Formula di de Moivre

La formula di de Moivre è una delle basi dell'analisi dei numeri complessi, ed è legata al piano complesso, ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l'asse x l'asse dei reali e l'asse $y$ l'asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),

valida per ogni numero reale $x$ , con $n$ intero e $i$ unità immaginaria, è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria. Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per $\cos(nx)$ e $\sin(nx)$ in termini di $\sin(x)$ e $\cos(x)$ . Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici $n$ -esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi $z$ tali che $z^{n}=1$ .

Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676. La formula di de Moivre può essere derivata dalla formula di Eulero, anche se la precede storicamente, tramite lo sviluppo in serie di Taylor

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

e dalla legge esponenziale

\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.

Dimostrazione per induzione

Distinguiamo i tre casi relativi a $n>0$ , $n=0$ e $n<0$ .

Per $n>0$ si procede per induzione. Per $n=1$ la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con se stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo $k$ , cioè assumiamo

(\cos x+i\sin x)^{k}=\cos(kx)+i\sin(kx).

Consideriamo poi il caso $n=k+1$ :

(\cos x+i\sin x)^{k+1}

=(\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{k}

=\left[\cos(kx)+i\sin(kx)\right](\cos x+i\sin x)

(per l'ipotesi induttiva)

=\cos(kx)\cos x-\sin(kx)\sin x+i\left[\cos(kx)\sin x+\sin(kx)\cos x\right]

=\cos \left[(k+1)x\right]+i\sin \left[(k+1)x\right]

(per le formule di addizione di seno e coseno)

L'ultima identità dice che la formula, se vale per $n=k$ allora è valida per $n=k+1$ e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli $n$ interi positivi.