Derivată

În matematică, derivata unei funcţii este unul dintre conceptele fundamentale ale analizei matematice, împreună cu primitiva şi inversa derivatei.

Derivata unei funcţii într-un punct semnifică rata cu care se modifică valoarea funcţiei atunci când se modifică argumentul. Cu alte cuvinte, derivata este o formulare matematică a noţiunii de rată de variaţie. Derivata este un concept foarte versatil, care poate fi privit în multe feluri. De exemplu, referindu-ne la graficul bidimensional al funcţiei f, derivata într-un punct x reprezintă panta tangentei la grafic în punctul x. Panta tangentei se poate aproxima printr-o secantă. Cu această interpretare geometrică, nu este surprinzător faptul că derivatele pot fi folosite pentru a descrie multe proprietăţi geometrice ale graficelor de funcţii, cum ar fi concavitatea şi convexitatea.

Trebuie menţionat că nu toate funcţiile admit derivate. De exemplu, funcţiile nu au derivate în punctele în care au o tangentă verticală, în punctele de discontinuitate şi în punctele de întoarcere.

Diferenţială şi diferenţiabilitate

Într-un limbaj oarecum învechit, diferenţiala exprimă rata cu care se modifică (variază) o cantitate y ca urmare a modificării (variaţiei) unei alte cantităţi x de care este legată printr-o funcţie. Dacă folosim simbolul Δ pentru a nota modificarea (variaţia) unei cantităţi, această rată se defineşte ca limita raportului variaţiilor (diferenţelor):

{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

pe măsură ce Δ x tinde spre 0 sau altfel exprimat Δ x e în vecinătatea lui 0. În notaţia lui Leibniz, derivata lui y în raport cu x se scrie

{\frac {dy}{dx}}

sugerând raportul a două diferenţe numerice (cantităţi) infinitezimale (în vecinătatea lui 0). Expresia de mai sus se poate pronunţa fie "dy supra dx", fie "dy la dx".

În limbajul matematic contemporan, nu se mai face referire la cantităţile care variază; derivata este considerată o operaţie matematică asupra funcţiilor. Definiţia formală a acestei operaţii (care nu mai face uz de noţiunea de cantităţi infinitezimale) este dată de limita când h tinde la 0 (e în vecinătatea lui 0) a următoarei expresii: