« Quantification existentielle » : différence entre les versions
Redirection vers Quantificateurs existentiels |
mAucun résumé des modifications |
||
| (26 versions intermédiaires par 12 utilisateurs non affichées) | |||
| Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
{{Redirect|∃|homonymie=よ|autres=pour le kana ヨ}} |
|||
#REDIRECTION [[Quantificateurs existentiels]] |
|||
[[Fichier:Existential Quantification.png|alt=quantificateur il existe|vignette|Symbole mathématique du quantificateur d'existence.]] |
|||
En [[mathématiques]] et en [[logique]], plus précisément en [[calcul des prédicats]], l''''existence''' d'un objet <math>x</math> satisfaisant une certaine propriété, ou [[Prédicat (logique mathématique)|prédicat]], <math>P</math> se note <math>\exist x P(x)</math>, où le [[symbole mathématique]] <math>\exist</math>, lu « il existe », est le '''quantificateur existentiel''', et <math>P(x)</math> le fait pour l'objet <math>x</math> d'avoir la propriété <math>P</math>. |
|||
L'objet <math>x</math> a la propriété <math>P(x)</math> s'exprime par une [[formule logique|formule]] du [[calcul des prédicats]]. Pour exemples, |
|||
* dans une [[relation d'ordre|structure ordonnée]], « <math>x</math> est un élément minimal » s'écrit <math>\forall y, x \leq y</math>, « il existe un élément minimal » s'écrit donc <math>\exist x, \forall y, x \leq y</math> |
|||
* dans une structure munie d'une loi binaire notée <math>+</math>, « <math>x</math> est élément neutre » se dit <math>\forall y, ((y + x = y) \land (x + y = y))</math>, « il existe un élément neutre » s'écrit donc <math>\exist x, \forall y, ((y + x = y) \land (x + y = y))</math>. |
|||
Le [[quantificateur (logique)|quantificateur]] existentiel <math>\exist</math> est un opérateur de liaison, ou signe mutificateur ; la variable qui suit immédiatement le quantificateur est dite liée, ou muette dans l'expression. Ainsi l'énoncé <math>\exist x P(x)</math> ne dépend pas de <math>x</math>, et il est synonyme par exemple de <math>\exist z P(z)</math>. |
|||
L'énoncé peut se démontrer directement par une construction explicite, en produisant l'objet considéré, ou indirectement par une démonstration éventuellement non constructive, comme dans le cas d'un [[raisonnement par l'absurde]]. Elle peut même être directement exprimée par un [[axiome]] d'une théorie mathématique. |
|||
''A priori'', l'existence ne garantit pas l'[[unicité (mathématiques)|unicité]], ce qui signifie qu'il peut exister plusieurs objets satisfaisant les mêmes propriétés, donc que l'obtention de tels objets par des méthodes différentes (ou par la répétition d'une même méthode) n'aboutira pas nécessairement au même résultat. Lorsqu'il y a ''quantification existentielle unique'', c'est-à-dire conjonction de l'existence et de l'unicité<ref>{{Citation étrangère|lang=en|In mathematics, definitions often come paired : "at most one" and "at least one"}} —{{Lien web|lang=en|auteur=[[Ravi Vakil]]|titre=Foundations of Algebraic Geometry|année=2013|url=http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf|site=[[Université Stanford|math.stanford.edu]]}}, {{p.|73}}.</ref>, le prédicat est usuellement noté à l'aide du signe « <math>\exist!</math> », qui a la même syntaxe que le signe « <math>\exist</math> ». |
|||
Les variables peuvent être astreintes à des ensembles différents, réels, entiers, vecteurs... Il est souvent nécessaire de préciser explicitement dans la quantification le domaine auquel est astreinte la variable, par exemple <math>\exist x \in \R P(x)</math> pour indiquer que la variable <math>x</math> désigne un réel, avec diverses syntaxes possibles pour séparer la quantification du prédicat (espace comme précédemment, virgule : <math>\exist x \in \R, P(x)</math>, etc.). |
|||
== Origine == |
|||
L'utilisation répertoriée la plus ancienne de ce symbole fut faite par [[Giuseppe Peano]] dans son livre le logique mathématique [[Formulaire de mathématiques|''Formulario Mathematico'']] en 1896. Le symbole fut ensuite popularisé par [[Bertrand Russell]]<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Stephen|nom1=Webb|titre=Clash of Symbols|périodique=SpringerLink|date=2018|doi=10.1007/978-3-319-71350-2|lire en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-71350-2|consulté le=2024-03-02}}</ref>. |
|||
== Note == |
|||
{{Références}} |
|||
== Bibliographie == |
|||
* {{Cori-Lascar I}} (chapitre 3) |
|||
== Articles connexes == |
|||
*[[Théorème d'existence]] |
|||
*[[Quantification (logique)]] |
|||
{{Portail|logique|mathématiques}} |
|||
[[Catégorie:Vocabulaire des mathématiques]] |
|||
[[Catégorie:Logique mathématique]] |
|||
[[Catégorie:Symbole mathématique]] |
|||
[[Catégorie:Concept logique]] |
|||
Dernière version du 16 août 2024 à 10:32
« ∃ » redirige ici. Pour pour le kana ヨ, voir よ.
