Перегляд вихідного коду сторінки Комутативність

{{Правила перетворення}}

'''Комутативність''' (''переставний закон'')&nbsp;— властивість [[Бінарна операція|бінарної операції]], яка полягає в тому, що порядок [[операнд]]ів не впливає на результат операції. Бінарна операція <math>*</math> на [[Множина|множині]] <math>S</math> є '''комутативною''', якщо

:<math>x * y = y * x</math>

для всіх <math>x,y\in S</math>. В іншому разі <math>*</math> є '''некомутативною'''. Якщо

: <math>x * y = y * x</math>

для окремої пари елементів <math>x, y</math>, тоді кажуть, що <math>x</math> і <math>y</math> ''комутують''.

Найвідомішими прикладами комутативних бінарних операцій є операції [[додавання]] «+» і [[множення]] «×» [[Дійсне число|дійсних чисел]], наприклад:

* 4 + 5 = 5 + 4 (оскільки обидва [[Вираз (математика)|вирази]] дорівнюють 9)
* 2 × 3 = 3 × 2 (оскільки обидва вирази дорівнюють 6)

Серед некомутативних бінарних операцій: 
* [[віднімання]] <math>a - b</math>,
* [[ділення]] <math>a \div b</math>,
* [[піднесення до степеня]] <math>a^b</math>,
* [[композиція функцій]] <math>f(g(x))</math>,
* [[тетрація]] <math>a \uparrow \uparrow b</math>.

[[Група (математика)|Група]], операція якої є комутативною, називається [[абелева група|абелевою групою]].

[[Кільце (алгебра)|Кільце]] є комутативним, якщо його операція множення є комутативною; додавання є комутативним у будь-якому кільці (за означенням кільця).

== Математичне визначення ==
Термін «комутативність» використовується в декількох пов'язаних значеннях.<ref name="Krowne, p.1">Krowne, p.1</ref><ref>Weisstein, ''Commute'', p.1</ref>

1. Бінарна операція <math>*</math> над [[Множина|множиною]] <math>S</math> називається ''комутативною'' якщо:
:<math>x * y = y * x\qquad\forall x,y\in S</math>

Операція, що не задовольняє вищенаведеній властивості називається ''некомутативною''.

2. Говорять, що <math>x</math> ''комутує'' з <math>y</math> під час виконання <math>*</math>, якщо:
:<math>x * y = y * x</math>

3. Бінарна функція <math>f \colon A \times A \to B</math> називається ''комутативною'' якщо:
:<math>f(x, y) = f(y, x)\qquad\forall x,y\in A</math>

== Приклади ==
=== Комутативні операції в повсякденному житті ===
[[File:Commutative Addition.svg|thumb|Збирання до купи яблук, що можна розглядати як наочний приклад додавання натуральних чисел, є комутативним.]]
Одягання шкарпеток є комутативною операцією, оскільки не важливо яка шкарпетка вдягається першою. Інакше кажучи, результат (вдягнені будуть обидві шкарпетки) залишається однаковим. На противагу, одягання куртки і сорочки не є комутативною.

Комутативність додавання можна спостерігати під час розрахунків у крамниці. У якому порядку б не було впорядковано рахунок, сума завжди буде однаковою.

=== Комутативні операції в математиці ===
[[File:Vector Addition.svg|thumb|Додавання векторів є комутативним, оскільки <math>\vec a+\vec b=\vec b+ \vec a</math>.]]
Два добре відомих приклади комутативних бінарних операцій:<ref name="Krowne, p.1"/>
* [[Додавання]] [[Дійсне число|дійсних чисел]] є комутативним, оскільки
::<math>y + z = z + y \qquad\forall y,z\in \mathbb{R}</math>
:Наприклад 4 + 5 = 5 + 4, оскільки обидва [[Вираз (математика)|вирази]] дорівнюють 9.
* [[Добуток]] [[Дійсне число|дійсних чисел]] є комутативним, оскільки
::<math>y z = z y \qquad\forall y,z\in \mathbb{R}</math>
:Наприклад, 3 × 5 = 5 × 3, оскільки обидва вирази дають результат 15.
* Деякі бінарні {{нп|Функція істинності|функції істинності|en|truth function}} також є комутативними, оскільки [[таблиці істинності]] для функцій будуть однакові навіть у разі зміни порядку операндів.
:Наприклад, функція [[Логічна еквівалентність|логічної еквівалентності]] <math>p \leftrightarrow q</math> є такою самою і для <math>q \leftrightarrow p</math>. Функцію також формулюють як умову «<math>p</math> тоді й лише тоді, коли <math>q</math>», або записують як <math>p \equiv q</math>, або <math>Epq</math>.

Інші приклади комутативних бінарних операцій: додавання і множення [[Комплексне число|комплексних чисел]]; додавання [[векторний простір|векторів]]; [[Перетин множин|перетин]], [[Об'єднання множин|об'єднання]] та [[Симетрична різниця множин|симетрична різниця]] множин.

Важливими некомутативними операціями є множення [[матриця (математика)|матриць]] та [[векторний добуток|векторне множення]].

