Matrica (matematika)

Matrica – stačiakampė elementų (dažniausiai skaičių) lentelė. Matricas tiria matricų teorija. Matricos naudojamos tiesinių lygčių sistemoms spręsti, taip pat atliekant tiesines transformacijas (pavyzdžiui, kompiuterinėje geometrijoje sukant objektus ar keičiant jų dydį).

Apibrėžimai ir žymėjimas

Matricą sudaro eilutės ir stulpeliai. Jeigu matricą sudaro m eilučių ir n stulpelių, ji vadinama m×n dydžio (arba [mxn] formato) matrica. i - osios ir j - osios eilučių sankirtoje esantis elementas paprastai žymimas a_{i, j} arba, jeigu turime matricą A, – A[i, j]. Jeigu vienas iš matricos matmenų lygus vienetui, ji vadinama vektoriumi.

Dvi to paties dydžio matricos vadinamos lygiomis, jei jų atitinkami elementai yra lygūs: A = B, jei (a_ij) = (b_ij)

Pavyzdys

$A={\begin{bmatrix}3&0&-2&4\\4&10&0&1\end{bmatrix}}$

Matrica A yra 2×4 dydžio; ją sudaro dvi eilutės (m=2) ir keturi stulpeliai (n=4).

Operacijos su matricomis

Matricų sudėtis ir atimtis

Matricas galima tarpusavyje atimti ar sudėti, jeigu jų dydžiai sutampa, tai yra, jas sudaro vienodas eilučių ir stulpelių skaičius. Rezultate gaunasi tokio pat dydžio matrica, kurios kiekvienas elementas gaunamas atliekant operaciją su atitinkamais sudedamų (atimamų) matricų elementais. Pavyzdžiui, jeigu turime dvi matricas A ir B, kurių dydis m×n, tuomet jų suma apskaičiuojama sudedant atitinkamus kiekvienos matricos elementus (su sutampančiais indeksais): (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j].

Atimties pavyzdys:

$A={\begin{bmatrix}2&0&-1&4\\1&3&0&5\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}3&1&0&10\\8&2&3&-5\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}2&0&-1&4\\1&3&0&5\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}3&1&0&10\\8&2&3&-5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2-3&0-1&-1-0&4-10\\1-8&3-2&0-3&5-(-5)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1&-1&-6\\-7&1&-3&10\end{bmatrix}}$

Matricų daugyba

Matricas galima dauginti tarpusavyje, jeigu sutampa jų vidiniai matmenys. Jeigu turime matricą A=(a_ik), kurios dydis – [m × s], tuomet ją galima dauginti iš matricos B=(b_kj), jeigu matricos B dydis [s × n]. Sudauginus A ir B matricas, gaunama [m × n] formato matrica C=(c_ij), kurios kiekvienas elementas apskaičiuojamas pagal formulę:

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$

čia 1 ≤ i ≤ m ir 1 ≤ j ≤ n

$\,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]$

Galima dauginti tik tas matricas, kada pirmos matricos stulpelių skaičius lygus antros matricos eilučių skaičiui.

Pavyzdžiai:

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}5&-1&3&1\\2&0&-1&4\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}-1&3&0\\-2&1&1\\3&0&-2\\4&1&2\\\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}(5\times (-1)+(-1)\times (-2)+3\times 3+1\times 4)&(5\times 3+(-1)\times 1+3\times 0+1\times 1)&(5\times 0+(-1)\times 1+3\times (-2))\\(2\times (-1)+0\times (-2)+(-1)\times 3+4\times 4)&(2\times 3+0\times 1+(-1)\times 0+4\times 1)&(2\times 0+0\times 1+(-1)\times (-2)+4\times 2)\\\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}10&15&-7\\11&10&10\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}0&-3&1\\2&1&5\\-4&0&-2\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3\\-2\\2\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(0\times 3-3\times (-2)+1\times 2)\\(2\times 3+1\times (-2)+5\times 2)\\(-4\times 3+0\times (-2)+(-2)\times 2)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\14\\-16\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}5&1&0&-3\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}2&0\\1&-4\\3&1\\0&-1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(5\times 2+1\times 1+0\times 3-3\times 0)&(5\times 0+1\times (-4)+0\times 1-3\times (-1))\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}11&-1\\\end{bmatrix}}$

${\begin{pmatrix}3\\5\\0\\7\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&2&3\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&6&9\\5&10&15\\0&0&0\\7&14&21\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}2&5\\4&3\\1&0\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&4\\3&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 2+5\cdot 3&2\cdot 4+5\cdot 2\\4\cdot 2+3\cdot 3&4\cdot 4+3\cdot 2\\1\cdot 2+0\cdot 3&1\cdot 4+0\cdot 2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}19&18\\17&22\\2&4\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 7+2\cdot 9&1\cdot 8+2\cdot 0\\3\cdot 7+4\cdot 9&3\cdot 8+4\cdot 0\\5\cdot 7+6\cdot 9&5\cdot 8+6\cdot 0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}25&8\\57&24\\89&40\\\end{pmatrix}}$

Matricų ir skaliarų daugyba

Skaliaro k ir matricos A=(a_ij) sandauga vadinama matrica B=(b_ij), kur b_ij=ka_ij:

$kA=B={\begin{bmatrix}ka_{11}&ka_{12}&...&ka_{1n}\\ka_{21}&ka_{22}&...&ka_{2n}\\...&...&...&...\\ka_{m1}&ka_{m2}&...&ka_{mn}\end{bmatrix}}$

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

Matricų tipai

• Nulinė matrica – matrica, kurios visi elementai nuliai.
• Vienetinė matrica – matrica, kurios visi elementai pagrindinėje įstrižainėje lygūs 1, o likusieji elementai lygūs 0. Vienetinė matrica žymima E.
• Išsigimusi matrica – matrica, kurios determinantas lygus nuliui. Be to, ji neturi sau atvirkštinės.
• Kvadratinė matrica – matrica su vienodu eilučių ir stulpelių skaičiumi. Kvadratinės matricos turi įstrižaines. Įstrižainė, kertanti kvadratinės matricos elementus nuo viršutinio kairiojo kampo iki apatinio dešiniojo, vadinama pagrindine, o nuo viršutinio dešiniojo kampo iki apatinio kairiojo – šalutine.
• Transponuota matrica – matrica, kurios eilutės ir stulpeliai sukeisti vietomis.
• Kvadratinės matricos A atvirkštinė matrica – matrica A^-1 , tenkinanti lygybes AA^-1 = A^-1A = E
• Simetrinė matrica – matrica, sutampanti su savo pačios transponuota matrica.
• Trikampė matrica – matrica, kurios visi elementai virš (žemiau) pagrindinės įstrižainės lygūs 0.
• Ermitinė matrica – matrica, kurios eilutes ir stulpelius sukeitus vietomis, bet atlikus kompleksinį sujungimą visiems elementams gauname tą pačią matricą. Tokios matricos pagrindinės įstrižainės elementai visada yra realūs skaičiai.
• Unitarinė matrica – kvadratinė kompleksinė matrica, kurios atvirkštinė matrica gaunama atlikus kompleksinį sujungimą visiems jos elementams.