„Papposz–Guldin-tétel” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat]

[ellenőrzött változat]

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap jelenlegi, 2017. szeptember 3., 06:08-kori változata

A Papposz–Guldin-tétel két tétel neve, melyek az alexandriai Papposz és Paul Guldin svájci matematikus nevéhez fűződnek. A tétel segítségével forgástestek térfogata és forgásfelületek felszíne számítható ki.

Az első tétel

Legyen egy síkgörbe ívhosszúsága s. Forgassuk meg a görbét egy, a síkjában fekvő, de a görbét nem metsző t egyenes körül α szöggel. A görbe C súlypontjának távolsága a t tengelyől r_s. Az első tétel kijelenti, hogy egy síkgörbe megforgatásával nyert forgásfelület A felszíne egyenlő a görbe s ívhosszúsága és a görbe súlypontjának a forgatás közben leírt útjának (körív) szorzatával:

F=s\cdot r_{s}\cdot \alpha \,

Itt

r_{s}\,

a görbe súlypontjának távolsága a t tengelytől,

\alpha \,

pedig a megforgatás szöge.

Például az r sugarú kört a súlypontja körül R sugarú körön megforgatva származtatott tórusz felszíne:

F=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr.\,

A második tétel

Legyen egy A területű síkidom, és egy t egyenes vele egy síkban, mely nem metszi a síkidomot. Ha a síkidomot a t egyenes mint tengely körül α szöggel elforgatjuk, egy V térfogatú forgástestet súrol. A síkidom C_A súlypontjának távolsága a t tengelytől R_s. Ennek a forgástestnek a térfogata egyenlő a síkidom területének és a súlypont pályája ívhosszának szorzatával:

V=A\cdot R_{s}\cdot \alpha \,

A fenti példa tóruszának térfogata tehát:

V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\,

Források

J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve, 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-A Pappus-Guldin tétel két tétel neve, melyek [[alexandriai Pappus]] és [[Paul Guldin]] [[svájc]]i matematikus nevéhez fűződik. A tétel segítségével forgástestek térfogata és forgásfelületek felszíne számítható ki.
+[[Kép:Pappus.jpg|bélyegkép|250px|Forgásfelület területének számításához]]A '''Papposz–Guldin-tétel''' két [[tétel]] neve, melyek az alexandriai [[Papposz]] és [[Paul Guldin]] [[svájc]]i matematikus nevéhez fűződnek. A tétel segítségével forgástestek [[térfogat]]a és forgásfelületek [[felszín]]e számítható ki.
-<!--
-'''Pappus's centroid theorem''' (also known as  the '''Guldinus theorem''', '''Pappus-Guldinus theorem''' or '''Pappus's theorem''') is the name of two related [[theorem]]s dealing with the [[surface area]]s and [[volume]]s of [[surface]]s and [[solid]]s of [[revolution]].
+== Az első tétel ==
-The theorem is attributed to [[Pappus of Alexandria]] and [[Paul Guldin]].
+Legyen egy síkgörbe ívhosszúsága ''s''. Forgassuk meg a görbét egy, a síkjában fekvő, de a görbét nem metsző ''t'' egyenes körül ''α'' szöggel. A görbe ''C'' [[súlypont]]jának távolsága a ''t'' tengelyől r<sub>s</sub>. Az első tétel kijelenti, hogy egy [[síkgörbe]] megforgatásával nyert [[forgásfelület]] ''A'' felszíne egyenlő a görbe ''s'' ívhosszúsága és a görbe súlypontjának a forgatás közben leírt útjának ([[körív]]) szorzatával:
+:<math>F = s\cdot r_s\cdot \alpha \,</math>
-==The first theorem==
+Itt
-The first theorem states that the [[surface area]] ''A'' of a [[surface of revolution]] generated by rotating a [[plane (mathematics)|plane]] [[curve]] ''C'' about an [[axis of rotation|axis]] external to ''C'' and on the same plane is equal to the product of the [[arc length]] ''s'' of ''C'' and the distance ''d<sub>1</sub>'' traveled by its [[centroid]].
+:<math>r_s \,</math> a görbe súlypontjának távolsága a ''t'' tengelytől,
+:<math>\alpha \,</math> pedig a megforgatás szöge.
+Például az ''r'' sugarú kört a súlypontja körül ''R'' sugarú körön megforgatva származtatott [[tórusz]] felszíne:
-:<math>A = sd_1.\,</math>
+:<math>F = (2\pi r)(2\pi R) = 4\pi^2 R r.\,</math>
+[[Kép:Pappus1.png|bélyegkép|250px|Forgástest térfogatának számításához]]
+== A második tétel ==
-For example, the surface area of the [[torus]] with minor radius ''r'' and major radius ''R'' is
+Legyen egy ''A'' területű síkidom, és egy ''t'' egyenes vele egy síkban, mely nem metszi a síkidomot. Ha a síkidomot a ''t'' egyenes mint tengely körül ''α'' szöggel elforgatjuk, egy ''V'' térfogatú forgástestet súrol. A síkidom C<sub>A</sub> súlypontjának távolsága a ''t'' tengelytől R<sub>s</sub>. Ennek a forgástestnek a térfogata egyenlő a síkidom területének és a súlypont pályája ívhosszának szorzatával:
-:<math>A = (2\pi r)(2\pi R) = 4\pi^2 R r.\,</math>
+:<math>V = A\cdot R_s\cdot \alpha \,</math>
+A fenti példa tóruszának térfogata tehát:
-==The second theorem==
+:<math>V = (\pi r^2)(2\pi R) = 2\pi^2 R r^2.\,</math>
-The second theorem states that the [[volume]] ''V'' of a [[solid of revolution]] generated by rotating a [[plane figure]] ''F'' about an external axis is equal to the product of the area ''A'' of ''F'' and the distance ''d<sub>2</sub>'' traveled by its [[geometry|geometric]] [[centroid]].
+== Források ==
-:<math>V = Ad_2.\,</math>
+*J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: ''Matematikai zsebkönyv.'' Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. {{ISBN|963 1053091}}
+*''Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve,'' 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
-For example, the volume of the [[torus]] with minor radius ''r'' and major radius ''R'' is
-:<math>V = (\pi r^2)(2\pi R) = 2\pi^2 R r^2.\,</math>
-{{geometry-stub}}
-[[Category:Mathematical analysis]]
-[[Category:Mathematical theorems]]
--->
-[[Kategória:Geometria]]
+{{Portál|Matematika}}
-[[en:Pappus's centroid theorem]]
+[[Kategória:Euklideszi geometria]]
-[[es:Teorema del centroide de Pappus]]
+[[Kategória:Matematikai tételek]]
-[[fr:Théorème de Guldin]]
+[[Kategória:Geometriai tételek]]
-[[it:Teoremi di Pappo-Guldino]]
-[[ja:パップス＝ギュルダンの定理]]
-[[pl:Twierdzenie Pappusa-Guldina]]
-[[zh:古爾丁定理]]