Перегляд вихідного коду сторінки Алгебра Лі

{{Алгебричні структури|algebra}}
У [[Математика|математиці]] '''алгебра Лі''' — це [[Векторний простір|векторний простір]] <math>\mathfrak{g}</math> разом із [[Бінарна операція|операцією]], яку називають '''дужкою Лі''' —
{{нп|Антисиметричне білінійне відображення|антисиметричне білінійне відображення||Alternating multilinear map}}
<math>\mathfrak {g}\times \mathfrak {g}\rightarrow \mathfrak{g}</math>, <math>(x,y)\mapsto [x,y]</math>, що задовольняє  [[Тотожність Якобі|тотожність Якобі]].{{efn|Дужки {{math|[,]}} представляють білінійну операцію "<math>\times</math>"; часто це [[Комутатор (математика)|комутатор]]: {{math|[''x'',''y''] {{=}} ''x'' ''y'' − ''y'' ''x''}}, для асоціативного добутку на тому самому векторному просторі. Але не обов'язково!}}
Векторний простір <math>\mathfrak{g}</math> з цією операцією не обов'язково є [[Асоціативна алгебра|асоціативною алгеброю]], тобто, дужка Лі не є обов'язково [[Асоціативність|асоціативною]].

Алгебри Лі тісно пов'язані з [[Група Лі|групами Лі]], тобто [[Група (математика)|групами]], що також є [[Диференційовний многовид|гладкими многовидами]]: будь-якій групі Лі відповідає алгебра Лі, яка є її [[Дотичний простір|дотичним простором]] в одиниці.
І навпаки, для будь-якої скінченновимірної алгебри Лі над дійсним або комплексним полем існує відповідна [[Зв'язний простір|зв'язна]] група Лі, єдина з точністю до скінченних накриттів ({{нп|Третя теорема Лі|третя теорема Лі||Lie's third theorem}}).
Ця {{нп|Відповідність між групою та алгеброю Лі|відповідність||Lie group–Lie algebra correspondence}} дозволяє звести дослідження структури та [[Проста група Лі|класифікацію]] груп Лі відповідно до дослідження структури та класифікації алгебр Лі.

У фізиці групи Лі виникають як групи симетрії фізичних систем, а їх алгебри Лі можна розглядати як {{нп|Інфінітезимальні перетворення|інфінітезимальні перетворення||Infinitesimal transformation}} симетрії з околу одиничного перетворення. Загалом, алгебри Лі та їх представлення широко використовуються у фізиці, зокрема в [[Квантова механіка|квантовій механіці]] та фізиці елементарних частинок.

Елементарним прикладом є [[Тривимірний простір|тривимірний векторний простір]] <math>\mathfrak {g}=\mathbb{R}^{3}</math> з дужкою, визначеною як [[Векторний добуток|векторний добуток]] <math>[x,y]=x\times y</math>.
Вона є антисиметричною, оскільки <math>x\times y=-y\times x</math>, і задовольняє тотожність Якобі:
:<math>x\times (y\times z) = (x\times y)\times z + y\times (x\times z).</math>
Це алгебра Лі групи Лі [[SO(3)|обертань простору]]  і кожен вектор <math>v\in \mathbb{R}^{3}</math> може бути зображений як інфінітезимальний поворот навколо осі співнапрямленої з <math>v</math> зі швидкістю, що дорівнює довжині <math>v</math>.
Також будь-який поворот комутує сам із собою, тому справедлива властивість альтернативності: <math>[x,x]=x\times x=0</math>.
Значення дужки Лі двох поворотів рівне нулю тоді й лише тоді, коли такі повороти комутують. Тому говорять, що дужка Лі є мірою некомутативності поворотів.

== Історія ==
Алгебри Лі були запропоновані при дослідженні концепції {{нп|Інфінітезимальні перетворення|інфінітезимальних перетворень||Infinitesimal transformation}} [[Софус Лі|Маріусом Софусом Лі]] в 70-х роках XIX століття<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2000}}</ref> і незалежно перевідкриті {{нп|Вільгельм Кіллінг|Вільгельмом Кіллінгом||Wilhelm Killing}}<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2005}}</ref> у 1880-х рр.
Назва ''алгебра Лі'' була введена [[Герман Вейль|Германом Вейлем]] у 1930-х рр.; до цього використовувався термін ''інфінітезимальної групи''.

== Означення ==
===Означення алгебри Лі===
Алгебра Лі  — це [[Векторний простір|векторний простір]] <math>\mathfrak{g}</math> над деяким [[Поле (алгебра)|полем]] <math>\mathbb{F}</math> разом із [[Бінарна операція|бінарною операцією]] <math>[\cdot,\cdot] \colon \ \mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math>, яка називається дужкою Лі, що задовольняє наступним аксіомам:{{efn|{{harvtxt|Bourbaki|1989|loc=розділ 2.}} дозволяє загальніше для [[Модуль над кільцем|модуля]] над [[Комутативне кільце|комутативним кільцем]]; у цій статті це називається [[#Кільце Лі|кільцем Лі]].}}

* [[Білінійне відображення|Білінійність]]:
::<math>[ax + by,z] = a[x,z] + b[y,z],</math>
::<math>[z,ax + by] = a[z,x] + b[z,y]</math>
:для всіх скалярів <math>a</math>, <math>b</math> з поля <math>\mathbb{F}</math> і всіх елементів <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> з алгебри <math>\mathfrak{g}</math>.
* {{нп|Мультилінійне відображення альтернативності|Альтернативність||Alternating multilinear map}}:
::<math>[x,x]=0</math>
:для всіх <math>x</math> з алгебри <math>\mathfrak{g}</math>.
* [[Тотожність Якобі]]:
::<math>[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0</math>
:для всіх <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> з алгебри <math>\mathfrak{g}</math>.

З використанням властивостей білінійності та альтернативності дужку Лі <math>[x+y,x+y]</math>  можна записати як <math>[x,y]+[y,x]=0</math> для всіх елементів <math>x</math>, <math>y</math> з алгебри <math>\mathfrak{g}</math>. Таким чином, з білінійності та альтернативності випливає
* [[Антикомутативність]]:
::<math>[x,y]=-[y,x]</math>
:для всіх елементів <math>x</math>, <math>y</math> з алгебри <math>\mathfrak{g}</math>.
Якщо [[Характеристика (алгебра)|характеристика]] поля не дорівнює 2, то з антикомутативності випливає альтернативність, оскільки  <math>[x,x]=-[x,x]</math>.<ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=1.}}</ref>

Алгебру Лі, як правило, позначають малими готичними літерами ([[Фрактура|фрактурами]]), наприклад, <math>\mathfrak{g}</math>, <math>\mathfrak{h}</math>, <math>\mathfrak{b}</math>, <math>\mathfrak{n}</math>.
Якщо алгебра Лі пов'язана з [[Група Лі|групою Лі]], то алгебра Лі позначається малими готичними літерами, що відповідають позначенням групи Лі, наприклад алгебра Лі групи Лі [[Спеціальна унітарна група|<math>{\rm SU}(n)</math>]] позначається як <math>\mathfrak{su}(n)</math>.

=== Генератори та розмірність ===
Кажуть, що елементи алгебри Лі <math>\mathfrak{g}</math> {{нп|Генератори (математика)|породжують||Generator (mathematics)}} її, якщо вони утворюють найменшу підалгебру, яка містить  ці елементи і співпадає з самою алгеброю <math>\mathfrak{g}</math>.
''Розмірність'' алгебри Лі — це її розмірність
як векторного простору над полем <math>\mathbb{F}</math>.
Кардинальне число мінімальної породжувальної множини алгебри Лі завжди менша або дорівнює її розмірності.

Дивись {{нп|Класифікація низькорозмірних дійсних алгебр Лі|класифікацію низькорозмірних дійсних алгебр Лі||Classification of low-dimensional real Lie algebras}} для інших прикладів низькорозмірних алгебр Лі.

