Limite

Limite di funzioni da $\mathbb {R} \,\!$ a $\mathbb {R} \,\!$

Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una funzione vicino ad un punto di accumulazione del suo dominio.

Partiamo ora dalla definizione di limite per funzioni del tipo $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, per poi espanderla a casi più generali.

Definizione

Quindi iniziamo con una funzione $f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!$, dove $X\,\!$ è il suo dominio e $\mathbb {R} \,\!$ la sua immagine. Sia $x_{0}\,\!$ un punto di accumulazione di $X\,\!$. Ora facciamo tendere $x\,\!$ a $x_{0}\,\!$ ($x\rightarrow x_{0}\,\!$), questo significa che è possibile prendere intorni sempre più piccoli di $x_{0}\,\!$ con la proprietà di contenere infiniti punti di $X\,\!$ (questo è garantito dal fatto che $x_{0}\,\!$ è un punto di accumulazione).

Ciò che ci interessa è cosa succede quando $x\rightarrow x_{0}\,\!$. Per poter far meglio comprendere l'utilità di questa operazione è bene chiarire un concetto, se $P\,\!$ è una proprietà di una funzione, si dice che la funzione possiede, o acquista, $P\,\!$ per $x\rightarrow x_{0}\,\!$, se esiste un intorno di $x_{0}\,\!$ che possiede $P\,\!$.

Ora possiamo dare la definizione di limite:

Sia $f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!$ e $x_{0}\in X\,\!$ di accumulazione e $l\in \mathbb {R} \,\!$, diremo che il limite di $f(x)\,\!$ per $x\,\!$ che tende a $x_{0}\,\!$ è $l\,\!$:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!$

se, per ogni intorno $V\,\!$ di $l\,\!$, è possibile trovare un intorno $U\,\!$ di $x_{0}\,\!$ per cui vale :

$f(x)\in V\,\!$ se $x\neq x_{0}\in U\cap X\,\!$

in simboli:

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\vert x-x_{0}\vert <\delta \implies \vert f(x)-l\vert <\epsilon ,\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!$

Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme $\mathbb {R} ^{*}\,\!$, che è definito come:

$\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace \,\!$

dove $-\infty \,\!$ e $+\infty \,\!$ non sono numeri, ma nuovi punti. Per fare in modo che $\mathbb {R} ^{*}\,\!$ sia un insieme ordinato, decidiamo che:

$\forall x\in \mathbb {R} :-\infty <x<+\infty \,\!$

per questi nuovi punti la definizione di limite diventa:

$\forall \epsilon >0,\exists \kappa >0:x>\kappa \implies \vert f(x)-l\vert <\epsilon ,\lim _{x\to +\infty }f(x)=l\,\!$

$\forall \kappa >0,\exists \delta >0:\vert x-x_{0}\vert <\delta \implies f(x)-l>\kappa ,\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty \,\!$

Teorema di unicità

Sia:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\,\!$ e $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}\,\!$

allora:

$l_{1}=l_{2}\,\!$

Dimostrazione

La dimostrazione del teorema procede per assurdo, presi:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\,\!$ e $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}\,\!$

con $l_{1}\neq l_{2}\,\!$, allora esistono due intorni $V_{1}\,\!$ di $l_{1}\,\!$ e $V_{2}\,\!$ di $l_{2}\,\!$ tali che siano disgiunti ($V_{1}\cap V_{2}=\emptyset \,\!$). Per definzione devono esistere due intorni $U_{1}\,\!$ e $U_{2}\,\!$ di $x_{0}\,\!$ per cui vale:

$f(x)\in V_{1}\,\!$ se $x\in U_{1}\,\!$

e:

$f(x)\in V_{2}\,\!$ se $x\in U_{2}\,\!$

Dunque prendendo l'intorno di $x_{0}\,\!$ costruito come $U_{1}\cap U_{2}\,\!$, dovrebbe succedere, contemporaneamente, che $f(x)\in V_{1}\,\!$ e $f(x)\in V_{2}\,\!$, il che è assurdo.

Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto

Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro. Prima di procedere ricordiamo la definizione di intorno destro e sinistro.

Dato $x\in \mathbb {R} \,\!$, definiamo intorno destro di $x\,\!$ qualsiasi intervallo del tipo $[x;x+r)\,\!$ con $r>0\,\!$ e intorno sinistro qualsiasi intervallo $(x-r;x]\,\!$. Da queste definizioni otteniamo che gli intorni di $+\infty \,\!$ sono sinistri e quelli di $-\infty \,\!$ sono destri.

