Перегляд вихідного коду сторінки Ґратка (геометрія)

[[Файл:Lattice_in_R2.svg|міні| Двовимірна ґратка]]
'''Ґратка'''&nbsp;— набір векторів [[Евклідів простір|евклідового простору]] <math>\R^n</math>, який утворює дискретну [[Група (математика)|групу]] за додаванням.

== Пов'язані поняття ==
[[Файл:Lattice-reduction.svg|міні| Два базиси, що задають одну і ту ж ґратку]]
[[Лінійно незалежні вектори|Лінійно незалежна]] система векторів, [[Породжуюча множина групи|що породжує]] ґратку, називається її '''[[Базис (математика)|базисом]]'''. Два набори векторів породжують одну і ту саму <math>n</math>-вимірну ґратку [[тоді й лише тоді]], коли матриці <math>B_1</math> і <math>B_2</math>, складені з вектор-стовпців координат векторів цих наборів, пов'язані домноженням справа на [[Унімодулярна матриця|унімодулярну матрицю]]: <math>B_1=B_2U</math>, <math>U\in\mathrm{GL}_n(\Z)</math>. Тому можна зіставити ґратки найбільшого рангу в <math>n</math>-вимірному просторі [[Словник термінів теорії груп|класам суміжності]] <math>\mathrm{GL}_n(\R)/\mathrm{GL}_n(\Z)</math>{{Sfn|Martinet|2003|с=3}}.

'''Визначником''' ґратки називається визначник матриці, складеної з координат векторів, що породжують її. Він дорівнює об'єму її [[Фундаментальна область|фундаментальної області]], яка є паралелепіпедом, і також називається кооб'ємом ґратки.

'''Нормою''' вектора <math>v</math> в теорії ґраток в евклідовому просторі прийнято називати не довжину вектора, а її квадрат <math>\|v\|^2</math>.

Ґратка <math>\Gamma\subset \R^n</math> називається:

* '''цілою,''' якщо [[скалярний добуток]] між будь-якими двома її векторами цілий:

: <math>
\forall u,v\in\Gamma \quad \langle u,v\rangle \in\Z.
</math>

* '''парною''', якщо норма будь-якого її вектора парна:

: <math>
\forall v\in\Gamma \quad \langle v,v\rangle \in 2\Z.
</math>

* '''[[Унімодулярна ґратка|унімодулярною]]''', якщо її фундаментальний паралелепіпед має об'єм 1.

'''Примітивним''' називається ненульовий вектор ґратки, який не колінеарний жодному коротшому з ненульових векторів цієї ґратки.

Примітивний вектор ґратки, відносно відображення уздовж якого ґратка інваріантна, називається '''коренем''' ґратки. Множина коренів ґратки утворює [[Система коренів|систему коренів]]. Кожна ґратка, породжена своїми коренями, подібна ґратці, породженій векторами з нормами 1 або 2. Така ґратка називається '''ґраткою коренів'''{{Sfn|Martinet|2003|с=131—135}}.

'''Двоїстою''' ґраткою до ґратки <math>\Gamma</math> називається ґратка <math>\Gamma^*</math>, визначена як

: <math>
\Gamma^*= \{u \mid \forall v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in\Z \}.
</math>

Ґратка називається '''самодвоїстою''', якщо вона збігається з двоїстою до себе.

'''{{Якір2|Підґратка}}'''&nbsp;— підгрупа решітки.

Можна визначити об'єкт, аналогічний ґратці, в [[Афінний простір|афінному просторі]]&nbsp;— афінну ґратку; це [[Дія групи|орбіта]] точки афінного простору під дією [[Паралельне перенесення|зсувів]] на вектори ґратки.

У фізиці ґратки в тривимірному просторі, класифіковані за їхніми симетріями, називають [[Ґратка Браве|ґратками Браве]], двоїста ґратка&nbsp;— [[обернена ґратка]], фундаментальний паралелепіпед&nbsp;— (примітивна) [[Примітивна комірка|елементарна комірка]].

[[Граф Келі]] ґратки також називають [[Решітка (теорія графів)|ґраткою]] (нескінченною).

