Перегляд вихідного коду сторінки Додатноозначена матриця

'''Дода́тно ви́значена ма́триця''' — окремий випадок [[ермітова матриця|ермітової матриці]], є аналогом [[додатне число|додатних чисел]], якщо розглядати ермітові матриці як узагальнення [[дійсні числа|дійсних чисел]].

Поняття додатно визначеної матриці тісно пов'язане з поняттям '''дода́тно ви́значеної''' [[квадратична форма|квадратичної форми]].

== Визначення ==
Ермітова матриця <math>M \!</math> є додатно визначеною [[тоді і тільки тоді]], коли вона задовольняє одну з наступних еквівалентних умов:

# <math>\forall x \in \mathbb{C}^n, \; x \ne 0: \;\; x^* M x > 0</math> &nbsp;&nbsp;(для ермітових матриць <math>x^* M x \!</math>&nbsp;— завжди дійсне число).
# Всі [[власне значення матриці|власні значення]] <math>M \!</math> є додатними числами.
# Задовольняє [[критерій Сильвестра]].
# Сесквілінійна форма ([[білінійна форма]] для випадку дійсних чисел)
: <math>\langle \textbf{x,y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}</math>
: задовольняє всім вимогам [[ермітів скалярний добуток|ермітового скалярного добутку]] (простого [[скалярний добуток|скалярного добутку]] для випадку дійсних чисел).

== Невід'ємно визначена і від'ємно визначена матриці ==

* Ермітова матриця <math>M \!</math> називається '''невід'є́мно ви́значеною''' (або іноді '''додатно напіввизначеною'''), якщо
: <math>\forall x \in \mathbb{C}^n: \;\; x^* M x \ge 0</math>
: Всі власні значення невід'ємно визначеної матриці&nbsp;— невід'ємні числа.

* Ермітова матриця <math>M \!</math> називається '''від'є́мно ви́значеною''', якщо
: <math>\forall x \in \mathbb{C}^n, \; x \ne 0: \;\; x^* M x < 0</math>
: Всі власні значення від'ємно визначеної матриці&nbsp;— від'ємні числа.

=== Невизначена ===
Ермітова матриця, яка не є ані додатно визначеною, ані від'ємновизначеною, ані додатно напіввизначеною, ані від'ємно напіввизначеною, називається '''неви́значеною'''. Невизначені матриці також характеризуються тим, що мають як додатні, так і від'ємні власні значення одночасно.

== Властивості ==
* Всі додатньо визначені матриці мають [[повний ранг]], їх [[визначник]] не рівний нулю і для них існує [[обернена матриця]].
* Для будь-якої матриці <math>M \!</math>, матриці <math>MM^*, M^*M \!</math>&nbsp;— будуть невід'ємно визначені та матимуть однакові власні значення.

* Якщо <math>M, N \!</math>&nbsp;— додатньо визначені матриці і <math>r > 0 \!</math>&nbsp;— додатне число, тоді матриці
: <math>rM,\; M+N,\; MNM,\; NMN \!</math>&nbsp;— також є додатньо визначеними матрицями.
: І якщо <math>\ M N = N M</math> (є [[переставні матриці|переставними]]), тоді <math>M N\!</math>&nbsp;— теж є додатньо визначеною.
* Якщо <math>M \!</math>&nbsp;— додатньо визначена матриця, тоді і тільки тоді існує єдина матриця B > 0, що B²=M.
: <math>M > 0 \iff \exist ! \; B > 0: \; B^2=M \!</math>
: Хоча можуть існувати не додатньо визначені матриці B, що виконуватиметься B²=M.

== Див. також ==
* [[Теорія матриць]]
* [[Нормальна матриця]]
* [[Полярний розклад матриці]]

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Ланкастер.Теорія матриць}}

{{Перекласти|en|Positive-definite matrix}}
{{Math-stub}}

[[Категорія:Теорія матриць]]