Преобразование Стилтьеса

Преобразование Стилтьеса — это интегральное преобразование, которое для функции $f(x)$ имеет вид:

$F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx,$

где интегрирование ведётся по вещественной полуоси, а $\tau$ меняется в комплексной плоскости, с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси.

Данное преобразование является преобразованием свёртки, оно возникает при итерировании преобразования Лапласа. Преобразование Стилтьеса связано также с проблемой моментов для полубесконечного промежутка и, как следствие, с некоторыми цепными дробями.

Если $f(x)x^{\frac {1}{2}}$ непрерывна и ограничена на $(0,\infty )$, то справедлива формула обращения:

$f(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}}\right)^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}F(x)\right),\quad x>0.$

Впервые данное преобразование было рассмотрено Т. И. Стилтьесом.

Итерирование преобразования Лапласа

Обозначим прямое преобразования Лапласа функции $f(x)$ (переменной $x$) как функцию новой переменной $s$ как

${\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}f(x)\,dx.$

Тогда повторное (итерированное) преобразование Лапласа

${\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)\right\}(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx$

представляет собой преобразование Стильтьеса (после взятия интеграла по $s$).

Поэтому многие свойства преобразования Стильтьеса могут быть получены непосредственно из свойств преобразования Лапласа.

Основные свойства и теоремы

Обозначим преобразование Стилтьеса функции $f(x)$ как

${\mathcal {S}}\left\{f(x)\right\}=F(\tau ).$

Соответствующее обратное преобразование обозначим как:

${\mathcal {S}}^{-1}\left\{F(\tau )\right\}=f(x).$

• Умножение оригинала на переменную

В сумме изображение оригинала, умноженного на переменную, и произведение переменной на образ равны константе, равной интегралу по положительной вещественной полуоси от оригинала:

${\mathcal {S}}\left\{xf(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(x)dx-\tau F(\tau )$

• Разностная производная образов

${\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\frac {F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }}\right\}=-{\frac {f(x)}{x+\alpha }},\quad |\operatorname {arg} (\alpha )|<\pi$

• Разностная производная оригиналов

${\mathcal {S}}\left\{{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right\}={\frac {{\frac {1}{2}}\left(F(ae^{i\pi })+F(ae^{i\pi })\right)-f(a)\ln \left({\frac {\tau }{a}}\right)-F(\tau )}{\tau +a}},\quad a>0$

• Растяжение по аргументу

При масштабировании переменной оригинала в $a$ раз переменная образа также масштабируется в $a$ раз:

${\mathcal {S}}\left\{f(ax)\right\}=F(a\tau ),\quad a>0$

• Дифференцирование оригинала

Сумма образа производной и производной образа равна константе, поделённой на переменную образа, причём данная константа равна значению оригинала в нуле, взятому с обратным знаком:

${\mathcal {S}}\left\{f'(x)\right\}=-{\frac {f(0)}{\tau }}-F'(\tau )$

Обобщения

Обобщённое преобразование Стилтьеса

$F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{(x+\tau )^{\rho }}}dx.$

Интегрированное преобразование Стилтьеса

$F(\tau )=\int _{+0}^{\infty }K(\tau ,x)f(x)dx,$

где

$K(\tau ,x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\ln {\frac {\tau }{x}}}{\tau -x}},&\tau \neq x\\{\frac {1}{\tau }},&\tau =x\\\end{matrix}}\right.$

Литература

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970