에탈 위치

대수기하학에서 에탈 위치(étale位置, 영어: étale site)는 스킴과 스킴 사상의 범주에, 치역들의 합집합이 공역인 에탈 사상의 족을 덮개로 삼은 그로텐디크 위상을 부여하여 얻은 위치이다.

정의

같은 공역을 갖는 에탈 사상들의 집합 $\{\iota _{i}\colon U_{i}\to X\}_{i\in I}$ 이 다음 조건을 만족시킨다면, 에탈 덮개(영어: étale cover)라고 한다.

연속 함수로서, $\iota _{i}$ 들의 치역들의 합집합은 $X$ 전체이다. 즉, 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $\iota _{i}(y)=x$ 인 $i\in I$ 및 $y\in U_{i}$ 가 존재한다.

에탈 덮개는 스킴의 범주 $\operatorname {Sch}$ 위의 그로텐디크 준위상을 이룬다. 이로 정의되는 그로텐디크 위상을 에탈 위상(영어: étale topology)이라고 한다. $\operatorname {Sch}$ 에 에탈 위상을 부여하여 얻은 위치를 에탈 위치라고 하며, $\operatorname {{\acute {E}}t}$ 라고 하자.

스킴 $X$ 위의 큰 에탈 위치(영어: big étale site) $\operatorname {{\acute {E}}t} /X$ 는 범주로서 스킴 범주의 조각 범주 $\operatorname {Sch} /X$ 이며, 그 위의 그로텐디크 위상은 역시 에탈 덮개에 의하여 주어진다.

스킴 $X$ 위의 작은 에탈 위치(영어: small étale site) $X_{\operatorname {{\acute {e}}t} }$ 는 범주로서 $\operatorname {Sch} /X$ 가운데 에탈 사상으로만 구성된 충만한 부분 범주이다. 이 위의 그로텐디크 위상은 역시 에탈 덮개로 주어진다.

성질

아핀 스킴의 에탈 덮개

아핀 스킴 $\operatorname {Spec} R$ 의 임의의 에탈 덮개 $(f_{i}\colon Y_{i}\to \operatorname {Spec} R)_{i\in I}$ 에 대하여, 이를 세분하는 에탈 덮개

(f_{i,j}\colon \operatorname {Spec} S_{i,j}\to Y_{i}\to R)_{i\in I,\;j\in J_{i}}

가 존재한다. 즉, 아핀 스킴의 에탈 위상을 다루려면 에탈 환 준동형 $\phi _{i,j}\colon R\to S_{i,j}$ 만을 고려하면 된다.

에탈 층

범주 ${\mathcal {C}}$ 값을 갖는 $X$ 위의 에탈 준층(영어: étale presheaf)은 작은 에탈 위치 위의 함자 $X_{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}$ 이다. 에탈 층(영어: étale sheaf)은 층 공리를 만족시키는 에탈 준층이다. ${\mathcal {C}}$ 값을 갖는, $X$ 위의 에탈 층들의 범주를 $\operatorname {Sh} (X_{\operatorname {{\acute {e}}t} },{\mathcal {C}})$ 라고 쓰자.

마찬가지로, 큰 에탈 위치 위의 (준)층을 정의할 수 있다. 작은 에탈 위치는 큰 에탈 위치의 부분 위치이므로, 모든 큰 에탈 (준)층은 작은 에탈 (준)층으로 제한할 수 있다. 모든 작은 에탈 층은 큰 에탈 층으로 나타낼 수 있지만, 그 역은 불가능하다.^[1]^{:111, Remark III.3.2(b)} 이 경우, 아벨 군 값의 층의 제한 함자

\operatorname {Sh} (\operatorname {{\acute {E}}t} /X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (X_{\operatorname {{\acute {e}}t} },\operatorname {Ab} ;\operatorname {Ab} )

는 완전 함자이며, 이 함자 아래 단사 대상의 상은 단사 대상이다. 즉, 큰 에탈 위치 위의 층의 에탈 코호몰로지는 작은 에탈 위치 위에서의 에탈 코호몰로지와 같다.^[1]^{:110, Proposition III.3.1(c); 111, Remark III.3.2(a)}

에탈 국소환

스킴은 국소환 달린 공간이므로, 구조층의 (자리스키 위상에서의) 줄기는 가환 국소환을 이룬다. 그러나 에탈 위상은 자리스키 위상보다 더 섬세하며, 따라서 줄기는 특별한 가환환인 순 헨젤 국소환을 이룬다. (마찬가지로, 자리스키 위상과 에탈 위상의 중간에 있는 니스네비치 위상에서의 줄기는 헨젤 국소환이다.)

구체적으로, 스킴 $X$ 의 기하학적 점

{\bar {x}}\colon \operatorname {Spec} K\to X

가 주어졌다고 하자 ( $K$ 는 대수적으로 닫힌 체). 그렇다면, ${\bar {x}}$ 에서 구조층 ${\mathcal {O}}_{X}$ 의 에탈 줄기(영어: étale stalk) ${\mathcal {O}}_{{\bar {x}},X}$ 는 다음과 같다.

