Inverse

In de wiskunde wordt met de term inverse een aantal verwante begrippen aangeduid, zoals inverse bewerking, inverse van een getal of variabele ten opzichte van een bepaalde operatie en daarmee samenhangend de inverse van een element van een groep, de inverse van een functie of afbeelding, en daaruit voortvloeiend de inverse van een matrix.

Inverse bewerking

Onder de inverse bewerking van een (rekenkundige) operatie verstaan we een bewerking die in bepaalde zin het omgekeerde bereikt. Zo is aftrekken de inverse of tegengestelde operatie van optellen, delen is de inverse operatie van vermenigvuldigen. Met machtsverheffen zijn er twee mogelijkheden. Wanneer de variabele x het grondtal is, bijvoorbeeld in x², is worteltrekken de inverse bewerking van machtsverheffen. Wanneer x in de exponent staat, bijvoorbeeld in e^x, is de logaritme nemen de inverse bewerking van machtsverheffen.

Inverse van een getal of variabele

Vermenigvuldigen we een getal eerst met 3 en daarna met 1/3 dan is het eindresultaat het oorspronkelijke getal. De getallen 3 en 1/3 leveren immers als product het getal 1 op, dat voor de vermenigvuldiging het neutrale element is. Zij heten daarom elkaars inverse ten opzichte van de bewerking vermenigvuldigen. Zo heeft elk getal of variabele x, mits ongelijk 0, met betrekking tot de vermenigvuldiging een inverse 1/x.

Algemeen verstaat men onder de inverse van een variabele x ten opzichte van een bepaalde binaire bewerking het getal x^-1, waarvoor het resultaat van de bewerking toegepast op x en z'n inverse het neutrale element van die bewerking oplevert.

Bij het rekenen modulo een getal n, is de vermenigvuldigingsinverse van het getal x bepaald door:

$(x^{-1}\cdot x)=1\mod n$

Als n bijvoorbeeld gelijk is aan 29, dan kan van de getallen 1 tot en met 28 de inverse berekend worden. Zo is 25 dan de inverse van 7, want 25×7=175=1 mod 29. Om de vermenigvuldigingsinverse te bepalen wordt het Euclidisch algoritme gebruikt.

Inverse van een functie of afbeelding

Zoals in het artikel functie uiteengezet, kan men bij een bijectieve afbeelding A een inverse afbeelding A^-1 definiëren, die als het ware het omgekeerde van A bewerkstelligt. Passen we eerst A toe op x, en vervolgens op het resultaat A(x) de inverse afbeelding A^-1, dan is het resultaat weer x, in formulevorm $A^{-1}(A(x))=x$.

Aan de hand van een voorbeeld zien we hoe we van een functie de inverse kunnen bepalen. Zij:

$f(x)=e^{3x}\,$.

Dit is een bijectieve functie, waarvan dus de inverse bestaat. De inverse voegt aan een beeld y het origineel x toe, daarom lossen we x op uit de vergelijking:

$y=e^{3x}\,$,

dus

$x={\tfrac {1}{3}}\ln(y)$,

Daaruit volgt:

$f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x))=x={\tfrac {1}{3}}\ln(y)$,

gedefinieerd voor y > 0.

Andere voorbeelden

• $f\left(x\right)=ax\implies f^{-1}\left(y\right)={\frac {1}{a}}y$

• Voor een oneven natuurlijk getal n geldt $f\left(x\right)=x^{n}\implies f^{-1}\left(y\right)={\sqrt[{n}]{y}}$

• $f\left(x\right)=n^{x}\implies f^{-1}\left(y\right)=\log _{n}\left(y\right)$

Inverse transformatie

Ook bij transformaties is er sprake van inverse transformaties. Een transformatie is een (partiële) functie van een verzameling naar zichzelf. Zo zijn "Verdubbeling" en "Halvering" transformaties van de verzameling van de reële getallen. De ene transformatie is de inverse van de andere.

Onder een functietransformatie verstaan we een bewerking die een functie via een bepaald voorschrift afbeeldt op een andere functie.

Een voorbeeld van een inverse functietransformatie is de inverse Laplacetransformatie.

Inverse van een matrix

De inverse matrix (zie aldaar) van een vierkante inverteerbare matrix is de inverse ten opzichte van de bewerking matrixvermenigvuldiging. Omdat matrixvermenigvuldiging overeenkomt met na elkaar toepassen van de bijbehorende (lineaire) afbeeldingen, is de inverse van een matrix ook de matrix van de inverse afbeelding.