio. <ref name=h1/> [[aritmetiikka|Aritmetiikassa]] laskutoimitukset ovat toimintoja, joissa yhden tai kahden luvun avulla muodostetaan uusi luku, jota kutsutaan laskutoimituksen arvoksi. [[Yhteenlasku]] <math>1+2=3</math> on esimerkki laskutoimituksesta, jossa otetaan kaksi lukua (<math>1</math> ja <math>2</math>) ja niiden pari muodostaa uuden luvun <math>3</math>.
+Neljä peruslaskutoimitusta ovat <ref name=salpaus/>: [[yhteenlasku]], [[vähennyslasku]], [[kertolasku]] ja [[jakolasku]]. Yleisesti alkeislaskutoimituksiksi käsitetään vielä esimerkiksi: [[potenssi|potenssiin korotus]] ja [[juuri (laskutoimitus)|juuren ottaminen]].{{Lähde}}
-'''Laskutoimitukseksi''' kutsutaan matematiikassa tiettyjä vakiintuneita tapoja liittää yhteen tai kahteen alkioon yksi alkio. [[aritmetiikka|Aritmetiikassa]] laskutoimitukset ovat toimintoja, joissa yhden tai kahden luvun avulla muodostetaan uusi luku, jota kutsutaan laskutoimituksen arvoksi. [[Yhteenlasku]] <math>1+2=3</math> on esimerkki laskutoimituksesta, jossa otetaan kaksi lukua (<math>1</math> ja <math>2</math>) ja niiden pari muodostaa uuden luvun <math>3</math>.
-Neljä [[peruslaskutoimitukset|peruslaskutoimitusta]] ovat<ref>[http://merko.salpaus-edu.fi/~asta/matikka/peruslaskut/perusvalikko.htm Peruslaskutoimitukset], [http://www.oph.fi/julkaisut/arvioinnit/matematiikka2004.pdf Peruslaskutoimitukset], [http://web.archive.org/web/20070221090802/http://www.biocenter.helsinki.fi/ml/farml/chemistry/Luennot+(1,2,4,5,7,8,9).pdf Peruslaskutoimitukset], [http://matta.hut.fi/mattafi/raportit/yleis/mathcomp04.html Peruslaskutoimitukset]</ref>:
-* [[yhteenlasku]]
-* [[vähennyslasku]]
-* [[kertolasku]]
-* [[jakolasku]]
-Yleisesti alkeislaskutoimituksiksi käsitetään mm.:
-* [[potenssi|potenssiin korotus]]
-* [[juuri (laskutoimitus)|juuren ottaminen]]{{Lähde}}
 == Peruslaskutoimitukset ==
 Peruslaskutoimitukset ovat neljä tärkeintä [[luku|luvuilla]] tehtävää laskutoimitusta. Ne ovat [[yhteenlasku]], [[vähennyslasku]], [[kertolasku]] ja [[jakolasku]].
-Yhteenlasku on luvun lisääminen toiseen. Riippumatta siitä, missä järjestyksessä lukuja yhteenlasketaan toisiinsa, lopputulos on aina sama. Jos positiivisia lukuja lisätään toisiin positiivisiin lukuihin, tulos on aina positiivinen luku. Samoin jos negatiivisia lukuja lisätään negatiivisiin lukuihin, tulos on aina negatiivinen.
+Yhteenlasku on luvun lisääminen toiseen. Riippumatta siitä, missä järjestyksessä lukuja yhteenlasketaan toisiinsa, lopputulos on aina sama. Jos positiivisia lukuja lisätään toisiin positiivisiin lukuihin, tulos on aina positiivinen luku. Samoin jos negatiivisia lukuja lisätään negatiivisiin lukuihin, tulos on aina negatiivinen. Yhteenlaskua merkitään "plus"- tai summamerkillä: <math>+</math>
-Vähennyslasku liittyy yhteenlaskuun siten että jos kaksi lukua lasketaan yhteen, vähentämällä summasta toinen yhteenlasketuista luvuista saadaan lopputulokseksi se toinen. Vähennyslasku on siinä suhteessa epäsymmetrinen, että vaihtamalla keskenään luku, josta vähennetään, ja luku, joka vähennetään, erotukset ovat samat vain erityistapauksissa.