{\mathcal {O}}_{X,{\bar {x}}}=\varinjlim _{{\bar {x}}\to U\to X}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U})

여기서 $\textstyle \varinjlim _{{\bar {x}}\to U\to X}$ 는 ${\bar {x}}$ 의 모든 에탈 근방

{\begin{matrix}\operatorname {Spec} K\\\downarrow &\searrow \scriptstyle {\bar {x}}\\U&{\underset {\iota _{U}}{\to }}&X\end{matrix}}

(

\iota _{U}

는 에탈 사상)

에 대한 귀납적 극한이다.

임의의 스킴 $X$ 및 기하학적 점 ${\bar {x}}\colon \operatorname {Spec} K\to X$ 에 대하여, 에탈 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,{\bar {x}}}$ 는 자리스키 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,{\bar {x}}(\operatorname {Spec} K)}$ 의 순 헨젤화와 동형이다. 여기서 ${\bar {x}}(\operatorname {Spec} K)\in X$ 는 한원소 공간인 $\operatorname {Spec} K$ 의 유일한 점의 (연속 함수 ${\bar {x}}$ 에 대한) 상이다.

직관적으로, 에탈 사상은 국소 동형 사상에 해당하므로, 이는 헨젤 보조정리의 필요충분조건과 같다.

토포스 이론에서, 에탈 국소환은 국소환 달린 토포스인 에탈 토포스의 줄기로 생각할 수 있다.

다른 위상과의 비교

다음과 같은 비교가 존재한다.

(더 섬세함) fpqc 위상 → fppf 위상 → 에탈 위상 → 니스네비치 위상 → 자리스키 위상 (더 엉성함)

역사

알렉산더 그로텐디크가, 유한체에 대한 대수다양체에 대한 일련의 추측들인 베유 추측을 증명하기 위하여 1960년에 도입하였다.^[2]

에탈 위상의 정의는 위상 공간의 범주의 다음과 같은 성질에서 기인한다. 위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {Top}$ 위에는 다음과 같은 두 그로텐디크 준위상을 생각할 수 있다.

보통 위상: 위상 공간 $X$ 의 덮개는 연속 함수의 족 $(f_{i}\colon U_{i}\to X)_{i\in I}$ 가운데, 각 $f_{i}$ 의 상이 열린집합이며, $f_{i}$ 는 $U_{i}$ 와 $f(U_{i})$ 사이의 위상 동형을 정의하며, $\textstyle \bigcup _{i\in I}f(U_{i})=X$ 이다. 이 위치를 $\operatorname {Top}$ 라고 하자.
‘에탈 위상’: 위상 공간 $X$ 의 덮개는 연속 함수의 족 $(f_{i}\colon U_{i}\to X)_{i\in I}$ 가운데, 각 $f_{i}$ 는 에탈 함수이며, $\textstyle \bigcup _{i\in I}f(U_{i})=X$ 이다. 이 위치를 $\operatorname {{\acute {E}}tTop}$ 라고 하자.

여기서 ‘에탈 함수’ $f\colon Y\to X$ 는 연속 함수 가운데, 임의의 $y\in Y$ 에 대하여 $f\upharpoonright U$ 가 $U$ 와 $f(U)$ 사이의 위상 동형을 정의하게 하는 열린 근방 $U\ni y$ 가 존재하는 것이다. (이 개념은 층의 에탈 공간의 정의에 등장한다.) 이 경우 모든 열린 덮개는 에탈 덮개이다. 반대로, 모든 에탈 덮개는 (에탈 함수의 정의에 따라) 모든 에탈 덮개는 열린 덮개인 세분을 갖는다. 따라서, 이 두 준위상은 같은 그로텐디크 위상을 정의한다.

스킴의 경우, 위 두 정의를 그대로 번역할 수 있다. (첫째 정의를 번역하면 자리스키 위상을 얻으며, 덮개는 상들의 합집합이 공역 전체인 열린 몰입의 족이다. 둘째 정의를 번역하면 에탈 위상을 얻는다.) 그러나 이 경우 에탈 위상은 자리스키 위상보다 훨씬 더 섬세한 그로텐디크 위상을 이룬다. 이는 스킴의 자리스키 위상이 (복소다양체의 해석적 위상보다) 너무나 엉성하기 때문이며, 이 경우 에탈 위상이 더 해석적 위상에 가까운 그로텐디크 위상을 정의한다.

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 Milne, James S. (1980). 《Étale cohomology》. Princeton Mathematics Series (영어) 33. Princeton University Press. ISBN 978-0-69108238-7. Zbl 0433.14012.
↑ Grothendieck, Alexander (1960). 〈The cohomology theory of abstract algebraic varieties〉. 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Edinburgh, 1958)》 (영어). Cambridge University Press. 103–118쪽. MR 0130879.

외부 링크

Conrad, Brian (2016년 10월 12일). “The étale topology” (PDF) (영어).
“Étale site”. 《nLab》 (영어).
“Étale cover”. 《nLab》 (영어).
“Étale topos”. 《nLab》 (영어).
“Little etale topos”. 《nLab》 (영어).
“In what sense is the étale topology equivalent to the Euclidean topology?” (영어).

[Milne-1] 가 ^나 Milne, James S. (1980). 《Étale cohomology》. Princeton Mathematics Series (영어) 33. Princeton University Press. ISBN 978-0-69108238-7. Zbl 0433.14012.

[2] Grothendieck, Alexander (1960). 〈The cohomology theory of abstract algebraic varieties〉. 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Edinburgh, 1958)》 (영어). Cambridge University Press. 103–118쪽. MR 0130879.

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[2]