Tizedes tört

A tizedes tört a valós számok (ℝ), főképp a nem egész számok egyik kanonikus (azaz gyakran alkalmazott és minden szám esetében majdnem teljesen egyértelmű) felírása. A kivételt a véges tizedes törtek alkotják.

Bebizonyítható (például a Cantor-axióma felhasználásával), hogy tetszőleges r valós szám felírható a következő formában:

${\begin{aligned}r\,=s\cdot \left(10^{m}\cdot z_{m}\,+\,10^{m-1}\cdot z_{m-1}\,+\,...\,+\,100\cdot z_{2}\,+\,10\cdot z_{1}\,+\,1\cdot z_{0}\,+10^{-1}\cdot t_{1}\,+\,10^{-2}\cdot t_{2}\,+\,10^{-3}\cdot t_{3}\,+\,...\right)\end{aligned}},$

avagy

$r\,=\,s\cdot \left(\sum _{i=0}^{m}10^{i}\cdot z_{i}\,+\,\sum _{i=1}^{\infty }10^{-i}\cdot t_{i}\right),$

ahol s értéke 0 vagy +1 vagy −1 lehet (ez az r szám előjele); m egy természetes szám; a z és t sorozatok tagjai a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} halmazból valók; z_m pedig nem 0, ha m > 0.

A z_i és t_i számokat a szám számjegyeinek nevezzük (mégpedig tizedesjegyeinek – ugyanis más számrendszerekben is lehetséges a törtszámok felírása). A 10ⁱ · z_i szorzatok összege |r| egészrésze, a többi, tehát a 10⁻ⁱ · t_i szorzatok végtelen összege pedig |r| törtrésze.

Korlátozott egyértelműsége

A fenti forma bármilyen s, z és t jegyek esetén kijelöl egyetlen valós számot, ám ez fordítva nem igaz, azaz egy számhoz több ilyen felírás is tartozhat. Azokat a nem nulla racionális számokat, amelyeknek egyszerűsített törtfelírásában a nevező a 2-n és az 5-ön (a 10 prímosztóin) kívül más prímszámmal nem osztható, kétféleképpen is felírhatjuk. A tizedes tört egyik lehetséges formájában egy bizonyos helyi érték után csupa 0, a másik formájában csupa 9-es áll. Például:

${\frac {3}{4}}=0,\!75=0,\!750000...=0,\!749999...$

Ha megköveteljük, hogy ne lehessen valamely helyi érték után csupa 9-es a felírásban, akkor már minden szám esetén egyértelmű lesz a felírás. Az ilyen racionális számok felírásában tehát valamely helyi érték után csupa 0 szerepel, amit már nem szokás kiírni. Az ilyen tizedes törtet pedig véges tizedes törtnek nevezik. Ha mégis kiírnak valahány 0-t a tizedes tört végére, akkor az az érték pontosságát mutatja.

Ha egy bizonyos helyi érték után a tizedesjegyek periodikusan, azaz szakaszosan ismétlődnek, akkor szakaszosan ismétlődő végtelen tizedes törtről, egyébként pedig nem szakaszos vagy aperiodikus tizedes törtről beszélünk.

A véges, valamint a végtelen szakaszosan ismétlődő tizedes törtek a racionális számoknak, míg a végtelen, szakaszosan nem ismétlődő tizedes törtek az irracionális számoknak felelnek meg.

Példák

Néhány nemnegatív szám tizedestört-alakja (a * azt jelzi, hogy a tizedes tört a megfelelő küszöbtől kezdve periodikus, periódusa a *-ok közti szakasz; a véges tizedes törtek *0* periódusait nem szoktuk kiírni, sem pedig a 0 törtrészű számok törtrészét):

Szám	Rövid tizedestört-alak	Teljes tizedestört-alak
0	0	0,*0*
1	1	1,*0*
10	10	10,*0*
1/10	0,1	0,1*0*
1/100	0,01	0,01*0*
1/1000	0,001	0,001*0*
1/2	0,5	0,5*0*
1/4	0,25	0,25*0*
1/8	0,125	0,125*0*
1/3	0,33…	0,*3*
2/3	0,66…	0,*6*
1/5 = 2/10	0,2	0,2*0*
1/6	0,166…	0,1*6*
5/7	0,714285…	0,*714285*
π	3,141592…	3,141592…