+Vähennyslasku on yhteenlaskun käänteistoiminto. Se liittyy yhteenlaskuun siten että jos kaksi lukua lasketaan yhteen, vähentämällä summasta toinen yhteenlasketuista luvuista saadaan lopputulokseksi se toinen.
+<math>a+b=c\Rightarrow c-b=a \land c-a=b</math>
-Kertolasku voidaan palauttaa yhteenlaskuun siten, että kertolaskussa lisätään toisiinsa kertojan osoittama määrä kerrottavia. Kertojan ja kerrottavan vaihtaminen keskenään ei luonnollisilla luvuilla vaikuta lopputulokseen. Erikoistapauksena mainittakoon, että nollalla kertominen tai nollan kertominen tuottaa aina tulokseksi luvun nolla riippumatta siitä, millä luvulla se kerrotaan tai mikä luku sillä kerrotaan.
+Vähennyslasku on siinä suhteessa epäsymmetrinen, että vaihtamalla keskenään luku, josta vähennetään, ja luku, joka vähennetään, erotukset ovat samat vain erityistapauksissa.
+<math>a-b=b-a\Leftrightarrow a=b</math>
+Kertolasku voidaan palauttaa yhteenlaskuun siten, että kertolaskussa lisätään toisiinsa kertojan osoittama määrä kerrottavia. Kertojan ja kerrottavan vaihtaminen keskenään ei vaikuta lopputulokseen eli kertolasku on vaihdannainen. Erikoistapauksena mainittakoon, että nollalla kertominen tai nollan kertominen tuottaa aina tulokseksi luvun nolla riippumatta siitä, millä luvulla se kerrotaan tai mikä luku sillä kerrotaan.
 Jakolasku ei suoraan palaudu yhteenlaskuun.
 == Formaalista määritelmästä ==
-Matematiikassa laskutoimitukselle ei aina anneta formaalia määritelmää, ja annetut määritelmät voivat vaihdella kirjallisuudesta ja asiayhteydestä riippuen. Yleensä [[magma (matematiikka)|magmoja]] ja niiden erikoistapauksia käsiteltäessä joukon <math>E \, </math> laskutoimitus määritellään [[funktio|kuvaukseksi]] <math>E\times E\to E</math> eli näissä yhteyksissä laskutoimitus on synonyymi [[Binäärioperaatio|binäärioperaatiolle]] (esimerkiksi ([http://www.math.helsinki.fi/kurssit/algII/moniste/Osa1.pdf Kalevi Suominen: Algebra II]). Laskutoimituksen ei välttämättä tarvitse operoida lukuja. Esimerkiksi edellisen määritelmän mukaan [[joukko-oppi|joukko-opillinen]] leikkaus ja unioni ovat laskutoimituksia mielivaltaisen joukon <math>E \, </math> [[potenssijoukko|potenssijoukolle]] <math>\mathcal{P}(E). \, </math> Näin määriteltynä [[rationaaliluku|rationaalilukujen]] yhteenlasku on laskutoimitus, mutta rationaalilukujen jakolasku määriteltynä funktiona <math> \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} - \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{Q} </math> ei ole. Tämä ei kuitenkaan estä kutsumasta jakolaskua laskutoimitukseksi muissa yhteyksissä, kuten esimerkiksi aritmetiikassa {{Malline:Lähde}}.
+Matematiikassa laskutoimituksen formaali määritelmä voi vaihdella kirjallisuudesta ja asiayhteydestä riippuen. Yleensä joukon <math>E \, </math> laskutoimitus määritellään [[funktio|kuvaukseksi]] <math>E\times E\to E</math>, joka liittää jokaiseen järjestettyyn pariin <math>E \, </math>:n alkioita s, s′ yksikäsitteisen <math>E \, </math>:n alkion s′′.