=== Підалгебри, ідеали та гомоморфізми ===
Дужка Лі не обов’язково має бути [[Асоціативність|асоціативною]], тобто <math>[[x,y],z]</math> може і не дорівнювати <math>[x,[y,z]]</math>.
Однак, дужка Лі {{нп|Гнучка алгебра|гнучка||Flexible algebra}}.
Тим не менш, значна частина термінології асоціативних [[Кільце (алгебра)|кілець]] і [[Алгебра над кільцем|алгебр]] зазвичай використовується в алгебрах Лі.
''Підалгебра Лі'' —  підпростір <math>\mathfrak{h}\subseteq \mathfrak{g}</math>, замкнений відносно дужки Лі.
''Ідеал'' <math>\mathfrak{i}\subseteq \mathfrak{g}</math> — підалгебра, що задовольняє сильнішу умову:<ref>Внаслідок антикомутативності дужки Лі поняття лівого і правого ідеалу в алгебрі Лі збігаються.</ref>
:<math>[\mathfrak{g},\mathfrak{i}]\subseteq \mathfrak{i}.</math>
''Гомоморфізм'' алгебр Лі — це лінійне відображення базових векторних просторів, що узгоджене з відповідними дужками Лі:
:<math>\phi\colon \ \mathfrak{g}\to \mathfrak{g'},\quad \phi([x,y])=[\phi(x),\phi(y)]</math>
для всіх <math>x,y\in \mathfrak{g}</math>.
У випадку асоціативних кілець [[Ядро (алгебра)|ядра]] гомоморфізмів є ідеалами. 
Також для заданої алгебри Лі <math>\mathfrak{g}</math> та ідеалу <math>\mathfrak{i}</math> в ній можна побудувати ''фактор-алгебру'' <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>.
Оскільки ядра гомоморфізмів є ідеалами, то для алгебр Лі має місце [[Теореми про ізоморфізми|перша теорема про ізоморфізм]].

Дужка Лі є різновидом інфінітезимального [[Комутатор (математика)|комутатора]] відповідної групи Лі, а тому два елементи <math>x, y\in \mathfrak{g}</math> називають ''комутуючими'', якщо їх дужка Лі дорівнює 0: <math>[x,y]=0</math>.

[[Централізатор]] підмножини <math>S\subset \mathfrak{g}</math> — це множина комутуючих елементів з <math>S</math>: тобто, <math>\mathfrak{z}_\mathfrak{g}(S)=\{x\in \mathfrak{g} \, | \, [x,s]=0, \ \forall \, s\in S\}</math>.
Централізатор <math>\mathfrak{z}(\mathfrak{g})</math> є ''центром'' алгебри <math>\mathfrak{g}</math>.
Аналогічно, для підпростору <math>S</math> [[Нормалізатор|нормалізатором]] множини <math>S</math> є <math>\mathfrak{n}_\mathfrak{g}(S)=\{x\in \mathfrak{g} \, | \, [x,s]\in S, \ \forall \, s\in S\}</math>.<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=28}}</ref>
Еквівалентно, якщо <math>S</math> є підалгеброю Лі, то <math>\mathfrak{n}_\mathfrak{g}(S)</math> — це найбільша підалгебра така, що <math>S</math> є ідеалом нормалізатора <math>\mathfrak{n}_\mathfrak{g}(S)</math>.

=== Приклади ===
Розглянемо векторний простір матриць розміру <math>2\times2</math> з елементами з поля <math>\mathbb{F}</math>, <math>\mathfrak{gl}(2,\mathbb{F})</math>. 
Комутатором двох матриць <math>A,B\in \mathfrak{gl}(2,\mathbb{F})</math> будемо називати матрицю <math>[A,B]:=A\cdot B - B\cdot A</math>, де <math>\cdot</math> позначає звичайний добуток матриць.
Простір <math>\mathfrak{gl}(2,\mathbb{F})</math> разом із комутатором утворює алгебру Лі.

Нехай <math>\mathfrak{d}(2)</math> є підмножиною <math>\mathfrak{gl}(2,\mathbb{F})</math>, яка складається з діагональних матриць.
Ця множина сама по собі є векторним підпростором простору <math>\mathfrak{gl}(2,\mathbb{F})</math> і вона замкнена відносно комутатора, а значить є підалгеброю Лі <math>\mathfrak{gl}(2,\mathbb{F})</math>.
Комутатор двох елементів <math>g\in \mathfrak{gl}(2)</math> і <math>d\in \mathfrak{d}(2)</math> має вигляд: 
:<math>\begin{align}
\left[
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
x & 0 \\
0 & y
\end{bmatrix}
\right] = \begin{bmatrix}
ax & by \\
cx & dy
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
ax & bx \\
cy & dy
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & b(y-x) \\
c(x-y) & 0
\end{bmatrix}.
\end{align}</math>
Отже, <math>\mathfrak{d}(2)</math> — підалгебра, але не ідеал.
По суті, кожний одновимірний лінійний підпростір алгебри Лі має індуковану структуру абелевої алгебри Лі, яка у загальному випадку не є ідеалом.
Для будь-якої простої алгебри Лі, усі її абелеві підалгебри Лі ніколи не є ідеалами.

=== Пряма сума та напівпрямий добуток ===
Для двох алгебр Лі <math>\mathfrak{g}</math> і <math>\mathfrak{g'}</math> їх [[Пряма сума|пряма сума]] — векторний простір  <math>\mathfrak {g}\oplus \mathfrak {g'}</math>, що складається з усіх пар <math>(x,x')</math>, <math>x\in \mathfrak {g}</math>, <math>x'\in \mathfrak {g'}</math>, з операцією
:<math>[(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),</math>
такою, що копії <math>\mathfrak{g}</math>, <math>\mathfrak{g'}</math> комутують одна з одною: <math>[(x,0),(0,x')]=0</math>.
Нехай <math>\mathfrak{g}</math> — алгебра Лі, а <math>\mathfrak{i}</math> — ідеал алгебри Лі <math>\mathfrak{g}</math>.
Якщо канонічне відображення  <math>\mathfrak {g}\to \mathfrak {g}/\mathfrak {i}</math> розщеплюється (тобто допускає переріз), то алгебра <math>\mathfrak{g}</math> називається [[Напівпрямий добуток|напівпрямим добутком]] ідеалу <math>\mathfrak{i}</math> і його доповнення, яке ізоморфне фактор-алгебрі <math>\mathfrak {g}/\mathfrak {i}</math>; записується як <math>\mathfrak {g}=\mathfrak {f}\ltimes \mathfrak {i}</math>, де <math>\mathfrak {f}\simeq\mathfrak {g}/\mathfrak {i}.</math>
Дивись також параграф "'''Напівпряма сума алгебр Лі'''" нижче.

Згідно {{нп|Розклад Леві|теореми Леві||Levi decomposition}}, скінченновимірна алгебра Лі є напівпрямим добутком її радикала і доповняльної підалгебри ({{нп|Розклад Леві|підлгебра Леві||Levi decomposition}}).

=== Диференціювання ===
[[Диференціювання (алгебра)|''Диференціюванням'']] в алгебрі Лі <math>\mathfrak{g}</math> (або в будь-якій {{нп|Неасоціативна алгебра|неасоціативній алгебрі||Non-associative algebra}} називається [[Лінійне відображення|лінійне відображення]] <math>\delta \colon \mathfrak {g}\rightarrow \mathfrak {g}</math>, що задовольняє [[Загальне правило Лейбніца|правилу Лейбніца]], тобто,
:<math>\delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]</math>
для всіх <math>x, y\in \mathfrak{g}</math>.
''Внутрішнім диференціюванням'', що пов'язане з будь-яким <math>x\in \mathfrak{g}</math>, є приєднане відображення <math>{\rm ad}_x</math>, яке визначається наступним чином: <math>{\rm ad} _x(y):=[x,y]</math>.
(Це диференціювання — наслідок тотожності Якобі).
''Зовнішні диференціювання'' — це диференціювання, які не можна отримати з приєднаного представлення алгебри Лі.
Якщо алгебра <math>\mathfrak{g}</math> — [[Напівпроста алгебра Лі|напівпроста]], то всі диференціювання є внутрішніми.

