Перегляд вихідного коду сторінки Відкрите відображення

'''Відкрите відображення''' — [[Функція (математика)|відображення]] одного [[Топологічний простір|топологічного простору]] на інший, при якому [[Образ відображення|образ]] будь-якої [[Відкрита множина|відкритої множини]] є відкритою множиною. У [[Загальна топологія|загальній топології]] відкрите відображення застосовуються при класифікації просторів. 

== Означення ==
Відображення <math>f</math> з топологічного простору <math>X</math> у топологічний простір <math>Y</math> називається '''відкритим''', якщо образ <math>f(U)</math> будь-якої відкритої підмножини <math>U</math> з <math>X</math> є відкритою підмножиною у просторі <math>Y</math>.

Пов'язаним є поняття '''відносно відкритого відображення''', яке іноді теж називають просто відкритими відображеннями. Відображення <math>f</math> з топологічного простору <math>X</math> у топологічний простір <math>Y</math> називається відносно відкритим, якщо образ <math>f(U)</math> будь-якої відкритої підмножини <math>U</math> з <math>X</math> є відкритою підмножиною у ''образі всього простору'' <math>f(X)</math>. 

Очевидно, що відкрите відображення є відносно відкритою але не навпаки. Відображення є відкритим тоді і тільки тоді коли воно є відносно відкритим і <math>f(X)</math> є відкритою підмножиною у просторі <math>Y</math>.

== Властивості ==
* [[Неперервне відображення]] є [[Гомеоморфізм|гомеоморфізмом]] тоді і тільки тоді коли воно є відкритим.
* [[Композиція функцій|Композиція]] відкритих відображень є відкритим відображенням.
* Відображення <math>f \colon \, X \to Y</math> є відкритим тоді і тільки тоді, коли для кожної точки <math>x \in X</math> і кожного [[Окіл|околу]] <math>U</math> точки <math>x</math> в <math>X</math> образ відображення <math>f (U)</math> є околом точки <math>f (x)</math> у просторі <math>Y</math>.
* Відображення є відкритим тоді і тільки тоді коли <math>f(A^\circ) \subseteq f(A)^\circ.</math>
* Категорна сума і добуток відкритих відображень є відкритими відображеннями. 
* Образом простору, що задовольняє [[друга аксіома зліченності|другу аксіому зліченності]] при відкритому неперервному [[сюр'єкція|сюр'єктивному]] відображенні є простір, що теж задовольняє другу аксіому зліченності.
* Образами метричних просторів при неперервних відкритих відображеннях є простори з [[Перша аксіома зліченності|першою аксіомою зліченності]] і тільки вони.
* [[Метризовний простір]], що є образом [[Повний метричний простір|повного метричного простору]] при неперервному відкритому відображенні, є метризовним повною метрикою.
* Якщо [[паракомпактний простір]] є образом повного метричного простору при неперервному відкритому відображенні, то він є метризовним.
* При неперервному відкритому відображенні [[Компактний простір|компактного простору]], якщо [[Прообраз відображення|прообраз]] довільної точки образу є [[Зліченна множина|зліченним]], розмірність образу відображення не перевищує розмірності простору. Натомість кожен компакт є образом деякого одновимірного компакта при неперервному відкритому відображенні з нульвимірними прообразами точок. Тривимірний [[куб]] можна неперервно і відкрито відобразити на куб будь-якої більшої розмірності.