En mathématiques et en logique, plus précisément en calcul des prédicats, l'existence d'un objet satisfaisant une certaine propriété, ou prédicat, se note , où le symbole mathématique , lu « il existe », est le quantificateur existentiel, et le fait pour l'objet d'avoir la propriété .
L'objet a la propriété s'exprime par une formule du calcul des prédicats. Pour exemples,
- dans une structure ordonnée, « est un élément minimal » s'écrit , « il existe un élément minimal » s'écrit donc
- dans une structure munie d'une loi binaire notée , « est élément neutre » se dit , « il existe un élément neutre » s'écrit donc .
Le quantificateur existentiel est un opérateur de liaison, ou signe mutificateur ; la variable qui suit immédiatement le quantificateur est dite liée, ou muette dans l'expression. Ainsi l'énoncé ne dépend pas de , et il est synonyme par exemple de .
L'énoncé peut se démontrer directement par une construction explicite, en produisant l'objet considéré, ou indirectement par une démonstration éventuellement non constructive, comme dans le cas d'un raisonnement par l'absurde. Elle peut même être directement exprimée par un axiome d'une théorie mathématique.
A priori, l'existence ne garantit pas l'unicité, ce qui signifie qu'il peut exister plusieurs objets satisfaisant les mêmes propriétés, donc que l'obtention de tels objets par des méthodes différentes (ou par la répétition d'une même méthode) n'aboutira pas nécessairement au même résultat. Lorsqu'il y a quantification existentielle unique, c'est-à-dire conjonction de l'existence et de l'unicité[1], le prédicat est usuellement noté à l'aide du signe « », qui a la même syntaxe que le signe « ».
Les variables peuvent être astreintes à des ensembles différents, réels, entiers, vecteurs... Il est souvent nécessaire de préciser explicitement dans la quantification le domaine auquel est astreinte la variable, par exemple pour indiquer que la variable désigne un réel, avec diverses syntaxes possibles pour séparer la quantification du prédicat (espace comme précédemment, virgule : , etc.).
Origine
[modifier | modifier le code]L'utilisation répertoriée la plus ancienne de ce symbole fut faite par Giuseppe Peano dans son livre le logique mathématique Formulario Mathematico en 1896. Le symbole fut ensuite popularisé par Bertrand Russell[2].
Note
[modifier | modifier le code]- « In mathematics, definitions often come paired : "at most one" and "at least one" » —(en) Ravi Vakil, « Foundations of Algebraic Geometry », sur math.stanford.edu, , p. 73.
- (en) Stephen Webb, « Clash of Symbols », SpringerLink, (DOI 10.1007/978-3-319-71350-2, lire en ligne, consulté le )
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique I. Calcul propositionnel, algèbres de Boole, calcul des prédicats [détail des éditions] (chapitre 3)
Articles connexes
[modifier | modifier le code]