Диференціювання утворюють векторний простір <math>\operatorname{Der}(\mathfrak {g})</math>, який є підалгеброю алгебри <math>\mathfrak {gl}(n)</math>, де
дужка Лі — комутатор.
Внутрішні диференціювання утворюють підалгебру алгебри  <math>\operatorname{Der}(\mathfrak {g})</math>.

=== Приклади ===
Наприклад, на заданому ідеалі алгебри Лі  <math>\mathfrak {i}\subset \mathfrak {g}</math> приєднане представлення <math>\rm {ad}_x</math> алгебри <math>\mathfrak {g}</math>, де <math>x\in \mathfrak {g}\setminus \mathfrak {i}</math>, діє як зовнішні диференціювання на ідеалі <math>\mathfrak {i}</math>, оскільки <math>[x,i]\in \mathfrak {i}</math> для будь-якого <math>x\in \mathfrak {g}</math> і <math>i\in \mathfrak {i}.</math>
Ідеалом алгебри Лі <math>\mathfrak{b}_{n}</math> верхньотрикутних матриць в <math>\mathfrak {gl}(n)</math> є алгебра <math>\mathfrak{n}_{n}</math> строго верхньотрикутних матриць (де ненульові елементи знаходяться лише вище діагоналі матриці).
Оскільки комутатор довільних елементів з <math>\mathfrak {b}_{3}</math> і <math>\mathfrak {n}_{3}</math> дає
:<math>
\begin{align}
\left[
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
0 & d & e \\
0 & 0 & f
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & x & y \\
0 & 0 & z \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\right] = \begin{bmatrix}
0 & ax & ay+bz \\
0 & 0 & dz \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
0 & dx & ex+yf \\
0 & 0  & fz \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & (a-d)x & (a-f)y-ex+bz \\
0 & 0 & (d-f)z \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\end{align}</math>
то звідси випливає, що існують внутрішні диференціювання алгебри <math>\mathfrak {b}_{3}</math>, які є зовнішніми диференціюваннями алгебри <math>\mathfrak{n}_{3}.</math>

=== Розщеплені алгебри Лі ===
Нехай <math>V</math> — скінченновимірний векторний простір над полем <math>\mathbb{F}</math>, <math>\mathfrak{gl}(V)</math> — алгебра Лі лінійних перетворень, <math>\mathfrak {g}\subseteq \mathfrak {gl}(V)</math> — підалгебра Лі.
Тоді алгебра Лі <math>\mathfrak{g}</math> називається ''розщепленою'', якщо корені характеристичних поліномів усіх лінійних перетворень в алгебрі <math>\mathfrak{g}</math> належать базовому полю <math>\mathbb{F}</math>.<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=42}}</ref>
У загальному випадку, скінченновимірна алгебра Лі <math>\mathfrak{g}</math> називається розщепленою, якщо вона має підалгебру Картана, образ якої при [[Приєднане представлення групи Лі|приєднаному представленні]] <math>\operatorname {ad}\colon \mathfrak {g}\to \mathfrak{gl}(\mathfrak {g})</math> є розщепленою алгеброю Лі.
{{нп|Дійсна форма (теорія Лі)|Розщеплена дійсна форма||Real form (Lie theory)}} комплексної напівпростої алгебри Лі (див. "'''Дійсна форма і комплексифікація'''" нижче) є прикладом розщепленої дійсної алгебри Лі.
Дивись також статтю про {{нп|Розщеплена алгебра Лі|розщеплені алгебри Лі||Split Lie algebra}} для додаткової інформації.

=== Базис векторного простору ===
Для практичних обчислень пов'язаних із алгебрами Лі часто зручно вибирати явний [[Базис (математика)|базис векторного простору]].
Загальна конструкція для цього базису схематично описана в статті про {{нп|Структурні сталі|структурні сталі||Structure constants}}.

=== Означення у рамках теоретико-категорного підходу ===
Наведених вище означень достатньо для загальноприйнятого розуміння алгебр Лі. Але розгляд у формалізмі [[Теорія категорій|теорії категорій]] дозволяє детальніше дослідити властивості алгебр Лі. В рамках цього підходу алгебра Лі визначається в термінах [[Лінійне відображення|лінійних відображень]], тобто [[Морфізм|морфізмів]] {{нп|Категорії модулів|категорії векторних просторів||Category of modules}}, без розгляду окремих елементів.
(У цьому параграфі вважаємо, що [[Поле (алгебра)|поле]], над яким визначається алгебра, має  [[Характеристика (алгебра)|характеристику]] не рівну двом).

Для теоретико-категоріального означення алгебр Лі необхідні два [[Тензорний добуток|завузлені ізоморфізми]].
Якщо <math>A</math> — це векторний простір, то ''ізоморфізм перестановки'' <math>\tau\colon A\otimes A \to A\otimes A</math> визначається як
:<math>\tau(x\otimes y) = y\otimes x.</math>
''Циклічно-переставне завузлене відображення'' <math>\sigma\colon \ A\otimes A\otimes A \to A\otimes A\otimes A</math> визначається як
:<math>\sigma=({\rm id}\otimes \tau)\circ(\tau\otimes {\rm id}),</math>
де <math>{\rm id}</math> — тотожний морфізм.
Еквівалентно, <math>\sigma</math> визначається як
:<math>\sigma(x\otimes y\otimes z)= y\otimes z\otimes x.</math>
За допомогою цього позначення алгебра Лі може бути визначена як [[Категорія (математика)|об'єкт]] <math>A</math> в категорії векторних просторів разом із [[Морфізм|морфізмом]]
:<math>[\cdot,\cdot]\colon \ A\otimes A\rightarrow A,</math>
що задовольняє два співвідношення для морфізму
:<math>[\cdot,\cdot]\circ ({\rm id} +\tau)=0,</math> і
:<math>[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes {\rm id}) \circ ({\rm id} +\sigma+\sigma^2)=0.</math>

== Приклади ==
=== Векторні простори ===
Будь-який векторний простір <math>V</math> з нульовою дужкою Лі є алгеброю Лі.
Такі алгебри Лі називаються '''абелевими''', див. нижче.
Будь-яка одновимірна алгебра Лі над полем є абелевою з огляду на
антисиметричність дужки Лі.

=== Асоціативна алгебра з теоретико-кільцевим комутатором ===
* На [[Алгебра над кільцем|асоціативній алгебрі]] <math>A</math> над полем <math>\mathbb{F}</math> з множенням <math>(x,y)\mapsto xy</math>, дужка Лі може бути визначена за допомогою теоретико-кільцевого [[Комутатор (математика)#Комутатор (теорія кілець)|комутатора]] <math>[x,y]=xy-yx</math>.
З цією дужкою алгебра <math>A</math> є алгеброю Лі, яка, зазвичай, позначається <math>A^{(-)}</math>.<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 1.}}</ref>
Асоціативна алгебра <math>A</math> називається ''обгортуючою алгеброю'' алгебри Лі <math>A^{(-)}</math>.
Будь-яку алгебру Лі можна вкласти в алгебру Лі, побудовану на асоціативній алгебрі (дивись про [[Універсальна обгортуюча алгебра|універсальну обгортуючу алгебру]]).
* {{нп|Кільце ендоморфізму|Асоціативна алгебра ендоморфізмів||Endomorphism ring}} <math>\mathbb{F}</math>-векторного простору <math>V</math> з наведеною вище дужкою Лі позначається як <math>\mathfrak {gl}(V)</math>.
* Для скінченновимірного векторного простору <math>V=\mathbb{F}^{n}</math>, попередній приклад є саме алгеброю Лі <math>n\times n</math> матриць, яку позначають як <math>\mathfrak{gl}(n,\mathbb{F})</math> або <math>\mathfrak{gl}_{n}(\mathbb {F})</math><ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=§1.2. Example 2.}}</ref> з дужкою <math>[X,Y]=XY-YX</math>, де <math>XY</math>  — добуток матриць <math>X</math> та <math>Y</math>.
Це алгебра Лі [[Загальна лінійна група|загальної лінійної групи]], що складається із невироджених матриць.

