Limite: differenze tra le versioni

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Matematica e scienza

Limite – concetto matematico:
- Limite di successioni
- Limite di funzioni
- Limite insiemistico
Strato limite – termine della fluidodinamica

Altro

Limite – sinonimo di confine
Limite – cognome italiano
Limite – frazione di Campi Bisenzio, nella città metropolitana di Firenze
Capraia e Limite – comune della provincia di Firenze
Limite – film di Mário Peixoto (Brasile, 1931)

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+{{Disambigua}}
-= Limiti di funzioni da <math>\reals \,\!</math> a <math>\reals \,\!</math> =
+== Matematica e scienza ==
-Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una [[funzione]] vicino ad un [[punto di accumulazione]] del suo dominio.
+*'''[[Limite (matematica)|Limite]]''' – concetto matematico:
+**'''[[Limite di una successione|Limite di successioni]]'''
+**'''[[Limite di una funzione|Limite di funzioni]]'''
+**'''[[Limite insiemistico]]'''
+*'''[[Strato limite]]''' – termine della [[fluidodinamica]]
-== Definizione ==
+== Altro ==
+* '''Limite''' – sinonimo di [[confine]]
+* '''[[Limiti (cognome)|Limite]]''' – cognome italiano
-Partiamo ora dalla definizione di limite per [[funzione|funzioni]] del tipo <math>\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>, per poi espanderla a casi più generali.
+* '''[[Limite (Campi Bisenzio)|Limite]]''' – frazione di [[Campi Bisenzio]], nella [[città metropolitana di Firenze]]
+* '''[[Capraia e Limite]]''' – comune della provincia di Firenze
-Quindi iniziamo con una [[funzione]] <math>f: X \subseteq \reals \rightarrow \reals \,\!</math>, dove <math>X \,\!</math> è il suo dominio e <math>\reals \,\!</math> la sua immagine. Sia <math>x_0 \,\!</math> un [[punto di accumulazione]] di <math>X \,\!</math>. Ora facciamo tendere <math>x \,\!</math> a <math>x_0 \,\!</math> (<math>x \rightarrow x_0 \,\!</math>), questo significa che è possibile prendere [[intorno|intorni]] sempre più piccoli di <math>x_0 \,\!</math> con la proprietà di contenere infiniti punti di <math>X \,\!</math> (questo è garantito dal fatto che <math>x_0 \,\!</math> è un [[punto di accumulazione]]).
+* '''''[[Limite (film)|Limite]]''''' – film di [[Mário Peixoto]] (Brasile, 1931)
-Ciò che ci interessa è cosa succede quando <math>x \rightarrow x_0 \,\!</math>. Per poter far meglio comprendere l'utilità di questa operazione è bene chiarire un concetto, se <math>P \,\!</math> è una proprietà di una [[funzione]], si dice che la [[funzione]] possiede, o acquista, <math>P \,\!</math> per <math>x \rightarrow x_0 \,\!</math>, se esiste un [[intorno]] di <math>x_0 \,\!</math> che possiede <math>P \,\!</math>.
-Ora possiamo dare la definizione di limite:
-''Sia <math>f: X \subseteq \reals \rightarrow \reals \,\!</math> e <math>x_0 \in X \,\!</math> di accumulazione e <math>l \in \reals \,\!</math>, diremo che il limite di <math>f(x) \,\!</math> per <math>x \,\!</math> che tende a <math>x_0 \,\!</math> è <math>l \,\!</math>:''
-<math>\lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!</math>
-''se, per ogni [[intorno]] <math>V \,\!</math> di <math>l \,\!</math>, è possibile trovare un [[intorno]] <math>U \,\!</math> di <math>x_0 \,\!</math> per cui vale :''
-<math>f(x)\in V \,\!</math> se <math>x \ne x_0 \in U \cap X \,\!</math>
-in simboli:
-<math>\forall \epsilon > 0 \exists\delta > 0: \vert x-x_0 \vert < \delta \implies \vert f(x)-l \vert < \epsilon, \lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!</math>
-Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme <math>\reals^* \,\!</math>, che è definito come:
-<math>\reals^* = \reals \cup \lbrace -\infty, +\infty \rbrace \,\!</math>
-dove <math>-\infty \,\!</math> e <math>+\infty \,\!</math> non sono [[numero|numeri]], ma nuovi punti. Per fare in modo che <math>\reals^* \,\!</math> sia un [[insieme|insieme ordinato]], decidiamo che:
-<math>\forall x \in \reals : -\infty < x < +\infty \,\!</math>
-per questi nuovi punti la definizione di limite diventa:
-<math>\forall \epsilon > 0 \exists \kappa > 0: x > \kappa \implies \vert f(x)-l \vert < \epsilon, \lim_{x \to +\infty} f(x) = l \,\!</math>