=== Некомутативні операції в математиці ===
==== Віднімання і ділення ====
[[Віднімання]] є некомутативною операцією, оскільки <math>0 - 1 \neq 1 - 0</math>.

[[Ділення]] є некомутативною операцією, оскільки <math>1 \div 2 \neq 2 \div 1</math>.

==== Функції істиності ====
Деякі функції істинності не є комутативними, оскільки таблиця істинності буде різною, якщо змінювати порядок операндів. Наприклад, таблиця істинності для <math>f(A, B) = A \land \neg B</math> і <math>f(B, A) = B \land \neg A</math> буде такою:
{{aligned table
 | class=wikitable
 | style=text-align:center; width:20%;
 | cols=4
 | col3style=width:30%;
 | col4style=width:30%;
 | row1header=yes
 | <math>A</math> | <math>B</math> | <math>f(A, B)</math> | <math>f(B, A)</math>
 | 0 | 0 | 0 | 0
 | 0 | 1 | 0 | 1
 | 1 | 0 | 1 | 0
 | 1 | 1 | 0 | 0
 }}

==== Множення матриць ====
Операція множення [[Матриця (математика)|матриць]] майже в усіх випадках не є комутативною, наприклад:
:<math>
  \begin{bmatrix}
    0 & 2 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} \cdot
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} \neq
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} \cdot
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
</math>

==== Векторний добуток ====
[[Векторний добуток]] двох векторів тривимірного простору є [[Антикомутативність|антикомутативним]]; тобто <math>b \times a = -(a \times b)</math>.

== Історія і етимологія ==
[[File:Commutative Word Origin.PNG|right|thumb|250px|Перше відоме використання терміну було у французькому журналі, опублікованому в 1814]]

Свідчення про використання властивості комутативності існують ще зі стародавніх часів. У Єгипті використовували властивість комутативності операції [[множення]], аби спростити розрахунок [[Добуток|добутку]].<ref>Lumpkin, p.11</ref><ref>Gay and Shute, p.?</ref> [[Евклід]] у своїй книзі [[Начала Евкліда|''Начала'']] також припустив про наявність властивості комутативності для множення.<ref>O'Conner and Robertson, ''Real Numbers''</ref> Формальне використання властивості комутативності виникло наприкінці 18-го і на початку 19-го століть, коли математики почали роботу над теорією функцій. Сьогодні властивість комутативності є базовою для математики та використовується в багатьох її розділах.

Перше письмове використання терміну ''комутативність'' належить {{нп|Франсуа-Йосип Сервоіс|Франсуа Сервоісу|en|François-Joseph Servois}} в 1814<ref name="ReferenceA">Cabillón and Miller, ''Commutative and Distributive''</ref><ref>O'Conner and Robertson, ''Servois''</ref>, який використав слово ''комутативність'' під час описання функцій, які, як зараз називають, мали властивість комутативності. Слово поєднує в собі французьке слово ''commuter'', що означає «поміняти місцями» та суфікс ''-ative'', що означає «прагнути до», тому дослівно слово означає «прагне до заміни місцями».

== Споріднені властивості ==
=== Асоціативність ===
{{Main|Асоціативність}}

Властивість асоціативності тісно пов'язана з властивістю комутативності. Асоціативна властивість виразу, що містить два або більше операндів, над якими здійснюється однакова операція, говорить те, що порядок виконання операцій у такому разі не змінює кінцевий результат допоки порядок операндів не змінюється. На відміну від цього, властивість комутативності говорить про те, що порядок операцій не впливає на результат.

Більшість комутативних операцій, що зустрічаються на практиці є також часто асоціативними. Однак це не означає, що комутативність передбачає асоціативність. Як контраргумент приведено такий приклад функції

:<math>f(x, y) = \frac{x + y}{2},</math>

яка є комутативною (зміна місцями <math>x</math> і <math>y</math> не призведе до зміни результату), але вона не буде асоціативною (оскільки, для прикладу, <math>f(-4, f(0, +4)) = -1</math>, але <math>f(f(-4, 0), +4) = +1</math>).

=== Дистрибутивність ===
{{Main|Дистрибутивність}}

=== Симетрія ===
[[File:Symmetry Of Addition.svg|right|thumb|200px|Графік, що показує симетрію функції додавання]]
{{Main|Симетрія в математиці}}

Деякі форми симетрії можуть бути безпосередньо пов'язані з комутативністю операцій. Коли комутативний оператор записується як бінарна функція, тоді результівна функція є симетричною вздовж прямої <math>y = x</math>. Наприклад, якщо ми маємо функцію <math>f</math>, що представляє додавання (комутативна операція), то <math>f(x, y) = x + y</math>, і тоді <math>f</math> є симетричною функцією, як видно із зображення праворуч.

== Див. також ==
* [[Антикомутативність]]
* [[Асоціативність]]
* [[Дистрибутивність]]
* [[Комутант]]
* [[Комутатор (математика)]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Вінберг.Курс алгебри}}

[[Категорія:Алгебра]]
[[Категорія:Властивості бінарних операцій]]
[[Категорія:Правила висновування]]