Definizione

Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro, in simboli saranno indicati ripettivamente:

$lim_{x\to x_{0}^{+}}\,\!$ e $lim_{x\to x_{0}^{-}}\,\!$

La definizione sarà:

Sia $f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!$ e $x_{0}\in X\,\!$ di accumulazione e $l\in \mathbb {R} \,\!$, diremo che:

$\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=l\,\!$

se, per ogni intorno $V\,\!$ di $l\,\!$, è possibile trovare un intorno destro $U^{+}\,\!$ di $x_{0}\,\!$ per cui vale :

$f(x)\in V\,\!$ se $x\neq x_{0}\in U^{+}\cap X\,\!$

Analoga sarà la definizione per il limite sinistro.

Se lo stesso ragionamento viene fatto per punti dell'immagine, avremo la definizione di limite dep difetto e per eccesso, in simboli, rispettivamente:

$lim_{x\to x_{0}}f(x)=l^{+}\,\!$ e $lim_{x\to x_{0}}f(x)=l^{-}\,\!$

L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.

Teorema di esistenza del limite

Condizione necessaria e sufficiente perchè esista il limite $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!$ è che esistano sia il limite destro che quello sinistro e siano uguali.

$\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=l\implies \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!$

Teorema del confronto

Siano $f\,\!$, $g\,\!$, $h\,\!$ funzioni $X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!$ e $x_{0}\in \mathbb {R} ^{*}\,\!$ un punto di accumulazione per $X\,\!$

Se $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l\in \mathbb {R} ^{*}\,\!$ e se esiste un intorno di $x_{0}\,\!$ tale che risulti:

$f(x)\leq g(x)\leq h(x)\,\!$

per ogni $x\neq x_{0}\in X\cap U\,\!$, allora:

math>\lim_{x \to x_0} g(x) = l \,\!</math>

Dimostrazione

Sia $l\in \mathbb {R} \,\!$, preso un intorno $V\,\!$ di $l\,\!$, $(l-\epsilon ,l+\epsilon )\,\!$ esistono intorni $U_{1}\,\!$ e $U_{2}\,\!$ di $x_{0}\,\!$. Per definizione abbiamo:

$x\neq x_{0}\in U_{1}\implies f(x)\in V\,\!$

e:

$x\neq x_{0}\in U_{2}\implies h(x)\in V\,\!$

Allora, preso l'intorno $U=U_{1}\cap U_{2}\,\!$ di $x_{0}\,\!$, succede, per ipotesi, che:

$l-\epsilon \leq f(x)\leq g(x)\leq h(x)\leq l+\epsilon \,\!$

cioè:

$x\neq x_{0}\in U\implies g(x)\in V\,\!$

Il teorema è dimostrato per $\forall x\in \mathbb {R} \,\!$.

Ora procediamo a dimostrarlo, allo stesso modo per $x=\lbrace -\infty ,+\infty \rbrace \,\!$.

Calcolo dei limiti

Esempio 1

Provare che $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=+\infty \,\!$

Prendiamo un intorno di $+\infty \,\!$, otteniano:

$\kappa \leq f(x)\,\!$

perciò:

$\kappa \leq {\frac {1}{x^{2}}}\,\!$

$x^{2}\leq {\frac {1}{\kappa }}\,\!$

$x=\pm {\frac {1}{\sqrt {\kappa }}}\,\!$

quindi basterà prendere:

$x\in \left(-{\frac {1}{\sqrt {\kappa }}},+{\frac {1}{\sqrt {\kappa }}}\right)\,\!$

che è un intorno di 0, il limite è verificato.

Esempio 2

Provare che $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{x+2}}=1\,\!$

Prendiamo un intorno di 1, otteniamo:

$1-\epsilon \leq {\frac {x}{x+2}}\leq 1+\epsilon \,\!$

separando la disuguaglianza:

$1-\epsilon \leq {\frac {x}{x+2}}\,\!$ e ${\frac {x}{x+2}}\leq 1+\epsilon \,\!$

dalle quali otteniamo direttamente:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle x \ge 2 \left ( \frac{1}{\epsilon} - 1) \,\!} e Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x \ge -2 \left ( \frac{1}{\epsilon} + 1) \,\!}

dalle quali, per $\epsilon >0\,\!$:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle x \ge -2 \left ( \frac{1}{\epsilon} + 1) < 2 \left ( \frac{1}{\epsilon} - 1) \,\!}

che è un intorno di $+\infty \,\!$, perciò il limite è verificato.

Esempio 3

Provare che $\lim _{x\to +\infty }\sin x\,\!$ non esiste

Limite di funzioni da $\mathbb {R} ^{n}\,\!$ a $\mathbb {R} ^{m}\,\!$

Ora affronteremo il problema per limiti di funzioni multivariate, così da coprire tutti i casi possibili per le funzioni. Rispetto al caso precedente non ci saranno molti cambiamenti, ma si noteranno subito dei nuovi problemi.