=== Спеціальні матриці ===
Двома важливими підалгебрами алгебри <math>\mathfrak{gl}_{n}(\mathbb{F})</math> є:
* Матриці з нульовим [[Слід матриці|слідом]], що утворюють {{нп|Спеціальна лінійна алгебра Лі|спеціальну лінійну алгебру Лі||Special linear Lie algebra}} <math>\mathfrak{sl}_{n}(F)</math> — алгебра [[Загальна лінійна група#Спеціальна лінійна група|спеціальної лінійної групи]] <math>{\rm SL}_n(\mathbb{F})</math>.<ref>{{harvnb|Humphreys|1978|p=2}}</ref>
* [[Косоермітова матриця|Косоермітові]] матриці утворюють унітарну алгебру Лі <math>\mathfrak{u}(n)</math> — алгебра Лі [[Унітарна група|унітарної групи]] <math>U(n)</math>.

=== Матричні алгебри Лі ===
Комплексна [[Лінійна група|матрична група]] — група Лі, яка породжена матрицями <math>G\subset {\rm GL}_{n}(\mathbb{C})</math>, де множення в групі <math>G</math> є множенням матриць.
Відповідна алгебра Лі <math>\mathfrak{g}</math> — це простір матриць, які є дотичними векторами до групи <math>G</math> у лінійному просторі <math>{\rm GL}_n(\mathbb {C})</math>.
Вона утворена похідними від гладких кривих в групі <math>G</math> в одиничному елементі:
:<math>\mathfrak{g}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb{C})\, | \,</math> гладка крива <math>\, c\colon  \mathbb{R} \to G, \, c(0)=I\}.</math>
Дужка Лі алгебри <math>\mathfrak{g}</math> визначається як комутатор матриць, <math>[X,Y]=XY-YX</math>.
Для заданої алгебри Лі можна відновити відповідну групу Лі як образ [[Експонента матриці|матричної експоненти]] <math>\exp\colon {\rm GL}_n(\mathbb{C})\to M_{n}(\mathbb{C})</math>, яка визначається як
<math>\exp(X)=I+X+{\tfrac{1}{2!}}X^{2}+\cdots,</math>
що збігається для кожної матриці <math>X</math>, тобто <math>G=\exp(\mathfrak{g})</math>.

Нижче наведено приклади алгебр Лі матричних груп Лі:<ref>{{harvnb|Hall|2015|loc=§3.4}}</ref>
* [[Загальна лінійна група#Спеціальна лінійна група|Спеціальна лінійна група]] <math>{\rm SL}_n(\mathbb{C})</math>, що складається з усіх <math>n\times n</math> матриць з визначником, який дорівнює 1.
Її алгебра Лі <math>\mathfrak{sl}_{n}(\mathbb{C})</math> складається з усіх <math>n\times n</math> матриць з комплексними елементами і слідом, що рівний 0.
Аналогічно можна визначити відповідну дійсну групу Лі <math>{\rm SL}_n(\mathbb{R})</math> і її алгебру Лі <math>\mathfrak{sl}_{n}(\mathbb{R})</math>.
* [[Унітарна група]] <math>{\rm U}(n)</math> складається з <math>n\times n</math> унітарних матриць, що задовольняє умову <math>U^{*}=U^{-1}</math>. Її алгебра Лі <math>\mathfrak{u}(n)</math> складається з [[Косоермітова матриця|косоермітових]] матриць, <math>X^{*}=-X</math>.
* Спеціальна [[Ортогональна група|ортогональна група]] <math>{\rm SO}(n)</math> утворена дійсними [[Ортогональна матриця|ортогональними]] матрицями з визначником, який дорівнює 1.
Її алгебра Лі <math>\mathfrak{so}(n)</math> складається з дійсних кососиметричних матриць, <math>X^{\rm T}=-X</math>.
Повна ортогональна група <math>{\rm O}(n)</math> без умови рівності визначника 1 складається з групи <math>{\rm SO}(n)</math> і окремої зв'язної компоненти, тому вона має ''ту саму'' алгебру Лі як і група <math>{\rm SO}(n)</math>.
Див. також [[Кососиметрична матриця|інфінітезимальні обертання з кососиметричними матрицями]].
Аналогічно можна визначити версії цієї групи і алгебри над комплексним полем, дозволяючи матричним елементам бути комплексними числами.

=== Розмірність два ===
* Над будь-яким полем <math>\mathbb{F}</math> існує, з точністю до ізоморфізму, єдина двовимірна неабелева алгебра Лі.
Для генераторів <math>x</math>, <math>y</math> їх дужка Лі визначається як <math>[x,y]=y</math>.
Вона породжує {{нп|Афінна група|афінну групу розмірності один||Affine group#Matrix representation}}.

Цю групу можна реалізувати за допомогою матриць:
:<math>x=\left(
\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}
\right),\quad
y=\left(
\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}
\right).</math>
Оскільки
:<math>\left(
\begin{matrix}1&c\\0&0\end{matrix}
\right)^{n+1}=
\left(
\begin{matrix}1&c\\0&0\end{matrix}\right)</math>
для будь-якого натурального числа <math>n</math> і будь-якого числа <math>c</math>, то отримані елементи групи Лі є верхньотрикутними <math>2\times 2</math> матрицями з одиницею внизу діагоналі:
:<math>\exp(a\cdot x+b\cdot y)=\left(
\begin{matrix}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{matrix}\right)=1+{\tfrac {e^{a}-1}{a}}\left(a\cdot x+b\cdot y\right).</math>

=== Розмірність три ===
* {{нп|Алгебра Гейзенберга|Алгебра Гейзенберга||Heisenberg group#Heisenberg algebra}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Heisenberg group#Heisenberg algebra]] перекладена як [[Група Гейзенберга]], хоча хотіли [[Алгебра Гейзенберга]] (SashkoR0B0T)--> <math>\mathfrak{h}_3(\mathbb{R})</math> є тривимірною алгеброю Лі, породженою елементами <math>x</math>,<math>y</math> і <math>z</math> з дужками Лі
:<math>[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0.</math>
Зазвичай, вона реалізується як простір <math>3\times 3</math> строго верхньотрикутних матриць з базисом
:<math>x=\left(
\begin{matrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}
\right),\quad y=\left(
\begin{matrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{matrix}
\right),\quad z=\left(
\begin{matrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}
\right).</math>
Будь-який елемент [[Групи Гейзенберга|групи Гейзенберга]] має  представлення у вигляді добутку групи генераторів, тобто [[Експонента матриці|експонент матриць]] відповідних генераторів алгебри Лі,
:<math>\left(
\begin{matrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{matrix}
\right)=e^{by}e^{cz}e^{ax}.</math>
* Алгебра Лі <math>\mathfrak {so}(3)</math> групи <math>{\rm SO}(3)</math> — лінійна оболонка, що породжена трьома матрицями
:<math>F_{1}=\left(
\begin{matrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{matrix}
\right),\quad F_{2}=\left(
\begin{matrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{matrix}
\right),\quad F_{3}=\left(
\begin{matrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0
\end{matrix}
\right).</math>
Комутаційні відношення для цих генераторів наступні:
:<math>[F_{1},F_{2}]=F_{3},\quad
[F_{2},F_{3}]=F_{1},\quad
[F_{3},F_{1}]=F_{2}.</math>
Тривимірний [[Евклідів простір|евклідів простір]] <math>\mathbb{R}^{3}</math> з дужкою Лі визначається [[Векторний добуток|векторним добутком]] [[Евклідів вектор|векторів]], що має ті самі комутаційні відношення, що й вище.
Таким чином, він ізоморфний алгебрі <math>\mathfrak{so}(3)</math>.
Ця алгебра Лі унітарно еквівалентна звичайним операторам [[Спін|спінових]] компонентів кутового моменту для частинок зі спіном 1 у [[Квантова механіка|квантовій механіці]].