-<math>\forall \kappa > 0 \exists \delta > 0: \vert x-x_0 \vert < \delta \implies f(x)-l > \kappa, \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \,\!</math>
-== Teorema di unicità ==
-Sia:
-<math>\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \,\!</math> e <math>\lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \,\!</math>
-allora:
-<math>l_1 = l_2 \,\!</math>
-=== Dimostrazione ===
-La dimostrazione del teorema procede per assurdo, presi:
-<math>\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \,\!</math> e <math>\lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \,\!</math>
-con <math>l_1 \ne l_2 \,\!</math>, allora esistono due [[intorno|intorni]] <math>V_1 \,\!</math> di <math>l_1 \,\!</math> e <math>V_2 \,\!</math> di <math>l_2 \,\!</math> tali che siano disgiunti (<math>V_1 \cap V_2 = \empty \,\!</math>). Per definzione devono esistere due [[intorno|intorni]] <math>U_1 \,\!</math> e <math>U_2 \,\!</math> di <math>x_0 \,\!</math> per cui vale:
-<math>f(x) \in V_1 \,\!</math> se <math>x \in U_1 \,\!</math>
-e:
-<math>f(x) \in V_2 \,\!</math> se <math>x \in U_2 \,\!</math>
-Dunque prendendo l'[[intorno]] di <math>x_0 \,\!</math> costruito come <math>U_1 \cap U_2 \,\!</math>, dovrebbe succedere, contemporaneamente, che <math>f(x) \in V_1 \,\!</math> e <math>f(x) \in V_2 \,\!</math>, il che è assurdo.
-== Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto ==
-Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro. Prima di procedere ricordiamo la definizione di [[intorno]] destro e sinistro.
-Dato <math>x \in \reals \,\!</math>, definiamo '''[[intorno]] destro''' di <math>x \,\!</math> qualsiasi [[intervallo]] del tipo <math>[x; x+r) \,\!</math> con <math>r>0 \,\!</math> e '''[[intorno]] sinistro''' qualsiasi intervallo <math>(x-r; x] \,\!</math>. Da queste definizioni otteniamo che gli [[intorno|intorni]] di <math>+\infty \,\!</math> sono sinistri e quelli di <math>-\infty \,\!</math> sono destri.
-=== Definizione ===
-Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro, in simboli saranno indicati ripettivamente:
-<math>lim_{x \to x_0^+} \,\!</math> e <math>lim_{x \to x_0^-} \,\!</math>
-La definizione sarà:
-''Sia <math>f: X \subseteq \reals \rightarrow \reals \,\!</math> e <math>x_0 \in X \,\!</math> di accumulazione e <math>l \in \reals \,\!</math>, diremo che:''
-<math>\lim_{x \to x_0^+} f(x) = l \,\!</math>
-''se, per ogni [[intorno]] <math>V \,\!</math> di <math>l \,\!</math>, è possibile trovare un [[intorno]] destro <math>U^+ \,\!</math> di <math>x_0 \,\!</math> per cui vale :''
-<math>f(x)\in V \,\!</math> se <math>x \ne x_0 \in U^+ \cap X \,\!</math>
-Analoga sarà la definizione per il limite sinistro.
-Se lo stesso ragionamento viene fatto per punti dell'immagine, avremo la definizione di limite dep difetto e per eccesso, in simboli, rispettivamente:
-<math>lim_{x \to x_0} f(x) = l^+ \,\!</math> e <math>lim_{x \to x_0} f(x) = l^- \,\!</math>
-L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.
-=== Teorema di esistenza del limite ===
-Condizione necessaria e sufficiente perchè esista il limite <math>\lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!</math> è che esistano sia il limite destro che quello sinistro e siano uguali.
-<math>\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = l \implies \lim_{x \to x_0} f(x) = l \,\!</math>
-==== Dimostrazione ====
-== Calcolo dei limiti ==
-=== Teorema del confronto ===
-==== Dimostrazione ====
-= Limiti di funzioni da <math>\reals^n \,\!</math> a <math>\reals^m \,\!</math> =
-Ora affronteremo il problema per limiti di [[funzione|funzioni]] multivariate, così da coprire tutti i casi possibili per le [[funzione|funzioni]]. Rispetto al caso precedente non ci saranno molti cambiamenti, ma si noteranno subito dei nuovi problemi.
-== Definizione ==
-Cominciamo subito dando la definizione per [[funzione|funzioni]] da <math>\reals^n \,\!</math> a <math>\reals \,\!</math>:
-''Sia <math>f: X \subseteq \reals^n \rightarrow \reals \,\!</math> e <math>\bold{x_0} \in X \,\!</math> di accumulazione e <math>l \in \reals \,\!</math>, diremo che:''
