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2024年10月17日 (木) 03:14時点における版

トラクトリックス (tractrix) 、牽引線（けんいんせん）、引弧線、犬曲線、追跡線とは、直交座標の方程式

{\begin{aligned}x&=a\ln {\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{y}}\mp {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\\&=a\,{\rm {cosh}}^{-1}\left({\frac {a}{y}}\right)\mp {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\end{aligned}}

によって表される曲線である。

媒介変数による表示

媒介変数表示では

x=a\left(\ln \tan {\frac {\theta }{2}}+\cos \theta \right),\;y=a\sin \theta

と表される。ここで、座標原点に犬の飼い主が、y軸上の点 $(0, a)$ に長さ $a$ のリードにつながれた犬が居たとするとき、飼い主がx軸上を移動した際に、リードの伸縮が全くないと仮定した場合に犬が移動する軌跡がトラクトリックスになる。 $θ$ は飼い主と犬を結ぶ線分とx軸との成す角に相当する。牽引線、犬曲線などと呼ばれるのはそのためである。

あるいは、 $\vartheta =\theta +{\frac {\pi }{2}}$ として

x=a\left(\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta -\sin \vartheta \right),\;y=a\cos \vartheta

と表される。ただし、 $\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta$ はグーデルマン関数の逆関数である。さらに、 $t=\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta$ とおくことにより

x=a\left(t-\tanh t\right),\;y=a\operatorname {sech} t

と表すこともできる。

特徴

カテナリー $y=a\cosh {\frac {x}{a}}$ の伸開線に相当し、y軸に対して線対称であり、x軸を漸近線に持つ。尖点は $(0, a)$ 。
区間 $x_{1}\leq x\leq x_{2}$ における弧長は $a\ln {\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ である。
トラクトリックスとその漸近線で囲まれる領域の面積は ${\frac {\pi a^{2}}{2}}$ である^[1]。
トラクトリックスをその漸近線の周りに回転させてできる回転体^[2]の体積は ${\frac {2\pi a^{3}}{3}}$ である。
トラクトリックス上の尖点以外の任意の点をP、Pにおける曲率中心をO、線分OPの延長とx軸との交点をQとするとき、OP・PQは一定となり、その値は $a^{2}$ に相当する。

脚注

[脚注の使い方]

^ $\int _{-\infty }^{\infty }y{\rm {d}}x$ を計算しても勿論導出可能であるが、マミコンの定理（英語版）を使えば、長さ $a$ の棒が半回転する際に掃く面積に相当することが示される。
^ この回転体の表面のことを擬球面（トラクトロイド）と称する。

参考文献

オスターマン, A.、ヴァンナー, G. 著、蟹江幸博訳『幾何教程』下、丸善出版、2017年11月。ISBN 978-4-621-30212-5。
Apostol, Tom M.、Mnatsakanian, Mamikon A. 著、川辺治之訳『Aha! ひらめきの幾何学―アルキメデスも驚くマミコンの定理―』共立出版、2016年8月。ISBN 978-4-320-11138-7。

外部リンク

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Tractrix”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .
Tractrix - PlanetMath.org（英語）
Weisstein, Eric W. "Tractrix". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] $\int _{-\infty }^{\infty }y{\rm {d}}x$ を計算しても勿論導出可能であるが、マミコンの定理（英語版）を使えば、長さ $a$ の棒が半回転する際に掃く面積に相当することが示される。

[2] この回転体の表面のことを擬球面（トラクトロイド）と称する。

[1]

[2]

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 [[媒介変数表示]]では
 :<math>x=a\left(\ln \tan \frac{\theta}{2} + \cos \theta \right),\; y=a\sin \theta</math>
-と表される。ここで、座標原点に[[犬]]の飼い主が、y軸上の点 (0, a) に長さ a の[[リーシュ|リード]]につながれた犬が居たとするとき、飼い主がx軸上を移動した際に、リードの伸縮が全くないと仮定した場合に犬が移動する[[軌跡 (数学)|軌跡]]がトラクトリックスになる。<math>\theta</math> は飼い主と犬を結ぶ線分とx軸との成す角に相当する。牽引線、犬曲線などと呼ばれるのはそのためである。
+と表される。ここで、座標原点に[[犬]]の飼い主が、y軸上の点 {{math2|(0, ''a'')}} に長さ {{mvar|''a''}} の[[リーシュ|リード]]につながれた犬が居たとするとき、飼い主がx軸上を移動した際に、リードの伸縮が全くないと仮定した場合に犬が移動する[[軌跡 (数学)|軌跡]]がトラクトリックスになる。{{mvar|''θ''}} は飼い主と犬を結ぶ線分とx軸との成す角に相当する。牽引線、犬曲線などと呼ばれるのはそのためである。
 あるいは、<math>\vartheta=\theta +\frac{\pi}{2}</math> として
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 == 特徴 ==
-[[Image:Involute.gif|thumb|250px|right|カテナリーの伸開線としてのトラクトリックス]]
+[[Image:Involute.gif|thumb|300px|right|カテナリーの伸開線としてのトラクトリックス]]
-[[Image:Evolute2.gif|thumb|250px|right|トラクトリックスの[[縮閉線]]としてのカテナリー]]
+[[Image:Evolute2.gif|thumb|300px|right|トラクトリックスの[[縮閉線]]としてのカテナリー]]
-* [[カテナリー]]の[[伸開線]]に相当し、y軸に対して[[線対称]]であり、x軸を[[漸近線]]に持つ。[[尖点]]は (0, a)。
+* [[カテナリー]] <math>y=a\cosh\frac{x}{a}</math> の[[伸開線]]に相当し、y軸に対して[[線対称]]であり、x軸を[[漸近線]]に持つ。[[尖点]]は {{math2|(0, ''a'')}}。
-* 区間 <math>x_1 \leq x \leq x_2</math> における[[弧長]]は <math>a\ln\frac{y_2}{y_1}</math> である。
+* 区間 <math>x_1 \leq x \leq x_2</math> における[[弧長]]は <math>a\ln\frac{y_1}{y_2}</math> である。
 * トラクトリックスとその漸近線で囲まれる領域の[[面積]]は <math>\frac{\pi a^2}{2}</math> である<ref><math>\int_{-\infty}^{\infty}y {\rm d}x</math>を計算しても勿論導出可能であるが、{{仮リンク|マミコンの定理|en|Mamikon's theorem}}を使えば、長さ {{mvar|''a''}} の棒が半回転する際に掃く面積に相当することが示される。</ref>。
-* トラクトリックスをその漸近線の周りに回転させてできる[[回転体]]の[[体積]]は <math>\frac{2\pi a^3}{3}</math> である。
+* トラクトリックスをその漸近線の周りに回転させてできる[[回転体]]<ref>この回転体の表面のことを[[擬球面]]（トラクトロイド）と称する。</ref>の[[体積]]は <math>\frac{2\pi a^3}{3}</math> である。
 * トラクトリックス上の尖点以外の任意の点をP、Pにおける[[曲率中心]]をO、線分OPの延長とx軸との交点をQとするとき、OP・PQは一定となり、その値は <math>a^2</math> に相当する。
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+== 外部リンク ==
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