=== Нескінченновимірні алгебри Лі ===
* У [[Диференціальна топологія|диференціальній топології]] виникає важливий клас нескінченновимірних дійсних алгебр Лі.
Простір гладких [[Векторне поле|векторних полів]] на [[Диференційовний многовид|диференційовному многовиді]] <math>M</math> утворює алгебру Лі, де дужка Лі визначається як [[Дужка Лі векторних полів|комутатор векторних полів]].
Один зі способів представлення дужки Лі є використання  [[Похідна Лі|похідних Лі]], який ототожнює векторне поле <math>X</math> з диференціальним оператором першого порядку <math>L_X</math>, що діє на гладкі функції, тобто <math>L_X(f)</math> — похідна від функції <math>f</math> за напрямком <math>X</math>.
Дужка Лі <math>[X,Y]</math> двох векторних полів — це векторне поле, визначене через його дію на функції за формулою
:<math>L_{[X,Y]}f=L_X(L_Yf)-L_Y(L_Xf).</math>
* [[Алгебра Каца — Муді|Алгебри Каца-Муді]] — це великий клас нескінченновимірних алгебр Лі, структура яких дуже схожа на наведені вище скінченновимірні випадки.
* [[Дужка Мояля|Алгебра Мояля]] — це нескінченновимірна алгебра Лі, що включає усі {{нп|Класична алгебра Лі|класичні алгебри Лі||Classical group}} як підалгебри.
* {{нп|Алгебра Вірасора|Алгебра Вірасора||Virasoro algebra}} має першочергове значення в [[Теорія струн|теорії струн]].

== Представлення ==
''Основна стаття: [[Представлення алгебри Лі]].''

=== Означення ===
Для заданого векторного простору <math>V</math> через <math>\mathfrak {gl}(V)</math> позначимо алгебру Лі, що складається з усіх лінійних [[Ендоморфізм|ендоморфізмів]] простору <math>V</math>, з дужкою Лі, визначеною як <math>[X,Y]=XY-YX</math>.
''Представлення'' алгебри Лі <math>\mathfrak {g}</math> на векторному просторі <math>V</math> — це гомоморфізм алгебри Лі
:<math>\pi\colon \ \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V).</math>
Представлення називається ''точним'', якщо його ядро є нульовим.
Відповідно до {{нп|Теорема Адо|теореми Адо||Ado's theorem}}<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|loc=Ch. VI}}</ref> будь-яка скінченновимірна алгебра Лі має точне представлення на скінченновимірному векторному просторі.

=== Приєднане представлення ===
Для будь-якої алгебри Лі <math>\mathfrak {g}</math> можна визначити представлення
:<math>\rm ad\colon \ \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}),</math>
що визначається як <math>{\rm ad}(x)(y)=[x,y]</math>.
Це представлення на векторному просторі <math>\mathfrak{g}</math> називається [[Приєднане представлення алгебр Лі|приєднаним представленням]].

=== Завдання теорії представлень ===
Одним із важливих аспектів дослідження алгебр Лі (особливо для напівпростих алгебр Лі) є вивчення їх представлень.
(Дійсно, більшість книг, представлених у списку літератури нижче, присвячують значну частину своїх сторінок теорії представлень.)
Хоча теорема Адо є важливим результатом, але основне завдання теорії представлень не полягає в тому, щоб отримати точне представлення заданої алгебри Лі <math>\mathfrak{g}</math>.
Дійсно, для напівпростої алгебри Лі приєднане представлення вже є точним.
Тому скоріше завдання полягає в тому, щоб зрозуміти ''всі'' можливі представлення алгебри <math>\mathfrak{g}</math> з точністю до природного поняття еквівалентності.
Згідно {{нп|Теорема Вейля|теореми Вейля||Weyl's theorem on complete reducibility}}<ref>{{harvnb|Hall|2015|loc=Теорема 10.9}}</ref>, будь-яке скінченновимірне представлення напівпростої алгебри над полем характеристики 0 є прямою сумою незвідних представлень (тобто представлень, які не мають нетривіальних інваріантних підпросторів).
У свою чергу, незвідні представлення класифікуються за допомогою [[Представлення алгебри Лі|теореми про найвищу вагу]].

=== Теорія представлень у фізиці ===
Теорія представлень алгебр Лі відіграє важливу роль у різних галузях теоретичної фізики, де розглядаються оператори на просторі станів, які задовольняють певним природним комутаційним співвідношенням.
Ці комутаційні співвідношення зазвичай визначаються симетрією задач, зокрема, вони є співвідношеннями алгебри Лі відповідної групи симетрії.
Прикладом можуть бути [[Оператор кутового моменту|оператори кутового моменту]], комутаційні співвідношення яких відповідають алгебрі Лі <math>\mathfrak{so}(3)</math> [[SO(3)|групи обертань <math>\rm SO(3)</math>]].
Як правило, простір станів дуже далекий від того, щоб бути незвідним відносно відповідних операторів, але можна спробувати розкласти його на незвідні частини.
Для цього необхідно знати незвідні представлення заданої алгебри Лі.
При дослідженні квантового [[Водневоподібний атом|атома водню]], наприклад, підручники квантової механіки дають (не називаючи це так) класифікацію незвідних представлень алгебри Лі <math>\mathfrak{so}(3)</math>.

== Структурна теорія та класифікація ==
Алгебри Лі можна певною мірою класифікувати.
Зокрема, така класифікація використовується при класифікації груп Лі.

=== Абелеві, нільпотентні і розв'язні алгебри Лі ===
Аналогічно абелевим, нільпотентним і розв'язним групам, визначеним у термінах похідних підгруп, можна визначити абелеві, нільпотентні та розв'язні алгебри Лі.

Алгебра Лі <math>\mathfrak{g}</math> називається ''абелевою'', якщо дужка Лі нульова, тобто <math>[x,y]=0</math>, для всіх <math>x</math> і <math>y</math> з алгебри <math>\mathfrak{g}</math>.
Абелеві алгебри Лі відповідають комутативним (або [[Абелева група|абелевим]]) зв'язним групам Лі, таким як векторні простори <math>\mathbb{K}^{n}</math> або [[Тор (геометрія)|тори]] <math>\mathbb{T}^{n}</math>, і всі простори вигляду <math>\mathfrak{k}^{n}</math>, тобто <math>n</math>-вимірні векторні простори з тривіальною дужкою Лі.

Більш загальний клас алгебр Лі визначається зануленням усіх комутаторів заданої довжини.
Алгебра Лі <math>\mathfrak{g}</math> називається ''[[Нільпотентна алгебра Лі|нільпотентною]]'', якщо {{нп|Нижній центральний ряд|нижній центральний ряд||Lower central series}}
:<math>\mathfrak{g}>[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]>[[\mathfrak {g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}]>[[[\mathfrak {g},\mathfrak {g}],\mathfrak{g}],\mathfrak {g}]>\cdots</math>
зрештою стає нульовим.
За [[Теорема Енгеля|теоремою Енгеля]], алгебра Лі нільпотентна тоді й лише тоді, коли для кожного <math>u</math> з алгебри <math>\mathfrak{g}</math> [[Приєднане представлення групи Лі|приєднаний ендоморфізм]]
:<math>{\rm ad}(u)\colon \ \mathfrak{g}\to \mathfrak{g},\quad {\rm ad}(u)v=[u,v]</math>
є нільпотентним.

