Перегляд вихідного коду сторінки Проєкційна матриця

[[Квадратна матриця]] <math>\ P</math> з [[комплексні числа|комплексними]] елементами називається '''проєкційною''', якщо виконується <math>\ P=P^2.</math>

Якщо виконується <math>\ P=P^*P,</math> то матриця <math>\ P</math> називається '''ортогонально-проєкційною'''.

*''Проєкційні матриці'' <math>\ P_1, P_2</math> називаються '''ортогональними''', якщо <math>\ P_1 P_2 = P_2 P_1 = 0.</math>

З точки зору [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]] проєкційні матриці — це [[ідемпотентний елемент|ідемпотентні елементи]] [[кільце (алгебра)|кільця]] квадратних матриць.

==Властивості==
* Кожна ''ортогональна-проєкційна'' матриця є ''проєкційною'' і одночасно [[ермітова матриця|ермітовою]] матрицею, оскільки:
:<math>\ P=P^*P \quad \Rightarrow \quad P^*= (P^*P)^* = P \quad \Rightarrow \quad P=P^2.</math>
* Якщо матриця <math>\ P</math> є ''проєкційною'', то матриці
:<math>\  P^n, \; (I - P)^n, \; P^* \quad \forall n \in \N</math> &nbsp;&nbsp; теж будуть проєкційними.
* Якщо матриця <math>P \!</math> є ''ортогонально-проєкційною'', то матриці
:<math>\ P^n, \; (I - P)^n \quad \forall n \in \N</math> &nbsp;&nbsp; теж будуть ортогонально-проєкційними.
* Якщо матриця <math>P \!</math> є ''ортогонально-проєкційною'', то
:<math>\ \forall x,y:  \quad Px \perp (I - P)y.</math>
* [[Власне значення матриці|Власні значення]] ''проєкційних матриць'' можуть приймати значення тільки +1 та 0, що легко побачити з розкладу матриці по її [[власний вектор|власних векторах]].
* ''Ортогонально-проєкційні'' матриці є [[невід'ємноозначена матриця|невід'ємноозначеними матрицями]].

==Ортогональні проєктори на підпростір==
*Найпростішим випадком ортогональної проєкції є проєкція на лінію [[вектор]]а. Якщо ''u'' є [[одиничний вектор|одиничним вектором]], тоді ''проєктором'' на лінію вздовж вектора буде матриця
:<math>\ P_u = u u^{\top}.</math>

*Довільна прямокутна матриця <math>A \in \Complex^{m \times n}</math> вводить дві ''ортогонально-проєкційні'' матриці:
:<math>P(A) = A^+ A \; \in \Complex^{n \times n}</math> — проєктор в просторі <math>\Complex^n</math> на [[простір векторів-рядків матриці|підпростір векторів-рядків матриці]]<math>\ A,</math>
:<math>P(A^*) = A A^+ \; \in \Complex^{m \times m}</math> — проєктор в просторі <math>\Complex^m</math> на [[простір векторів-стовців матриці |підпростір векторів-стовпців матриці]]<math>\ A.</math>

*Проєктори на [[ортогональне доповнення]] до даних підпросторів, позначаються:
:<math>\ Z(A) =  I_n - P(A),</math>
:<math>\ Z(A^*) = I_m - P(A^*).</math>

Для <math>\ P(A^*), Z(A^*)</math> ще використовують позначення <math>P_A^{\parallel}</math> та  <math>P_A^{\perp}</math> відповідно.
:<math>\ A^+</math> — [[псевдообернена матриця]] до матриці ''A''.

==Приклади==
* [[Одинична матриця]] є проєктивною.
* <math> P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad
 P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}.</math>
* <math> P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad
 P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = P. </math>

==Застосування==
* Застосовується при [[QR розклад матриці|QR розкладі матриці]] в методах: [[Процес Грама — Шмідта]], [[Перетворення Хаусхолдера]].
* Застосовується при [[сингулярний розклад матриці|сингулярному розкладі матриці]].

==Див. також==
* [[Теорія матриць]]
* [[Спектральна теорема]]
* [[Проєкція (математика)|Проєкції]]

==Джерела==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}

{{Лінійна алгебра}}

[[Категорія:Теорія матриць]]