Alkeismatriisi

Matematiikassa alkeismatriisi on yksinkertainen matriisi, joka saadaan yksikkömatriisista yhdellä alkeisrivitoimituksella - jokainen alkeisrivitoimitus pystytäänkin ilmoittamaan jonkin alkeismatriisin avulla. Alkeismatriisien ominaisuuksien ansiosta pystytään käsittelemään säännöllisiä matriiseja.

Määritelmä

m×m -matriisi E on alkeismatriisi, jos se saadaan yksikkömatriisista I_m yhdellä alkeisrivitoimituksella K, jossa K on I, II tai III. Alkeismatriisin E sanotaan tällöin olevan tyyppiä K.

• I. Kahden rivin paikat vaihdetaan.
• II. Rivi kerrotaan nollasta eriävällä luvulla.
• III. Riviin lisätään toisen rivin monikerta.

Esimerkki

$E_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\quad$ ,

jossa yksikkömatriisin 2. ja 3. rivi on vaihdettu keskenään.

$E_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{bmatrix}}\quad$ ,

jossa yksikkömatriisin 3. rivi on kerrottu vakiolla 3.

$E_{3}={\begin{bmatrix}1&0&4\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\quad$ ,

jossa yksikkömatriisin 3. riviä on kerrottu luvulla 4 ja lisätty se sitten 1. riviin.

Ominaisuuksia

1. Oletetaan, että alkeismatriisi E on tyyppiä K. Kun tällä alkeismatriisilla kerrotaan jokin matriisi A on tulos sama kuin, jos A:lle tehtäisiin rivitoimitus K. (K = I, II tai III)

Esimerkki

Suoritetaan matriisille

$A={\begin{bmatrix}2&1&0&5\\4&3&3&2\\8&-2&1&0\\7&3&2&1\end{bmatrix}}\quad$

rivitoimitus I alkeismatriisin E avulla. A:n 1. ja 2. rivi vaihdetaan siis seuraavasti:

$EA={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&1&0&5\\4&3&3&2\\8&-2&1&0\\7&3&2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&3&3&2\\2&1&0&5\\8&-2&1&0\\7&3&2&1\end{bmatrix}}\quad$ .

Myös rivitoimitukset II ja III voitaisi esittää alkeismatriisien avulla.

2. Jos äärellisellä määrällä alkeismatriiseja kerrotaan jotakin matriisia B ja saadaan tuloksi matriisi A, matriisit A ja B ovat riviekvivalentteja.

3. Alkeismatriisi E on säännöllinen ja sen käänteismatriisi E ^-1 on samaa tyyppiä K kuin E.

Käyttö

Alkeismatriisien ominaisuuksia hyödynnetään, kun todistetaan matriisien säännöllisyysehtoa.

Säännöllisyysehto

Matriisi A on säännöllinen, jos ja vain jos A ja sitä vastaava yksikkömatriisi ovat riviekvivalentteja.