Перегляд вихідного коду сторінки Ланцюговий комплекс

'''Ланцюговий комплекс''' — основне поняття [[Гомологічна алгебра|гомологічної алгебри]].

== Ланцюговий комплекс ==
Ланцюговим комплексом називається послідовність <math>(K_\bullet, \partial_\bullet)</math> [[модуль над кільцем|модулів]] і [[гомоморфізм]]ів
<math>\partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}</math>, що називаються ''граничними операторами'' або ''диференціалами''

: <math>\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots </math>

така що <math>\partial_{n}\partial_{n+1}=0</math>. Елементи <math>K_n</math> називаються n-мірними ''ланцюгами'', елементи [[Ядро (алгебра)|ядра]] <math>Z_n K=Ker \partial_n</math> — n-вимірними ''циклами'', елементи [[Образ (математика)|образа]]  <math>B_n K=Im\partial_{n+1}</math>— n-вимірними ''границями''. З <math>\partial_{n}\partial_{n+1}=0</math> випливає, що <math>B_n K \subset Z_n K</math> (т.зв. [[Напівточна послідовність|напівточність]]). Якщо до того ж <math>B_n K = Z_n K</math>, то такий комплекс називається [[Точна послідовність|точним]].

Ланцюгові комплекси модулів над фіксованим кільцем утворюють [[Категорія (математика)|категорію]] з мофізмами <math>~\varphi_{\bullet}\colon (K_\bullet, \partial^{K}_\bullet)\to (L_\bullet, \partial^{L}_\bullet)</math>, де <math>\varphi_{\bullet}</math> послідовність морфізмів <math>\varphi_{n}\colon K_n \to L_n</math>, така що <math>\varphi_{n}</math> комутує з диференціалом, тобто <math>\partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}</math>.

== Коланцюговий комплекс ==
'''Коланцюговий комплекс''' — поняття, двоїсте ланцюговому комплексу. Він визначається як послідовність модулів <math>(\Omega^{\bullet}, d^{\bullet})</math> і гомоморфізмов <math>d^n\colon \Omega^n \to \Omega^{n+1}</math>, таких що
: <math>d^{n+1} d^n = 0</math>

Коцепной комплекс, як і ланцюговий, є напівточною послідовністю.
: <math>\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d^{n+1}} \ldots</math>

Властивості і поняття, пов'язані з коланцюговими комплексами, двоїсті аналогічним поняттям і властивостям ланцюгових комплексів.

== Гомології і когомології ==

n-вимірна група гомологій <math>H_n</math> ланцюгового комплексу <math>(K_\bullet, \partial_\bullet)</math> є його мірою точності в n-ому члені і визначається як
: <math>H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker} \partial_n / \mathrm{Im}, \partial_{n+1}</math>. Для точного комплексу <math>H_n=0</math>

Аналогічно визначається n-вимірна група когомологій коланцюгового комплексу:
: <math>H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker} d^n / \mathrm{Im}, d^{n-1}</math>

== Приклади ==

=== Симпліційна гомологія ===
{{main|Симпліційна гомологія}}
Нехай маємо [[симпліційний комплекс]] ''K''.

Визначимо ''C''<sub>''n''</sub>(''K'') для [[натуральне число|натурального числа]] ''n'' [[вільна абелева група|вільну абелеву групу]] породжену n-симплексами комплекса ''K'' і граничне відображення:

::<math>\partial_n: C_n(K) \to C_{n-1}(K): \, ([v_0,\ldots,v_n]  \mapsto  \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma([v_0,\ldots, \hat v_i, \ldots, v_n]),</math>
Виконується властивість ∂² = 0, отже <math>(C_\bullet, \partial_\bullet)</math> є ланцюговим комплексом; симпліційна гомологія <math>H_\bullet(X)</math> визначається:

::<math>H_n(X) = \ker \partial_n / \mbox{im } \partial_{n+1}.</math>

=== Когомологія де Рама ===
{{main|Когомологія де Рама}}
[[Диференціальна форма|Диференціальні ''k''-форми]] на будь-якому [[гладкий многовид|гладкому многовиді]] ''M'' утворюють [[векторний простір]], що позначається Ω<sup>''k''</sup>(''M'').
[[Зовнішня похідна]] ''d''<sub>''k''</sub> є відображенням з Ω<sup>''k''</sup>(''M'') в Ω<sup>''k''+1</sup>(''M''), і ''d''<sup> 2</sup> = 0, отже простори ''k''-форм із зовнішньою похідною  утворюють [[коланцюговий комплекс]]:

:<math> \Omega^0(M)\ \stackrel{d_0}{\to}\ \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) \to \Omega^3(M) \to \cdots.</math>

Гомологією цього комплексу є [[когомологія де Рама]]:

:<math>H^k_{\mathrm{DR}}(M) = \ker d_k / \mathrm{im} \, d_{k-1}.</math>

== Гомоморфізми ланцюгових комплексів ==
''Гомоморфізмом ланцюгових комплексів'' <math>(A_\bullet, \delta_\bullet)</math> і <math>(B_\bullet, \gamma_\bullet)</math> називається таке відображення <math>f\colon A_n \to B_n, \forall n\in \N,</math> що наступна діаграма є комутативною:

[[Файл:Complexchainmorph.PNG|350px|center]]

Гомоморфізм ланцюгових комплексів індукує [[Гомоморфізм груп|гомоморфізм]] їх [[Гомологія (математика)|груп гомологій]].

== Ланцюгова гомотопія ==
{{main|Ланцюгова гомотопія}}
''Ланцюгова гомотопія'' <math>D\colon X \to Y</math> між гомоморфізмами комплексів <math>f</math> і <math>g</math> — гомоморфізм ланцюгових комплексів <math>(X_\bullet, \partial_\bullet)</math> і <math>(Y_\bullet, \delta_\bullet)</math> ступеня +1 (тобто <math>D_k \colon X_k \to Y_{k+1}</math>), для якого
: <math>\delta D + D \partial = g - f</math>
: <math>\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \partial_k = g_k - f_k</math>

Для коланцюгових комплексів відповідна [[комутативна діаграма]] має вигляд.

[[Файл:Diagram chain homotopy.svg|450px|center]]

== Див. також ==
* [[Ланцюг (алгебрична топологія)]]

== Література ==
* ''Картан А.'', ''Эйленберг С.'' Гомологическая алгебра, — Москва: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
* ''Маклейн С.'' Гомология, — Москва: Мир, 1966.
* ''Дольд А.'' Лекции по алгебраической топологии, — Москва: Мир, 1976.

[[Категорія:Алгебрична топологія]]
[[Категорія:Гомологічна алгебра]]