У більш загальному вигляді, алгебра Лі <math>\mathfrak{g}</math> називається ''[[Розв'язна алгебра Лі|розв'язною]]'', якщо [[Комутант#Похідні ряди|похідний ряд]]
:<math>\mathfrak{g}>[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]>[[\mathfrak {g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]]>[[[\mathfrak {g},\mathfrak {g}],[\mathfrak{g},\mathfrak {g}]],[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak {g}]]]>\cdots</math>
зрештою стає нульовим.

Будь-яка скінченновимірна алгебра Лі має єдиний максимальний розв'язний ідеал, який називається її {{нп|Радикал алгебри Лі|радикалом||Radical of a Lie algebra}}.
З огляду на відповідність між групами і алгебрами Лі, нільпотентні (відповідно розв'язні) зв'язні групи Лі відповідають нільпотентним (відповідно розв'язним) алгебрам Лі.

=== Прості і напівпрості алгебри Лі ===
''Основна стаття: [[Напівпроста алгебра Лі]]''

Алгебра Лі називається "{{нп|Проста алгебра Лі|простою||Simple Lie algebra}}", якщо вона не має нетривіальних ідеалів і не є абелевою.
(З цього випливає, що одновимірна (обов'язково абелева) алгебра Лі за означенням не є простою, навіть якщо вона не має нетривіальних ідеалів.)
Алгебра Лі <math>\mathfrak{g}</math> називається ''[[Напівпроста алгебра Лі|напівпростою]]'', якщо вона ізоморфна прямій сумі простих алгебр.
Існує декілька еквівалентних характеристик напівпростих алгебр, такі як відсутність ненульових розв'язних ідеалів.

Поняття напівпростоти для алгебр Лі тісно пов'язане з повною зведеністю (напівпростотою) їх представлень.
Якщо основне поле <math>\mathbb{F}</math> має нульову [[Характеристика (алгебра)|характеристику]], то будь-яке скінченновимірне представлення напівпростої алгебри Лі є {{нп|Напівпросте представлення|напівпростим||Semisimple representation}} (тобто прямою сумою незведених представлень).
У загальному випадку, алгебру Лі називають [[Редуктивна алгебра Лі|редуктивною]], якщо приєднане представлення є напівпростим.
Таким чином, будь-яка напівпроста алгебра Лі є редуктивною.

=== Критерій Картана ===
{{нп|Критерій Картана|Критерій Картана||Cartan's criterion}} надає умови для того, щоб алгебра Лі була нільпотентною, розв'язною або напівпростою.
Він базується на понятті [[Форма Кіллінга|форми Кіллінга]], тобто [[Білінійна форма#Симетрична білінійна форма|симетричній білінійній формі]] на алгебрі <math>\mathfrak{g}</math>, яка визначається за формулою
:<math>K(u,v)={\rm tr}({\rm ad}(u){\rm ad}(v)),</math>
де <math>{\rm tr}</math> — [[Слід матриці|слід лінійного оператора]].
Алгебра Лі <math>\mathfrak{g}</math> є напівпростою тоді й лише тоді, коли її форма Кіллінга є {{нп|Вироджена білінійна форма|невиродженою||Degenerate bilinear form#Nondegenerate forms}}.
Алгебра Лі <math>\mathfrak{g}</math> розв'язна тоді й лише тоді, коли <math>K(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0</math>.

=== Класифікація ===
Відповідно до {{нп|Розклад Леві|розкладу Леві||Levi decomposition}} довільну алгебру Лі можна представити майже канонічним способом як [[Напівпрямий добуток|напівпряму суму]] її розв'язного радикала та напівпростої алгебри Лі.
(Такий розклад існує для скінченновимірної алгебри Лі над полем характеристики 0.<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|loc=Ch. III, §~9.}}</ref>)
Більш того, напівпрості алгебри Лі над алгебраїчно замкненим полем повністю прокласифіковано з використанням їх [[Система коренів|кореневих систем]].

== Зв'язок із групами Лі==
''Основна стаття: {{нп|Відповідність між групами Лі та алгебрами Лі|Відповідність між групами Лі та алгебрами Лі||Lie group–Lie algebra correspondence}}''

[[Image:Image Tangent-plane.svg|thumb|Дотичний простір до [[Сфера|сфери]] в точці <math>x</math>.
  Якщо <math>x</math> — одиничний елемент, тоді дотичний простір також є алгеброю Лі.]]

Хоча алгебри Лі часто вивчаються самі по собі, історично вони виникли як інструмент дослідження [[Група Лі|груп Лі]].

Нижче коротко розглянемо зв'язок між групами Лі та алгебрами Лі.
Будь-яка група Лі породжує канонічно визначену алгебру Лі (точніше, ''дотичний простір в одиниці'').
І навпаки, для будь-якої скінченновимірної алгебри Лі <math>\mathfrak{g}</math> існує відповідна зв'язна група Лі <math>G</math> з алгеброю Лі <math>\mathfrak{g}</math>.
Цей зв'язок гарантує {{нп|Третя теорема Лі|третя теорема Лі||Lie's third theorem}}; див. {{нп|Формула Бейкера–Кемпбелла–Хаусдорфа|формулу Бейкера–Кемпбелла–Хаусдорфа||Baker–Campbell–Hausdorff formula}}.
Ця група Лі визначається неоднозначно; однак будь-які дві групи Лі з однаковою алгеброю Лі є ''локально ізоморфними'' і, зокрема, мають те ж саме [[Накриття (топологія)|універсальне накриття]].
Наприклад, [[Спеціальна ортогональна група|спеціальна ортогональна група]] [[SO(3)|SO(3)]] і [[Спеціальна унітарна група|спеціальна унітарна група]] [[Спеціальна унітарна група|SU(2)]] породжують ту саму алгебру Лі, яка ізоморфна евклідовому простору <math>\mathbb{R}^{3}</math> з векторним добутком, але група <math>\rm SU(2)</math> є однозв'язним подвійним накриттям для <math>\rm SO(3)</math>.

Однак, якщо розглядати ''однозв'язні'' групи Лі, то отримаємо взаємно однозначну відповідність: для будь-якої (скінченновимірної дійсної) алгебри Лі <math>\mathfrak{g}</math> існує єдина однозв'язна група Лі <math>G</math> з алгеброю Лі <math>\mathfrak{g}</math>.

Відповідність між алгебрами Лі та групами Лі використовується, зокрема, при {{нп|Класифікація груп Лі|класифікації груп Лі||Simple Lie group#List}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Simple Lie group#List]] перекладена як [[Проста група Лі]], хоча хотіли [[Класифікація груп Лі]] (SashkoR0B0T)--> та пов'язаними задачами [[Теорія представлень|теорії представлень]] груп Лі.
За будь-яким представленням алгебри Лі однозначно будується відповідне представлення однозв'язної групи Лі, і навпаки, будь-яке представлення групи Лі індукує представлення алгебри Лі цієї групи; ця відповідність взаємно однозначна.
Отже, знання представлень алгебри Лі розв'язує питання про представлення групи.

Щодо класифікації, можна показати, що будь-яка зв'язана група Лі із заданою алгеброю Лі ізоморфна універсальному накриттю за модулем дискретної центральної підгрупи.
Таким чином, класифікація груп Лі стає просто питанням перебору дискретних підгруп [[Центр групи|центру]], оскільки відома класифікація алгебр Лі (розв'язана [[Елі Жозеф Картан|Картаном]] та іншими у [[Напівпроста алгебра Лі|напівпростому]] випадку).