<ref name=solmu_2010/> Näissä yhteyksissä laskutoimitus on synonyymi [[Binäärioperaatio|binäärioperaatiolle]] <ref name=hy/>. Laskutoimituksen ei välttämättä tarvitse operoida lukuja. Esimerkiksi edellisen määritelmän mukaan [[joukko-oppi|joukko-opillinen]] leikkaus ja unioni ovat laskutoimituksia mielivaltaisen joukon <math>E \, </math> [[potenssijoukko|potenssijoukolle]] <math>\mathcal{P}(E). \, </math> Näin määriteltynä [[rationaaliluku|rationaalilukujen]] yhteenlasku on laskutoimitus, mutta rationaalilukujen jakolasku määriteltynä funktiona <math> \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} - \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{Q} </math> ei ole. Tämä ei kuitenkaan estä kutsumasta jakolaskua laskutoimitukseksi muissa yhteyksissä, kuten esimerkiksi aritmetiikassa {{Lähde}}.
 [[Vektoriavaruus|Vektoriavaruuksissa]] [[vektori|vektorin]] kertominen [[skalaari|skalaarilla]], joka on kuvaus <math>K\times V\to V</math>, saatetaan katsoa laskutoimitukseksi koulukunnasta riippuen. Toisinaan myös vektorien [[sisätulo|sisätuloa]] voidaan kutsua laskutoimitukseksi.
-Joskus täsmällistä määritelmää ei anneta lainkaan, vaan laskutoimituksiksi kutsutaan niitä kuvauksia, joiden on rakenteellinen merkitys vastaa yhteen- ja kertolaskun roolia eri lukujoukoissa.{{Malline:Lähde}}
 == Lähteet ==
-{{Viitteet}}
+{{Viitteet|viitteet=
+* <ref name=h1>{{Kirjaviite | Tekijä=Häsä, Jokke & Rämö, Johanna | Nimeke=Johdatus abstraktiin algebraan| Sivut=31  | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Gaudeamus | Vuosi=2015 | Isbn= 978-952-495-361-0}}</ref>
+* <ref name=salpaus>[http://merko.salpaus-edu.fi/~asta/matikka/peruslaskut/perusvalikko.htm Peruslaskutoimitukset] {{Wayback|1=http://merko.salpaus-edu.fi/~asta/matikka/peruslaskut/perusvalikko.htm |päiväys=20070422193550 }}, [http://www.oph.fi/julkaisut/arvioinnit/matematiikka2004.pdf Peruslaskutoimitukset]{{404}}, [https://web.archive.org/web/20070221090802/http://www.biocenter.helsinki.fi/ml/farml/chemistry/Luennot+(1,2,4,5,7,8,9).pdf Peruslaskutoimitukset], [http://matta.hut.fi/mattafi/raportit/yleis/mathcomp04.html Peruslaskutoimitukset] {{Wayback|1=http://matta.hut.fi/mattafi/raportit/yleis/mathcomp04.html |päiväys=20070613034958 }}</ref>
+* <ref name=solmu_2010>{{Verkkoviite | Osoite = https://matematiikkalehtisolmu.fi/2010/algebra.pdf | Nimeke = Algebra| Tekijä = Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen| Ajankohta = 2010| Selite = s. 48 | Julkaisupaikka = | Julkaisija = | Viitattu = 13.7.2019 | Kieli = }}</ref>
+* <ref name=hy>[http://www.math.helsinki.fi/kurssit/algII/moniste/Osa1.pdf Kalevi Suominen: Algebra II] {{Wayback|1=http://www.math.helsinki.fi/kurssit/algII/moniste/Osa1.pdf |päiväys=20110812083744 }}</ref>
+}}
+== Aiheesta muualla ==
-{{tynkä/Matematiikka}}
+{{commonscat-rivi}}
 [[Luokka:Matematiikan käsitteet]]

Ero sivun ”Laskutoimitus” versioiden välillä

Nykyinen versio 11. lokakuuta 2023 kello 11.56

Sisällys

Peruslaskutoimitukset

Formaalista määritelmästä

Lähteet

Aiheesta muualla

Navigointivalikko

Ero sivun ”Laskutoimitus” versioiden välillä

Nykyinen versio 11. lokakuuta 2023 kello 11.56

Peruslaskutoimitukset

Formaalista määritelmästä

Lähteet

Aiheesta muualla

Navigointivalikko

Haku