Műveletek tizedes törtekkel

Véges tizedes törtekkel ugyanúgy lehet számolni, mint az egészekkel, egyedül a tizedesvessző helyére kell ügyelni. A végtelen (akár periodikus) tizedestört-alakokkal való számolás azonban már bonyolultabb, ezzel a határértékszámítást felhasználva a matematikai analízis sorelmélet nevű része foglalkozik. A végtelen tizedes törtek ugyanis tekinthetők végtelen sorozatok határértékének.

Számolás végtelen konvergens sorozatokkal

Szorzás. Legyen a_n és b_n két konvergens sorozat, jelölje ezek határértékét rendre α és β. Ekkor a_nb_n is konvergál, mégpedig éppen αβ-hoz.

Bizonyítás: Meg kell mutatnunk, hogy $|a_{n}b_{n}-\alpha \beta |$ akármilyen kicsi lehet.

Átalakítjuk egy kicsit az $a_{n}b_{n}-\alpha \beta$ képletet:

$a_{n}b_{n}-\alpha \beta =a_{n}b_{n}-a_{n}\beta +a_{n}\beta -\alpha \beta =a_{n}(b_{n}-\beta )+(a_{n}-\alpha )\beta$

A háromszög-egyenlőtlenséggel:

$|a_{n}(b_{n}-\beta )+(a_{n}-\alpha )\beta |\leqslant |a_{n}(b_{n}-\beta )|+|(a_{n}-\alpha )\beta |=|a_{n}||b_{n}-\beta |+|a_{n}-\alpha ||\beta |$

Legyen ε tetszőleges pozitív szám, r pedig nagyobb |β|-nál és az |a_n| sorozat felső korlátjánál is. (Vagyis r > |β| és r > |a_n|, minden n-re. Minthogy a_n konvergens, ilyen r létezik és pozitív.)

a_n konvergál α-hoz, ezért van olyan n₁, hogy minden n₁-nél nagyobb n-re $|a_{n}-\alpha |<\epsilon /(2r)$.

Hasonlóan, b_n konvergál β-hoz, ezért van olyan n₂, hogy minden n₂-nél nagyobb n-re $|b_{n}-\beta |<\epsilon /(2r)$.

Minden olyan n-re, amely n₁-nél és n₂-nél is nagyobb:

$|a_{n}||b_{n}-\beta |+|a_{n}-\alpha ||\beta |\leqslant (r)(\epsilon /(2r))+(\epsilon /(2r))(r)=\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$

Ez pedig éppen azt jelenti, amit bizonyítani akartunk, vagyis hogy a sorozatok elemenként vett szorzatának határértéke a határértékek szorzata.

A többi művelet hasonlóan bizonyítható.

Eszerint lehet úgy közelíteni a számítások eredményét, hogy a két közelítő sorozattal számolunk, és a kapott sorozatnak vesszük a határértékét. Bizonyos esetekben nem kell végtelen sorozatokat használni; ha van képlet a végtelen sorozatokra, akkor a számolásnak a pontos eredménye is megkapható.

A végtelen aktualitása

A végtelen tizedes törtekkel való számolás definíciója felveti a végtelen aktualitásának kérdését. Ez egy bonyolult metamatematikai kérdés, ami azt feszegeti, hogy a végtelen sok lépésben megkonstruált matematikai objektumok valóban létezőknek tekinthetők-e, vagy csak a konstrukciójuk létezik. Általában az axiómák aktuálisnak veszik a végtelent, de vannak alternatív matematikai rendszerek, amik másként állnak ehhez a kérdéshez. Azonban, amennyiben nem tekintjük aktuálisnak a végtelent, nemcsak hogy nem aktuálisak a műveletek, hanem maguk a végtelen tizedes törtek sem azok.