Якщо алгебра Лі є нескінченновимірною, то проблема є більш витонченою.
У багатьох випадках експоненціальне відображення не є [[Гомеоморфізм|гомеоморфізмом]] навіть локально (наприклад, для <math>{\rm Diff}(\mathbb{S}^1)</math> можна знайти диффеоморфізми, як завгодно близькі до одиниці, які не належать образу відображення <math>\exp</math>).
Більш того, деякі нескінченновимірні алгебри Лі не є алгебрами Лі жодної групи.

== Дійсна форма і комплексифікація ==
Нехай задано {{нп|Комплексна алгебра Лі|комплексну алгебру Лі||Complex Lie algebra}} <math>\mathfrak{g}</math>, дійсна алгебра Лі <math>\mathfrak{g}_{0}</math> називається ''{{нп|Дійсна форма (теорія Лі)|дійсною формою||Real form (Lie theory)}}'' <math>\mathfrak{g}</math>, якщо [[Комплексифікація|комплексифікація]] <math>\mathfrak{g}_{0}\otimes _{\mathbb{R}}\mathbb{C}\simeq \mathfrak{g}</math> є ізоморфною до~<math>\mathfrak{g}</math>.<ref name="Fulton 26">{{harvnb|Fulton|Harris|1991|loc=§26.1.}}</ref>
Дійсна форма не обов'язково повинна бути єдиною; наприклад, <math>\mathfrak{sl}_{2}\mathbb{C}</math> має дві дійсні форми <math>\mathfrak{sl}_{2}\mathbb{R}</math> і <math>\mathfrak{su}_{2}</math>.<ref name="Fulton 26"/>

Нехай задано напівпросту скінченновимірну комплексну алгебру Лі <math>\mathfrak{g}</math>, її ''{{нп|Розщеплена форма|розщеплена форма||Real form (Lie theory)#Split real form}}'' — це дійсна форма, що розщеплюється; тобто має підалгебру Картана, яка діє через приєднане представлення з дійсними власними значеннями.
Розщеплена форма існує і є єдиною (з точністю до ізоморфізмів).<ref name="Fulton 26"/>
''{{нп|Компактна форма|Компактна форма||Real form (Lie theory)#Compact real form}}'' — це дійсна форма, яка є алгеброю Лі компактної групи Лі.
Компактна форма існує і є також єдиною.<ref name="Fulton 26"/>

== Алгебра Лі з додатковими структурами ==
Алгебру Лі можна оснастити деякими додатковими структурами, які, як передбачається, сумісні з дужкою Лі.
Наприклад, {{нп|Градуйована алгебра Лі|градуйована алгебра Лі||Graded Lie algebra}} — це алгебра Лі з градуйованою структурою векторного простору.
Якщо додатково на алгебрі визначено диференціал (так, що базовим градуйованим векторним простором є [[Ланцюговий комплекс|ланцюговий комплекс]]), то її називають {{нп|Диференціальна градуйована алгебра Лі|диференціальною градуйованою алгеброю Лі||Differential graded Lie algebra}}.

{{нп|Симпліційна алгебра Лі|Симпліційна алгебра Лі||Simplicial Lie algebra}} — це {{нп|Симпліційний об'єкт|симпліційний об'єкт||Simplicial set#Simplicial objects}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Simplicial set#Simplicial objects]] перекладена як [[Симпліційна множина]], хоча хотіли [[Симпліційний об'єкт]] (SashkoR0B0T)--> у категорії алгебр Лі; іншими словами, вона отримана шляхом заміни базової множини [[Симпліційна множина|симпліційною множиною]] (тому її краще розглядати як сім'ю алгебр Лі).

== Кільце Лі ==
''Кільце Лі'' виникає як узагальнення алгебр Лі або при вивченні {{нп|нижній центральний ряд|нижнього центрального ряду||Central series#Lower central series}} [[Група (математика)|груп]].
Кільце Лі визначається як {{нп|Неасоціативна алгебра|неасоціативне кільце||Non-associative algebra}} з множенням, яке є [[Антикомутативність|антикомутативним]] і задовольняє [[Тотожність Якобі|тотожність Якобі]].
Точніше кільце Лі <math>L</math> можна визначити як [[Абелева група|абелеву групу]] з операцією <math>[\cdot,\cdot]</math>, що має наступні властивості:
*Білінійність:
::<math> [x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]</math>
:для всіх <math>x,y,z \in L</math>.
*''Тотожність Якобі'':
::<math> [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0</math>
:для всіх <math>x,y,z \in L</math>.
*Для всіх  <math>x \in L</math>:
::<math>[x,x]=0.</math>

Кільця Лі необов'язково є [[Група Лі|групами Лі]] відносно додавання.
Будь-яка алгебра Лі є прикладом кільця Лі.
Будь-яке [[Кільце (алгебра)|асоціативне кільце]] можна перетворити на кільце Лі, визначивши дужку Лі як <math>[x,y]=xy-yx</math>.
І~навпаки, для будь-якої алгебри Лі існує відповідне кільце, яке називається [[Універсальна обгортуюча алгебра|універсальною обгортуючою алгеброю]].

Кільця Лі використовуються при вивченні скінченних [[P-група|<math>p</math>-груп]] за допомогою ''відповідності Лазарда''.
Нижчі центральні фактори <math>p</math>-групи є скінченними абелевими <math>p</math>-групами, а тому і модулями над <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>.
Пряма сума нижніх центральних факторів задається структурою кільця Лі, визначаючи дужку як [[Комутатор (математика)|комутатор]] двох представників класу.
Структура кільця Лі збагачується іншим гомоморфізмом модуля, відображенням <math>p</math>-го степеня, що робить відповідне кільце Лі так званим обмеженим кільцем Лі.

Кільця Лі також корисні для визначення {{нп|P-адичні аналітичні групи|<math>p</math>-адичних аналітичних груп||Pro-p group} та їх ендоморфізмів шляхом дослідження алгебр Лі над кільцями цілих чисел, таких як [[P-адичне число|<math>p</math>-адичні цілі числа]].
Означення скінченних груп типу Лі за Шевалле включає обмеження від алгебри Лі над комплексними числами до алгебри Лі над цілими числами, а потім редукцію за модулем <math>p</math>, щоб отримати алгебру Лі над скінченним полем.

=== Приклади ===
*Будь-яка алгебра Лі над загальним [[Кільце (алгебра)|кільцем]] замість [[Поле (алгебра)|поля]] є прикладом кільця Лі.
Кільця Лі ''не'' є [[Група Лі|групами Лі]] відносно додавання, незважаючи на назву.
*Будь-яке асоціативне кільце можна перетворити на кільце Лі, визначивши дужку Лі як
::<math> [x,y]=xy-yx.</math>
*Розглянемо приклад кільця Лі, що виникає при вивченні [[Група (математика)|груп]].
Нехай <math>G</math> — група з операцією <math>[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy</math> і нехай
::<math> G=G_0 \supseteq G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots \supseteq G_n \supseteq \cdots</math>
є {{нп|Центральні ряди|центральним рядом||Central series}} в групі <math>G</math> — це підгрупа комутаторів <math>[G_i, G_j]</math>, що міститься в <math>G_{i+j}</math> для будь-яких <math>i</math>, <math>j</math>.
Тоді
::<math> L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1}</math>
є кільцем Лі з додаванням з груповою операцією (яка є абелевою в кожній однорідній частині), і дужкою Лі, заданою як
::<math> [xG_i,yG_j]=[x,y]G_{i+j},</math>
яку продовжено лінійно.
Центральність ряду гарантує, що комутатор <math>[x,y]</math> надає дужці Лі відповідні теоретико-ліївські властивості.

