전단사 함수

전단사 함수의 예

수학에서 전단사 함수(全單射函數, 영어: bijection, bijective function)는 두 집합 사이를 중복 없이 모두 일대일로 대응시키는 함수이다. 일대일 대응(一對一對應, 영어: one-to-one correspondence)이라고도 한다.

정의

두 집합 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전단사 함수라고 한다.

• 임의의 $y\in Y$에 대하여, $f(x)=y$인 유일한 $x\in X$가 존재한다.
• 전사 함수이며 단사 함수이다.
• 집합의 범주에서의 동형 사상이다. 즉, $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}$, $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$인 함수 $g\colon Y\to X$가 존재한다. 이러한 $g$를 $f$의 역함수라고 한다.

성질

두 집합 $X$와 $Y$ 사이에 전단사 함수가 존재한다면, $X$의 집합의 크기와 $Y$의 집합의 크기는 같다.

크기가 같은 두 유한 집합 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$가 단사 함수이거나 전사 함수라면, 항상 전단사 함수이다. 그러나 이는 무한 집합에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, $\mathbb {N} \to \mathbb {N}$, $n\mapsto n+1$은 단사 함수이지만 전사 함수가 아니다.)

집합 $X$ 위의 전단사 함수 $X\to X$들의 집합은 대칭군 $\operatorname {Sym} (X)$라는 군을 이루며, 이는 집합의 범주에서의 자기 동형군이다.

유한 집합 $X$ 위에서, 집합 $Y$로 가는 전단사 함수의 수는 다음과 같다.

${\begin{cases}|X|!&|X|=|Y|\\0&|X|\neq |Y|\end{cases}}$

같이 보기

• 칸토어-베른슈타인 정리

외부 링크

• “Bijection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bijection”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.