Mostrar código-fonte de Endomorfismo

{{Ver desambig|este=o conceito matemático|o tipo de corpo '''endomórfico'''|somatótipo}}
[[Imagem:Orthogonal projection.svg|frame|right|[[Projeção ortogonal]] sobre uma reta ''m'' é um [[operador linear]] no plano. Este é um exemplo de um endomorfismo que não é um [[automorfismo]].]]

Em [[matemática]], um '''endomorfismo''' é um [[morfismo]] (ou [[homomorfismo]]) de um [[objeto matemático]] nele mesmo. Por exemplo, um endomorfismo de um [[espaço vetorial]] ''V'' é uma [[transformação linear]] {{nowrap|''f'': ''V'' → ''V''}}, e um endomorfismo de um [[Grupo (matemática)|grupo]] ''G'' é um [[homomorfismo de grupos]] {{nowrap|''f'': ''G'' → ''G''}}. Em geral, pode-se falar de endomorfismos em qualquer [[teoria das categorias|categoria]]. Na categoria dos [[conjunto]]s, endomorfismos são funções de um conjunto ''S'' nele mesmo.

Em qualquer categoria, a [[composição de funções|composição]] de dois endomorfismos quaisquer de ''X'' é novamente um endomorfismo de ''X''. Segue-se que o conjunto de todos os endomorfismos de ''X'' forma um [[monoide]], denotado End(''X'') (ou End<sub>''C''</sub>(''X'') para enfatizar a categoria ''C'').

== Automorfismos==
{{Artigo principal|Automorfismo}}
Uma endomorfismo [[elemento inverso|inversível]] de ''X'' é chamado de [[automorfismo]]. O conjunto de todos os automorfismos é um [[subconjunto]] de End(''X'') com uma estrutura de [[grupo (matemática)|grupo]], chamado de [[grupo de automorfismos]] de ''X'' e denotado por Aut(''X''). No diagrama a seguir, as setas denotam implicação:
{| border="0"
|-
| style="text-align: center; width: 42%;" | [[automorfismo]]
| style="text-align: center; width: 16%;" | ⇒
| style="text-align: center; width: 42%;" | [[isomorfismo]]
|-
| style="text-align: center;" | ⇓
|
| style="text-align: center;" | ⇓
|-
| style="text-align: center;" | endomorfismo
| style="text-align: center;" | ⇒
| style="text-align: center;" | [[homomorfismo|(homo)morfismo]]
|}

== Anel de endomorfismos ==
{{Artigo principal|Anel de endomorfismos}}
Quaisquer dois endomorfismos de um [[grupo abeliano]] ''A'' podem ser adicionados conforme a regra {{nowrap|1=(''f'' + ''g'')(''a'') = ''f''(''a'') + ''g''(''a'')}}.  Sob esta adição, os endomorfismos de um grupo abeliano formam um [[anel (matemática)|anel]] (o [[anel de endomorfismos]]). Por exemplo, o conjunto de endomorfismos de '''Z'''<sup>''n''</sup> é o anel de todas as matrizes {{nowrap|''n'' × ''n''}} com entradas inteiras. Os endomorfismos de um espaço vetorial ou [[Módulo (álgebra)|modulo]] também formam um anel, do mesmo modo que os endomorfismos de qualquer objeto em um categoria pré-aditiva. Os endomorfismos de um grupo não abeliano geram uma estrutura algebrica conhecida como um [[quase anel]]. Todo anel com unidade, é um anel de endomorfismos de seu modulo regular, e como tal é um subanel de um anel de endomorfismos de um grupo abeliano,<ref>Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.</ref> no entanto há anéis que não são um anel de endomorfismos de nenhum grupo abeliano.

==Teoria dos operadores==

Em qualquer [[categoria concreta]], especialmente em [[espaço vetorial|espaços vetoriais]], endomorfismos são aplicações de um conjunto nele mesmo, e podem ser interpretados como [[operação unária|operadores unários]] neste conjunto, [[Ação (matemática)|agindo]] nos elementos, e permitindo definir a noção de [[Ação (matemática)|órbita]]s de elementos, etc.
Dependendo da estrutura adicional definida para a categoria em questão ([[Topologia (matemática)|topologia]], [[Métrica (matemática)|métrica]], ...), tais operadores podem ter propriedades como [[Função contínua|continuidade]], [[Função limitada|ser limitada]] e assim por diante. Mais detalhes podem ser encontrados no artigo sobre [[teoria dos operadores]].

== Endofunções ==

Uma '''endofunção''' é uma [[Função (matemática)|função]] cujo [[Domínio (matemática)|domínio]] é igual ao seu [[contradomínio]]. Uma endofunção [[Homomorfismo|homomórfica]] é um endomorfismo.

Seja ''S'' como um conjunto arbitrário. Entre as endofunções de ''S'' encontramos [[permutação|permutações]] de ''S'' e funções constantes associando a cada <math>x\in S</math> um certo <math>c\in S.</math> Cada permutação de ''S'' tem o contradomínio igual ao seu domínio, e é [[Função bijectiva|bijetiva]] e inversível. Uma função constante em ''S'', se ''S'' tem mais de um elemento, tem um contradomínio que é um subconjunto próprio desse domínio, não é bijetiva (e não é invertível). A função que associa a cada inteiro natural ''n'' o [[Parte inteira|piso]] de ''n''/2 tem seu contradomínio igual ao domínio e não é invertível.

Endofunções finitas são equivalentes a [[Pseudofloresta|pseudoflorestas orientadas]]. Para conjuntos de tamanho ''n'', existem ''n''<sup>''n''</sup> endofunções no conjunto.

Um tipo particular de endofunções bijetivas são as [[Involução (matemática)|involuções]], isto é, as funções que coincidem com suas inversas.

==Notas==
<references />

== Ver também ==
* [[Endomorfismo adjunto]]
* [[Endomorfismo de Frobenius]]

== Ligações externas ==
* {{springer|title=Endomorphism|id=p/e035600}}
* {{PlanetMath reference|id=7462|title=Endomorphism}}

[[Categoria:Morfismos]]