円周率

円周率（えんしゅうりつ）とは数学定数の一つであり、π で表される。平面幾何学における円の周の長さと直径の比として特徴づけることができる。

円周率 π は超越数の一つとしても知られており、小数点以下 35 桁までの値は次のとおりである。

π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 …

円周率の計算の歴史については 円周率の歴史を参照のこと。

直径 1 の円の円周は π

定義

円周率は、元々、平面幾何学で定義された数であるが、平面幾何学に留まらず数学のいろいろな分野でその姿をあらわす。円周率 π の導出方法は多いが、どの定義によっても同じ値が得られるので、その時に応じて使いやすい定義を用いればよい。

円周による定義

平面幾何学において円周の長さを、その直径で割って得られる値は円の大きさに関わらず一定の値を取る。この値を円周率といい π と書く。 円周率の定義から、半径が 1 の円（単位円）においては、その円周の長さは 2π である。特に、単位円を表す式 x² + y² = 1 を考えると、π の値は

$\pi :=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+\left(y^{\prime }\right)^{2}}}dx=\int _{-1}^{1}{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}dx$

として積分によって求められる。

面積による定義

π を用いると半径 r の円の面積は π r² と表されることから逆に円の面積を求め、その円の半径の平方 r² で割って得られる値を π と定義してもよい。単位円の面積は丁度 π になることから、積分を使って

$\pi :=2\int _{-1}^{1}ydx=2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx$

と定めても同じことである。

指数関数・三角関数による定義

複素数 z を変数に取る指数関数を

$\exp(z):=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}z^{k}=1+z+{1 \over 2}z^{2}+{1 \over 6}z^{3}+\cdots$

で定義する。

exp(0) = 1 となるが、正の実数 t に対し exp(it) = 1 を満たす最小の t を 2π として π を定義できる。（i は虚数単位）

この指数関数を用いて三角関数を

$\cos(z)={\exp(iz)+\exp(-iz) \over 2}$

$\sin(z)={\exp(iz)-\exp(-iz) \over 2i}$

で定義すれば、正の実数 t に対して cos(t) = 0 を満たす最小の t が π/2 であり、 sin(t) = 0 を満たす最小の t が π である。 すなわち、三角関数の零点によって円周率 π が定義される。

積分による定義

$\pi :=\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over 1+x^{2}}dx$

によって定義されることもある。

逆正接関数 arctan(x) が

$\arctan(x)=\int _{0}^{x}{1 \over 1+t^{2}}dt$

と表されることから、この積分は三角関数による π の再定義の一種であるとも考えられるが、 この π の定義より先に三角関数が定義されている必要はなく、 arctan(x) という関数さえも上のような積分によって定義することができる。

arctan(x) のテイラー展開

$\arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+{\frac {1}{9}}x^{9}-\cdots$

に x = 1 を代入することによって

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots$ （1400年頃：マーヴァダ、1671年:グレゴリ、1674年:ライプニッツ）

という級数が得られる。この級数の収束は極めて遅いが、部分和をとれば π の近似値を計算することもできる。

arcsin(x)のテイラー展開

$\arcsin(x)=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1\cdot 3\ldots (2n-1)}{2\cdot 4\ldots (2n)}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$

に x = 1/2 を代入することで

${\frac {\pi }{6}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{4n+1}(n!)^{2}(2n+1)}}$

が得られる。この級数の収束は非常にはやいのでコンピューターで π の正確な値を求めるのに使うことができる。

歴史

円の周と直径の比がどんな円についても同じ値になり、その数が3より少し大きい程度だと言うことは古代エジプトやバビロニア、インド、ギリシャの幾何学者たちにはすでに知られていた。また、古代インドやギリシャの数学者たちの間では半径 r の円の面積が π r² であることも知られていた。さらに、アルキメデスは半径 r の球の体積が ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ であることや、この球の表面積が$4\pi r^{2}$（同じ半径の円の面積の4倍）になることを示した。

14世紀インドの数学者・天文学者であるサンガマグラマのマドハヴァは次のような π の無限級数表示を見いだしている：

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{2n+1}}\cdots$

これは逆正接関数 Arctan(x) のテイラー展開の x = 1での実現になっている。マドハヴァはまた、

$\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)$

を用いてπ の値を小数点以下 11 桁まで求めている。

18世紀の数学者アブラハム・ドモワブルは、2n 回コインを投げたときに x 枚が表向きになる確率は、ある定数 C（彼はnが900の場合に数値計算によってその値を近似した）について

$C\exp({\frac {-(x-n)^{2}}{n}})$

となっていることを見いだした。この正規分布の概念は1738年に出版されたドモワブルの『巡り合わせの理論』に現れている。ドモワブルの友人のジェイムズ・スターリングは後になってこの定数 C が ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$であることを示している。

1751年にヨハン・ハンイリッヒ・ランベルトはxが有理数ならば正接関数の値 tan xが無理数になることを示し、その系として π が無理数であることを導いた。さらに1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンはπ が超越数になっていることを示し、円積問題が解けない（与えられた半径の円と同じ面積を持つ正方形を定規とコンパスで作図することはできない）ことを導いた。

ギリシア文字 π

アルキメデスの計算

π という文字は、周辺・地域・円周などを意味するギリシア語 περιφε´ρεια の頭文字であり、オートレッド（1647年）やバーローによって円周を表す記号として用いられ、ジョーンズ（1706年）やオイラー（1748年）などによって、円周率の記号として用いられた。

