Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Лагранжа (теорія груп)

{{Теорія груп|expanded=Finite}}
'''Теорема Лагранжа''' – твердження в [[теорія груп|теорії груп]] згідно з яким кількість елементів будь-якої [[підгрупа|підгрупи]] скінченної [[Група (алгебра)|групи]] [[подільність|ділить]] кількість елементів самої групи.

Точніше можна записати
:<math>|G| = |G:H| \cdot |H|</math>,
де <math>|G:H|</math> позначає індекс групи <math>G</math> по підгрупі <math>H</math>,тобто кількість [[клас суміжності групи|класів суміжності]] <math>H</math> в <math>G</math>, а <math>|G|</math>, <math>|H|</math> позначають [[порядок групи]] і підгрупи, тобто кількість їх елементів.

== Доведення ==
Нехай <math>G</math> є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності <math>\{gH\colon g \in G\}</math> групи <math>G</math> щодо <math>H</math>. Ця [[множина]] розбиває групу <math>G</math> на <math>n = |G : H|</math> [[Рівнопотужність|рівнопотужних]] множин: <math>g_1H, g_2H, \dots, g_nH</math>.

Тобто
:<math>G = g_1H \cup g_2H \cup \dots \cup g_nH</math>,
і враховуючи відсутність [[перетин множин|перетину]] цих множин:
:<math>|G| = |g_1H| + |g_2H| + \dots + |g_nH|</math>,
і враховуючи їх рівнопотужність з <math>H</math>, остаточно отримуємо
:<math>|G| = |H| + |H| + \dots + |H| = n |H|</math>,
тобто:
:<math>|G| = |G:H| \cdot |H|</math>.

== Наслідки ==
# Кількість правих і лівих суміжних класів будь-якої підгрупи <math>H</math> в <math>G</math> однакова і називається '''індексом підгрупи <math>H</math>''' в <math>G</math> (позначається <math>[G:H]</math>).
# Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи <math>G</math> є дільником порядку <math>G</math>.
# Із того, що [[Порядок елемента групи|порядок елемента]] групи дорівнює порядку [[Циклічна група|циклічної]] підгрупи, яку створює цей елемент, слідує, що порядок будь-якого елемента скінченної групи <math>G</math> є дільником <math>G</math>. Цей наслідок узагальнює [[Теорема Ейлера (теорія чисел)|теорему Ейлера]] і [[Мала теорема Ферма|малу теорему Ферма]] в [[Теорія чисел|теорії чисел]].
# Група порядку <math>p</math>, де <math>p</math> - [[просте число]], циклічна. (Оскільки порядок елемента, відмінного від одиниці, не може дорівнювати <math>1</math>, всі елементи, крім одиниці, мають порядок <math>p</math>, а отже, кожен з них породжує групу.)

== Узагальнення ==
Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення:

нехай <math>G</math> є скінченною групою і маємо <math>K \leqslant H \leqslant G</math>, тоді
:: <math>|G : H| \cdot |H : K| = |G : K|</math>.

=== Доведення ===
З теореми Лагранжа випливає:
:: <math>|G : H| \cdot |H| = |G| = |G : K| \cdot |K|</math> і також
:: <math>|H : K| \cdot |K| = |H|</math>,
: звідки
::<math>|G : H| \cdot |H : K| = \frac{|G|}{|H|} \cdot \frac{|H|}{|K|} = \frac{|G:K| \cdot |K|}{|K|} = |G : K|</math>.

== Джерела ==
=== Українською ===
* {{ref-uk}} {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
=== Іншими мовами ===
* {{Курош.Теорія груп}}
* {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}

[[Категорія:Теореми про скінченні групи|Лагранжа (теорія груп)]]