-<math>\lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} f(\bold{x}) = l \,\!</math>
-''se, per ogni [[intorno]] <math>V \,\!</math> di <math>l \,\!</math>, è possibile trovare un [[intorno]] <math>U \,\!</math> di <math>\bold{x_0} \,\!</math> per cui vale :''
-<math>f(\bold{x})\in V \,\!</math> se <math>\bold{x} \ne \bold{x_0} \in U \cap X \,\!</math>
-in simboli:
-<math>\forall \epsilon > 0 \exists\delta > 0: \Vert \bold{x}-\bold{x_0} \Vert < \delta \implies \vert f(\bold{x})-l \vert < \epsilon, \lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} f(\bold{x}) = l \,\!</math>
-Come già detto la definizione è la stessa, ma ora veniamo al problema, prendiamo come esempio il seguente limite:
-<math>\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \,\!</math>
-ora calcoliamo il limite avvicinandoci da due direzioni, la prima <math>y=0 \,\!</math>:
-<math>\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2+0^2}} = \lim_{x \to 0} 1 = 1 \,\!</math>
-invece, ora avvicinandoci da <math>x=0 \,\!</math>:
-<math>\lim_{y \to 0} \frac{0}{\sqrt{0^2+y^2}} = \lim_{x \to 0} 0 = 0 \,\!</math>
-Come avrete capito, per il caso multivariato, nasce il problema della direzione dalla quale ci si avvicina al [[punto di accumulazione]], ma la definizione non ci dice nulla a riguardo di ciò, perciò limiti che si comportano come il precedente non esistono. Il calcolo del limite per [[funzione|funzioni]] multivariate diventa assai più complesso ed esistono tecniche che permettono di dimostrare che il suo valore è indipendente dalla direzione a cui si avvicina al punto di accumulazione in cui si vuole calcolare.
-Dopo aver visto le complicazioni passiamo alla definizione per [[funzione|funzioni]] del tipo <math>\reals^n \,\!</math> a <math>\reals^m \,\!</math>:
-''Sia <math>\bold{f}: X \subseteq \reals^n \rightarrow \reals^m \,\!</math> e <math>\bold{x_0} \in X \,\!</math> di accumulazione e <math>\bold{l} \in \reals^m \,\!</math>, diremo che:''
-<math>\lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} \bold{f}(\bold{x}) = \bold{l} \,\!</math>
-''se, per ogni [[intorno]] <math>V \,\!</math> di <math>\bold{l} \,\!</math>, è possibile trovare un [[intorno]] <math>U \,\!</math> di <math>\bold{x_0} \,\!</math> per cui vale :''
-<math>\bold{f}(\bold{x})\in V \,\!</math> se <math>\bold{x} \ne \bold{x_0} \in U \cap X \,\!</math>
-in simboli:
-<math>\forall \epsilon > 0 \exists\delta > 0: \Vert \bold{x}-\bold{x_0} \Vert < \delta \implies \Vert \bold{f}(\bold{x})-\bold{l} \Vert < \epsilon, \lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} \bold{f}(\bold{x}) = \bold{l} \,\!</math>
-Per facilitarne la comprensione si osservi che, se <math>f_1, f_2, \dots f_m \,\!</math> sono le componenti di <math>\bold{f} \,\!</math> la scrittura <math>\lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} \bold{f}(\bold{x}) = \bold{l} \,\!</math> è equivalente a:
-<math>\lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} f_1(\bold{x}) = l_1 \,\!</math>
-...
-<math>\lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} f_m(\bold{x}) = l_m \,\!</math>
-Infine facciamo notare che le [[funzione|funzioni]] del tipo <math>\reals^2 \,\!</math> a <math>\reals^2 \,\!</math> sono particolarmente interessanti perchè possono essere identifite come [[funzione|funzioni]] da <math>\Complex \,\!</math> a <math>\Complex \,\!</math> (<math>w = f(z) \,\!</math>).
-= Letture =
-== Libri ==
-*Miller, N. 'Limits' Waltham, MA: Blaisdell, 1964
-== Siti Internet ==
-*[http://mathworld.wolfram.com/Limit.html Limite] in [[MathWorld]]
-[[Categoria:Matematica]]
-[[Categoria:Analisi matematica]]
-[[en:Limit (mathematics)]]
-[[de:Limes (Mathematik)]]
-[[es:Límite matemático]]
-[[eo:Limeso]]
-[[fr:Limite (mathématiques)]]
-[[he:&#1490;&#1489;&#1493;&#1500; (&#1502;&#1514;&#1502;&#1496;&#1497;&#1511;&#1492;)]]
-[[id:Limit]]
-[[io:Limito]]
-[[ja:&#26997;&#38480;]]
-[[nl:Limiet]]
-[[pl:Granica (matematyka)]]
-[[pt:Limite]]
-[[fi:Raja-arvo]]
-[[sv:Gränsvärde]]
-[[zh:&#26497;&#38480;]]

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