日本語においては、この数は円周率と呼ばれているが、国によっては必ずしもそのような名前があるわけではなく、単に π と呼ばれる。円周率を計算した人物の名前を取りアルキメデス数、ルドルフ数などと呼ばれることもある。

π の性質

超越性

π は無理数であり、2 つの整数の比で表すことはできない。このことは1761年にヨハン・ハインリッヒ・ランベルトが証明したが、厳密性に欠けた部分があった。その部分は1806年にルジャンドルによって補われた。

さらに有理数を係数に用いた有限次の代数方程式の根とはならない。つまり、π は超越数である。これは1882年にフェルディナント・リンデマンによって証明された。この結果から、整数から四則演算と冪根をとる操作だけを有限回組み合わせた計算によって π の正確な値を求めることはできないことが分かる。

π が超越数であることは、古くから考えられてきた、定規とコンパスのみを有限回使って円と同じ面積を持つ正方形の作図を求める円積問題が、不可能であることの証明でもある。

ランダム性

π の各桁に現れる数の並び方はランダムであることが期待されてはいるが、実際は、π が正規数であるかどうかは分かっていない。例えば π の10進表示において、各桁を順に取り出した

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5,…

を数列と見たときに、この数列には 0, …, 9 が均等に現れるのかどうか、すなわち、この数列が乱数列になっているかどうかは分かっていない。それどころか 0,…,9 のどれもが無限に現れるのかどうかすら分かっていない。

現在 π は 1兆桁を超える桁数まで計算され 0,…,9 がランダムに現れているようには見えるが、この状態がこの先の桁でも続くかどうかは分からないのである。

ベイリーとクランドールの2000年の発表によると、ベイリー＝ボールウィン＝プラウフの式を用いて2進表示で様々な桁の計算をした結果では、各数値の出現率はカオス理論に基づいていると推測できるようだ。

π に関する式

π を含む数式は非常に多い。ここではその一部を紹介する。数式によってはそれ自体が π の定義になり得るし、 π の近似値の計算などにも使われてきた。

幾何

• 半径 r の円の円周の長さ： C = 2πr
• 半径 r の円の面積： A = π r²
• 半径 r の球の体積： V = (4/3) π r³
• 半径 r の球の表面積： A = 4 π r²
• a と b を半軸にもつ楕円の面積： A = πab
• 180度の角は π ラジアンと等しい

解析学

• ${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$ （ウォリス）
• $\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ （1735年:オイラー）
• $\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$ （ガウス積分）
• $\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}$
• $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ （スターリングの公式）
• $\sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}$
• $e^{\pi i}+1=0\;$ （オイラーの等式）
• ${\frac {4}{\pi }}$の連分数表示：

${\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{11+{\cfrac {36}{13+{\cfrac {49}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

数論

• 自然数から無作為に2つを取り出した時、その2つが互いに素である確率は 6/π² となる。

力学系・エルゴード理論

ロジスティック写像x_{i + 1} = 4x_i(1 - x_i) によって帰納的に定まる数列x_i を考える。0以上1以下のほとんどすべての数について、この数列の初期値 x₀としてその数を選んだ場合に

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}$

がなりたっている。

物理学

• $\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$ （ハイゼンベルクの不確定性関係）
• $R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}$ （一般相対性理論のアインシュタイン方程式）

統計

• $f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}$ （正規分布の確率密度関数）
• 幅 1 の無限に広がる平行線の上に長さ 1/2 の針を落とすとき、その針が平行線の1つと共有点を持つ確率は 1/π となる（Buffonの針の問題）。

その他

• 円の内角は度数法で360度だが、πの358文字目は「3」、359文字目は「6」、360文字目は「0」である。

π の暗唱

π の桁を記憶術に頼らずに暗記する方法が各種存在している。これらは π に関する遊びのようなもので、言語学や音声学に近く、数学の問題とは少し離れているかもしれない。

日本語では、語呂合わせの要領で非常に長い桁を暗記するのも比較的簡単である。非常に有名なものとして以下のような物がある。

産医師異国に向かう	産後厄なく	産婦みやしろに	虫散々闇に鳴く
3.14159265	358979	3238462	643383279	（30桁）

英語圏では語呂合わせがうまくいかないため、英単語の文字数で覚える方法がいろいろと存在している。

Yes,	I	have	a	number.
3.	1	4	1	6	（小数点以下4桁までで四捨五入）

How	I	want	a	drink,	alcoholic	of	course,	after	the	heavy	lectures	involving	quantum	mechanics!
3.	1	4	1	5	9	2	6	5	3	5	8	9	7	9	（14桁）

これら覚え方には多くの方法があり、日本語では上記のものの改編で 90 桁までのものや、歌にあわせたもの、数値を文字に置き換えて 1,000 桁近く覚える方法など様々な方法がある。ギネスブックによれば、円周率暗唱の世界記録は4万桁以上（42,195 桁）であり、これは1995年に日本人後藤裕之が記録したものである。

2004年9月25日、原口證が8時間45分かけて円周率54,000桁の暗唱に成功し、従来の世界記録を更新した。しかしながら、実際はより多くの桁を覚えていたため、2005年7月1日～7月2日に再挑戦し、83,431桁までの暗唱に成功した。2006年10月3日午前9時～10月4日午前1時30分（16時間30分）の挑戦で100,000桁の暗唱に成功した。ギネスブックに申請中。

3月14日は円周率の日および数学の日である。また7月22日（22/7 は近似値）は円周率近似値の日とされている。

関連項目

• 円周率の歴史
• 数学定数