Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Հաշվարկման համակարգ (այլ կիրառումներ)

Հաշվարկման համակարգ մաթեմատիկայում անվանում են թվերի գրության և ներկայացման կանոնների համախումբը։ Նշանները, որոնք օգտագործվում են հաշվարկման համակարգում անվանում են թվանշաններ։ Հաշվարկման համակարգը կարելի է ներկայացնել երկու ձևով՝ ոչ դիրքային և դիրքային։VII

Ոչ դիրքային համակարգ

Ոչ դիրքային համակարգում թվերի գրառման մեջ թվանշանների դիրքից կախված չէ նրա մեծությունը։ Ոչ դիրքային համակարգի օրինակներից է հռոմեական համակարգը (հռոմեական թվեր)։ Հռոմեական համակարգում թվանշանների փոխարեն օգտագործում են լատինական տառերը՝ I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000։

Օրինակ 1։ CCCXXI թիվը կազմված է երեք հարյուրակից, երկու տասնյակից և մեկ միավորից՝ 321։ Հռոմեական թվերում թվանշանները գրվում են ձախից աջ՝ նվազման կարգով։ Այս դեպքում նրանց արժեքները գումարվում են։ Եթե ձախից գրված է փոքր թիվ, իսկ աջում՝ մեծ, ապա նրանց արժեքները հանվում են։

Օրինակ 2։ CX = 100 + 10 = 110, իսկ XC = 100 – 10 = 90։

Օրինակ 3։ MCMXCVI = 1000 + (1000-100) + (100 - 10) + 5 + 1 = 1996։

Դիրքային համակարգ

Հաշվարկման դիրքային համակարգում թվերի գրության մեջ օգտագործվող թվանշանի արժեքը կախված է նրա դիրքից։ Թվերի գրառման մեջ օգտագործվող թվանշանների քանակը անվանում են հաշվարկման դիրքային համակարգի հիմք, իսկ թվանշանները՝ այբուբեն։

Հաշվարկման համակարգը, որն օգտագործվում է ժամանակակից մաթեմատիկայում, հանդիսանում է դիրքային տասական համակարգը։ Նրա հիմքը հավասար է 10-ի, քանի որ թվերի գրառման ժամանակ օգտագործվում են տաս թվանշան՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (արաբական թվանշաններ)։

Այս համակարգի դիրքայնությունը հեշտ է հասկանալ ցանկացած բազմանիշ թվի գրառության վրա։ Օրինակ, 547 թվում առաջին թվանշանը նշանակում է հինգ հարուրյակ, երկրորդը՝ չորս տասնյակ, երրորդը՝ յոթ միավոր։

Այժմ դիտարկենք հաշվարկման դիրքային համակարգը, որոնց հիմքը N է։ Սա նշանակում է, որ տվյալ դիրքային համակարգում թվերի գրառման ժամանակ օգտագործվում է N թվանշան։ Սովորաբար, երբ N<10, օգտագործվում են արաբական թվանշանները, իսկ N>10 դեպքում արաբական թվանշաններին ավելացնում են լատինական տառերը։ Բերենք հաշվարկման դիրքային համակարգերի օրինակներ՝ իրենց այբուբենով.

Հիմքը	անվանումը	այբուբենը
2	երկուական	0,1
3	երեքական	0,1,2
7	յոթական	0,1,2,3,4,5,6
10	տասական	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
16	տասնվեցական	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Եթե թվի գրառությունում պետք է նշել հաշվարկման համակարգի հիմքը, ապա այն գրվում է այդ թվի ներքևի ինդեքսում՝ 1011₂, 605₇, 8A0BF₁₆։

Օրինակ 4։ Գրենք առաջին 17 թվերը 2-ական և 7-ական հաշվարկման համակարգերում։

Տասական	երկուական	յոթական
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	10
8	1000	11
9	1001	12
10	1010	13
11	1011	14
12	1100	15
13	1101	16
14	1110	20
15	1111	21
16	10000	22
17	10001	23

P հիմքով հաշվարկման համակարգում (P-ական համակարգ) թվի գրառման ընդլայնված ձև կոչվում է գրառումը, որն ունի այսպիսի տեսք՝

A_P=±(a_n-1P^n-1+a_n-2P^n-2+ . . . +a₀P⁰+a_-1P⁻¹+ . . . +a_-mP^-m),

որտեղ A_P հենց ինքը՝ թիվն է, P–ն հաշվարկման համակարգի հիմքն է, a_i–ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվանշաններն են, n-ը՝ թվի ամբողջ մասի կարգերի թիվն է, m-ը՝ թվի կոտորակային մասի կարգերի թիվն է։

Օրինակ 5։ Տասական համակարգի 8542 և 72,604 թվերը ներկայացնել ընդլայնված տեսքով։

8542 = 8*10³ + 5*10² + 4*10¹ + 2*10⁰,

72,604 = 7*10¹ + 2*10⁰ + 6*10⁻¹ +0*10⁻² + 4*10⁻³։

Օրինակ 6։ Ստանալ տարբեր [համակարգերում] գրված 40625₇, 110101₂, 2F3CA₁₆, 110,101₂ թվերի ընդլայնված տեսքերը։

40625₇ = 4*10⁴ + 0*10³ + 6*10² + 2*10¹ + 5*10⁰,

110101₂ = 1*10¹⁰¹ + 1*10¹⁰⁰ + 0*10¹¹ + 1*10¹⁰ + 0*10¹ + 1*10⁰,

2F3CA₁₆ = 2*10⁴ + F*10³ + 3*10² + C*10¹ + A*10⁰,

110,101₂ = 1*10¹⁰ + 1*10¹ + 0*10⁰ + 1*10⁻¹ + 0*10⁻¹⁰ + 1*10⁻¹¹։

Ուշադրություն դարձրեք, որ ցանկացած հաշվարկման համակարգում նրա հիմքը գրված է 10։

Եթե ոչ տասական համակարգի թվերի ընդլայնված տեսքում բոլոր գումարելիները ներկայացնենք տասական համակարգով, ապա կստանանք տվյալ հաշվարկման համակարգի թվին համապատասխան տասական համակարգի թիվը։ Այս սկզբունքով ոչ տասական համակարգի թիվը բերվում է տասական համակարգի թվի։

Օրինակ 7. [Նախորդ] օրինակում բերված բոլոր թվերը ձևափոխել 10-ական համակարգում։

40625₇ = 4*7⁴ + 0*7³ + 6*7² + 2*7¹ + 5*7⁰ = 9917₁₀,

110101₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 53₁₀,

2F3CA₁₆ = 2*16⁴ + 15*16³ + 3*16² + 12*16¹ + 10*16⁰ = 192714₁₀,

110,101₂ = 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ + 1*2⁻¹ + 0*2⁻² + 1*2⁻³ = 6,625₁₀։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 225)։