Definizione

Cominciamo subito dando la definizione per funzioni da $\mathbb {R} ^{n}\,\!$ a $\mathbb {R} \,\!$:

Sia $f:X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} \,\!$ e ${\mathbf {x_{0}}}\in X\,\!$ di accumulazione e $l\in \mathbb {R} \,\!$, diremo che:

$\lim _{{\mathbf {x}}\to {\mathbf {x_{0}}}}f({\mathbf {x}})=l\,\!$

se, per ogni intorno $V\,\!$ di $l\,\!$, è possibile trovare un intorno $U\,\!$ di ${\mathbf {x_{0}}}\,\!$ per cui vale :

$f({\mathbf {x}})\in V\,\!$ se ${\mathbf {x}}\neq {\mathbf {x_{0}}}\in U\cap X\,\!$

in simboli:

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\Vert {\mathbf {x}}-{\mathbf {x_{0}}}\Vert <\delta \implies \vert f({\mathbf {x}})-l\vert <\epsilon ,\lim _{{\mathbf {x}}\to {\mathbf {x_{0}}}}f({\mathbf {x}})=l\,\!$

Come già detto la definizione è la stessa, ma ora veniamo al problema, prendiamo come esempio il seguente limite:

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,\!$

ora calcoliamo il limite avvicinandoci da due direzioni, la prima $y=0\,\!$:

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+0^{2}}}}=\lim _{x\to 0}1=1\,\!$

invece, ora avvicinandoci da $x=0\,\!$:

$\lim _{y\to 0}{\frac {0}{\sqrt {0^{2}+y^{2}}}}=\lim _{x\to 0}0=0\,\!$

Come avrete capito, per il caso multivariato, nasce il problema della direzione dalla quale ci si avvicina al punto di accumulazione, ma la definizione non ci dice nulla a riguardo di ciò, perciò limiti che si comportano come il precedente non esistono. Il calcolo del limite per funzioni multivariate diventa assai più complesso ed esistono tecniche che permettono di dimostrare che il suo valore è indipendente dalla direzione a cui si avvicina al punto di accumulazione in cui si vuole calcolare.

Dopo aver visto le complicazioni passiamo alla definizione per funzioni del tipo $\mathbb {R} ^{n}\,\!$ a $\mathbb {R} ^{m}\,\!$:

Sia ${\mathbf {f}}:X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}\,\!$ e ${\mathbf {x_{0}}}\in X\,\!$ di accumulazione e ${\mathbf {l}}\in \mathbb {R} ^{m}\,\!$, diremo che:

$\lim _{{\mathbf {x}}\to {\mathbf {x_{0}}}}{\mathbf {f}}({\mathbf {x}})={\mathbf {l}}\,\!$

se, per ogni intorno $V\,\!$ di ${\mathbf {l}}\,\!$, è possibile trovare un intorno $U\,\!$ di ${\mathbf {x_{0}}}\,\!$ per cui vale :

${\mathbf {f}}({\mathbf {x}})\in V\,\!$ se ${\mathbf {x}}\neq {\mathbf {x_{0}}}\in U\cap X\,\!$

in simboli:

$\forall \epsilon >0\exists \delta >0:\Vert {\mathbf {x}}-{\mathbf {x_{0}}}\Vert <\delta \implies \Vert {\mathbf {f}}({\mathbf {x}})-{\mathbf {l}}\Vert <\epsilon ,\lim _{{\mathbf {x}}\to {\mathbf {x_{0}}}}{\mathbf {f}}({\mathbf {x}})={\mathbf {l}}\,\!$

Per facilitarne la comprensione si osservi che, se $f_{1},f_{2},\dots f_{m}\,\!$ sono le componenti di ${\mathbf {f}}\,\!$ la scrittura $\lim _{{\mathbf {x}}\to {\mathbf {x_{0}}}}{\mathbf {f}}({\mathbf {x}})={\mathbf {l}}\,\!$ è equivalente a:

$\lim _{{\mathbf {x}}\to {\mathbf {x_{0}}}}f_{1}({\mathbf {x}})=l_{1}\,\!$

$\vdots \,\!$

$\lim _{{\mathbf {x}}\to {\mathbf {x_{0}}}}f_{m}({\mathbf {x}})=l_{m}\,\!$

Infine facciamo notare che le funzioni del tipo $\mathbb {R} ^{2}\,\!$ a $\mathbb {R} ^{2}\,\!$ sono particolarmente interessanti perchè possono essere identifite come funzioni da $\mathbb {C} \,\!$ a $\mathbb {C} \,\!$ ($w=f(z)\,\!$).

Consideriamo $w=u+iv\,\!$ e $z=x+iy\,\!$ otteniamo:

$\left\{{\begin{matrix}u=u(x,y)\\v=v(x,y)\end{matrix}}\right.\,\!$

Letture

Libri

• Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964

Pagine Web

• Limite in MathWorld