== Приклади ==
* Якщо [[топологічний простір]] <math>Y</math> є [[Дискретний простір|дискретним]], то будь-яке відображення топологічних просторів <math>f: X \to Y</math> є відкритим.
* Проєкція добутку топологічних просторів на множники є відкритими відображеннями.
* Функція <math>f(x) = x^2</math> на [[Дійсна пряма|дійсній прямій]] зі стандартною топологією є неперервною й замкнутою, але не є відкритою. Натомість вона є відносно відкритою.
* Прикладом неперервного відображення, що не є відносно відкритим є відображення, що для деякого ірраціонального числа <math>\alpha</math> задається як <math>f(x)=(e^{2\pi i x},e^{\alpha 2\pi i x}).</math> Його можна розглядати як відображення <math>f \colon \R \to S^1 \times S^1</math>. Образ відображення при цьому не є відкритою підмножиною у <math>S^1 \times S^1</math>.
* Поставимо у відповідність кожній точці [[Одиничне коло|одиничного кола]] її кутовий коефіцієнт. Задане таким чином відображення <math>S^1 \to (0, 2\pi]</math> є замкнутим, відкритим бієктивним відображенням, яке не є неперервним. Іншим прикладом замкнутого й відкритого відображення, що не є неперервним, є ціла частина числа, як відображення з множини дійсних чисел зі стандартною топологією на множину [[Цілі числа|цілих чисел]] із дискретною топологією.
* У [[Функціональний аналіз|функціональному аналізі]] [[Лінійний неперервний оператор|неперервний]] [[Сюр'єкція|сюр'єктивний]] [[лінійний оператор]] між [[Банахів простір|просторами Банаха]] є неперервним відображенням.
* У [[Комплексний аналіз|комплексному аналізі]], згідно  [[Принцип збереження області|принципу збереження області]] [[голоморфна функція]] на [[Зв'язаний простір|зв'язаній]] відкритій підмножині [[Комплексна площина|комплексної площини]] (чи, більш загально, [[Скінченновимірний простір|скінченновимірного]] комплексного [[Векторний простір|векторного простору]]) є відкритим відображенням.
* В [[Диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]] згідно теореми про обернене відображення, що неперервно диференційовна функція між [[Евклідів простір|евклідовими просторами]], [[матриця Якобі]] якої є [[Невироджена матриця|невиродженою]] в даній точці, є відкритим відображенням в деякому [[Окіл|околі]] цієї точки. Узагальнено: якщо відображення <math>f: U \to V</math> між [[Диференційовний многовид|диференційовними многовидами]] є [[Субмерсія|субмерсією]], тобто [[Диференціал (математика)|диференціал]] <math>\operatorname{d}f (x)</math> є сюр'єктивним у кожній точці <math>x \in U</math>, то <math>f</math> є відкритим відображенням.
* Неперервне й локально ін'єктивне відображення між двома ''n''-вимірними [[Многовид|топологічними многовидами]] є відкритим.
* Проєкції у [[локально тривіальне розшарування|локально тривіальних розшаруваннях]] і [[Накриття (топологія)|накриття]] завжди є відкритими відображеннями.
* Відповідно до [[Теорема Брауера про інваріантність областей|теореми про інваріантність відкритих множин]] у [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] <math>\R^n \; (n \in \N)</math> для кожної відкритої підмножини <math>U \subseteq \R^n</math> та кожного [[ін'єктивна функція|ін'єктивного]] неперервного відображення <math>f \colon U \to \R^n</math> образ відображення <math>f(U) \subseteq \R^n</math> є відкритою підмножиною <math>\R^n</math>, а <math>f</math> є гомеоморфізмом між <math>U </math> і <math>f(U),</math> зокрема відкритим відображенням.
* Якщо ''G'' є [[топологічна група|топологічною групою]] і ''H'' її підгрупою то відображення на факторпростір <math>f : G \to G/H</math> є відкритим.

== Див. також ==
* [[Замкнуте відображення]]
* [[Неперервне відображення]] 

== Джерела ==
* {{Бурбакі.Загальна топологія.г1-2}}
* Gaal, Steven A.(2009), ''Point set topology'', New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 {{ref-en}}
* {{cite book|title=General Topology and Homotopy Theory|last=James|first=I. M.|date=1984|publisher=Springer-Verlag|isbn=9781461382836}} {{ref-en}}
* {{cite book|title=Topology|last=Munkres|first=James R.|year=2000|publisher=Prentice Hall|edition=2nd|isbn=0-13-181629-2}} {{ref-en}}
*{{cite book |last=Naber |first=Gregory L. |date=2012 |title=Topological Methods in Euclidean Spaces |publisher= Cambridge University Press|isbn=9780521296328}} {{ref-en}}


[[Категорія:Загальна топологія]]