== Див. також ==
{{div col|colwidth=28em}}
* [[Приєднане представлення групи Лі#Приєднане представлення алгебр Лі|Приєднане представлення алгебри Лі]]
* {{нп|Афінна алгебра Лі|Афінна алгебра Лі||Affine Lie algebra}}
* {{нп|Аніонна алгебра Лі|Аніонна алгебра Лі||Anyonic Lie algebra}}
* {{нп|Автоморфізм алгебри Лі|Автоморфізм алгебри Лі||Automorphism of a Lie algebra}}
* {{нп|Хіральна алгебра Лі|Хіральна алгебра Лі||Chiral Lie algebra}}
* [[Вільна алгебра Лі]]
* {{нп|Індекс алгебри Лі|Індекс алгебри Лі||Index of a Lie algebra}}
* {{нп|Когомології алгебр Лі|Когомології алгебр Лі||Lie algebra cohomology}}
* {{нп|Розширення алгебри Лі|Розширення алгебри Лі||Lie algebra extension}}
* [[Представлення алгебри Лі]]
* {{нп|Біалгебра Лі|Біалгебра Лі||Lie bialgebra}}
* {{нп|Коалгебра Лі|Коалгебра Лі||Lie coalgebra}}
* {{нп|Операда Лі|Операда Лі||Lie operad}}
* {{нп|Фізика елементарних частинок і теорія представлення|Фізика елементарних частинок і теорія представлення||Particle physics and representation theory}}
* {{нп|Супералгебра Лі|Супералгебра Лі||Lie superalgebra}}
* {{нп|Алгебра Пуассона|Алгебра Пуассона||Poisson algebra}}
* {{нп|Пре-алгебра Лі|Пре-алгебра Лі||Pre-Lie algebra}}
* {{нп|Квантові групи|Квантові групи||Quantum group}}
* [[Дужка Мояля|Алгебра Мояля]]
* {{нп|Фробеніусова квазіалгебра Лі|Фробеніусова квазіалгебра Лі||Quasi-Frobenius Lie algebra}}
* {{нп|Квазіалгебра Лі|Квазіалгебра Лі||Quasi-Lie algebra}}
* {{нп|Обмежена алгебра Лі|Обмежена алгебра Лі||Restricted Lie algebra}}
* {{нп|Співвідношення Серра|Співвідношення Серра||Semisimple Lie algebra#Structure}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Semisimple Lie algebra#Structure]] перекладена як [[Напівпроста алгебра Лі]], хоча хотіли [[Співвідношення Серра]] (SashkoR0B0T)-->
* {{нп|Симетрична алгебра Лі|Симетрична алгебра Лі||Orthogonal symmetric Lie algebra}}
* {{нп|Когомологія Гельфанда–Фукса|Когомологія Гельфанда–Фукса||Gelfand–Fuks cohomology}}
{{div col end}}

== Примітки ==
{{notelist|1}}

== Література ==
{{reflist|25e}}

== Джерела ==
* {{Бурбакі.Групи і алгебри Лі.г1-3}}
* {{Голод.Клімик.Математичні основи теорії симетрії}}
* {{книга
|автор        = [[Лагно Віктор Іванович|Лагно В.І.]]
|назва        = Реалізації алгебр Лі груп локальних перетворень та груповий аналіз нелінійних диференціальних рівнянь
|рік          = 2003
|видавництво  = [[Інститут математики НАН України]]
|місто        = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок     = 347
|посилання    = http://disser.org.ua/file2532.html
}}
* {{cite book |last=Beltiţă|first= Daniel|title=Smooth Homogeneous Structures in Operator Theory|series=CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics|volume=137 |publisher=CRC Press|year= 2006 |isbn=978-1-4200-3480-6|mr=2188389|url=https://books.google.com/books?id=x8NQc-pWbLQC&q=%22Lie+algebra%22}}
* {{Cite journal|last1=Boza|first1=Luis|last2=Fedriani|first2=Eugenio M.|last3=Núñez|first3=Juan|date=2001-06-01|title=A new method for classifying complex filiform Lie algebras|journal=Applied Mathematics and Computation|volume=121|issue=2–3|pages=169–175|doi=10.1016/s0096-3003(99)00270-2|issn=0096-3003}}
* {{cite book |last=Bourbaki|first=Nicolas|author-link=Nicolas Bourbaki|title=Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3|year=1989|isbn=978-3-540-64242-8|publisher=Springer |url=https://books.google.com/books?id=brSYF_rB2ZcC}}
* [[Karin Erdmann|Erdmann, Karin]] & Wildon, Mark. ''Introduction to Lie Algebras'', 1st edition, Springer, 2006. {{isbn|1-84628-040-0}}
* {{Fulton-Harris}}
* {{cite book |last=Hall|first=Brian C.|title=Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666|doi=10.1007/978-3-319-13467-3|issn=0072-5285}}
* {{cite book |last1=Hofmann|first1=Karl H.|last2=Morris|first2=Sidney A|title=The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups|publisher=European Mathematical Society|year=2007|isbn=978-3-03719-032-6}}
* {{cite book |last=Humphreys|first=James E.|author-link=James E. Humphreys|title=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=9|publisher=Springer-Verlag |year=1978|isbn=978-0-387-90053-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoli00jame}}
* {{cite book |last=Jacobson|first=Nathan|author-link=Nathan Jacobson|title=Lie algebras|publisher=Dover|year=1979|isbn=978-0-486-63832-4 |ref={{harvid|Jacobson|1962}}}}
* {{cite book |last1=Kac|first1=Victor G.|author-link1=Victor Kac|display-authors=etal|title=Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras}}
* {{cite journal
 | last1=Mubarakzyanov
 | first1=G.M.
 | title=On solvable Lie algebras
 | journal=Izv. Vys. Ucheb. Zaved. Matematika
 | volume=1
 | issue=32
 | year=1963
 | pages=114–123
 | mr=153714
 | zbl=0166.04104
 | url=http://mi.mathnet.ru/eng/ivm2141
 | language=ru
}}
* {{cite web |last1=O'Connor|first1=J.J|author-link1=John J. O'Connor (mathematician)|last2=Robertson|first2=E.F.|author-link2=Edmund F. Robertson|title=Biography of Sophus Lie|year=2000|publisher=MacTutor History of Mathematics Archive|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Lie.html}}
* {{cite web |last1=O'Connor|first1=J.J|last2=Robertson|first2=E.F.|title=Biography of Wilhelm Killing|year=2005|publisher=MacTutor History of Mathematics Archive|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Killing.html}}
* {{cite journal |last1=Popovych|first1=R.O.|last2=Boyko|first2=V.M.|last3=Nesterenko|first3=M.O.|last4=Lutfullin|first4=M.W.|display-authors=etal|title=Realizations of real low-dimensional Lie algebras|journal=J. Phys. A: Math. Gen.|volume=36|issue=26|year=2003|pages=7337–60|doi=10.1088/0305-4470/36/26/309|arxiv=math-ph/0301029|bibcode=2003JPhA...36.7337P|s2cid=9800361}}
* {{cite book |last=Serre|first= Jean-Pierre|author-link=Jean-Pierre Serre|title=Lie Algebras and Lie Groups|edition=2nd|publisher=Springer|year=2006|isbn=978-3-540-55008-2}}
* {{cite book|last=Steeb|first= Willi-Hans |title=Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra|edition=2nd |publisher= World Scientific |year= 2007|isbn=978-981-270-809-0|mr=2382250|doi=10.1142/6515}}
* {{cite book |last=Varadarajan|first=Veeravalli S.|author-link=Veeravalli S. Varadarajan|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations|edition=1st|publisher=Springer|year=2004|isbn=978-0-387-90969-1}}

== Зовнішні посилання ==
* {{springer|title=Lie algebra|id=p/l058370}}
* {{cite web |last=McKenzie |first=Douglas |year=2015 |url=http://www.liealgebrasintro.com |title=An Elementary Introduction to Lie Algebras for Physicists}}

[[Категорія:Групи Лі|групи Лі]]
[[Категорія:Алгебри Лі|алгебри Лі]]