== Властивості ==

* Якщо ґратка <math>\Gamma</math> ціла, то <math>\Gamma\subset \Gamma^*</math> .
* Кооб'єми ґратки і двоїстої до неї в добутку дають 1.
* Ціла унімодулярна ґратка автоматично самодвоїста.
* Парні самодвоїсті ґратки існують тільки в просторах з розмірністю, кратною восьми.
* [[Ізометрія (математика)|Група ізометрій]] ґратки завжди скінченна.

== Приклади ==
* [[Цілочисельна ґратка]], зокрема, [[квадратна ґратка]]
* [[Шестикутна ґратка]]
* [[Ґратка E8]]
* [[Ґратка Ліча]]

== Класи ізометрії і подібності ==
Ґратки, як і інші геометричні об'єкти, нерідко розглядають з точністю до [[Ізометрія (математика)|рухів]] (ізометрій у себе) охоплювального евклідового простору&nbsp;— поворотів навколо початку координат і відображень відносно площин, що проходять через нього. Таке перетворення діє на матрицю, складену з координат базису ґратки, як домноження зліва на [[Ортогональна матриця|ортогональну матрицю]]. Тому класи ізометрій ґраток&nbsp;— [[Відношення еквівалентності|класи еквівалентності]] ґраток відносно ізометрій&nbsp;— можна зіставити двостороннім класам суміжності [[Загальна лінійна група|групи оборотних матриць]]: <math>\mathrm{O}_n(\R)\backslash\mathrm{GL}_n(\R)/\mathrm{GL}_n(\Z)</math>{{Sfn|Martinet|2003|с=20—22}}.

Також у деяких задачах ґратки розглядають з точністю до [[Подібність (геометрія)|подібності]]; на матрицю такі перетворення діють як домноження на елементи <math>\R^*</math> (множини ненульових [[Дійсне число|дійсних чисел]]). Класи подібності ґраток відповідають класам суміжності <math>\R^*\mathrm{O}_n(\R)\backslash\mathrm{GL}_n(\R)/\mathrm{GL}_n(\Z)</math>{{Sfn|Martinet|2003|с=20—22}}.

== Білінійні і квадратичні форми ==
Близьке, «<nowiki/>[[Теорія чисел|теоретико-числове]]<nowiki/>» визначення ґратки&nbsp;— абстрактна [[вільна абелева група]] скінченного рангу (тобто ізоморфна <math>\Z^n</math>) з додатно визначеною симетричною [[Білінійна форма|білінійною формою]] на ній; замість білінійної форми можна задати [[Квадратична форма|квадратичну]]. Щоб це визначення було рівносильним наведеному вище, «геометричному» визначенню ґраток (точніше, їхніх класів ізометрій), потрібно розглядати квадратичні форми з точністю до певного відношення еквівалентності.

Якщо задано ґратку та її базис, то матриця відповідної квадратичної форми&nbsp;— [[Визначник Грама|матриця Грама]] цього базису. Додатно визначену квадратичну форму як [[функціонал]] на <math>\R^n</math> можна задати як <math>v\mapsto\|Av\|^2</math>, <math>A\in\mathrm{GL}_n(\R)</math> (тоді матриця квадратичної форми дорівнює <math>Q=A^\mathrm{T}A</math>), і вона не змінюється, якщо вектор <math>Av</math> перетворити ортогонально, тому додатно визначені квадратичні форми перебувають у взаємно однозначній відповідності з класами суміжності <math>\mathrm{O}_n(\R)\backslash\mathrm{GL}_n(\R)</math>. Якщо вважати еквівалентними форми, матриці яких <math>Q_1</math> і <math>Q_2</math> пов'язані через [[Унімодулярна матриця|унімодулярну матрицю]] <math>U</math> як <math>U^\mathrm{T}Q_1U=Q_2</math>, то класи еквівалентності квадратичних форм виявляються у взаємно однозначній відповідності з класами суміжності <math>\mathrm{O}_n(\R)\backslash\mathrm{GL}_n(\R)/\mathrm{GL}_n(\Z)</math>&nbsp;— і таким чином і з класами ізометрії решіток{{Sfn|Martinet|2003|с=20—22}}.

== На комплексній площині ==
У двовимірному випадку можна ототожнити яка охоплювальний евклідів простір з [[Комплексна площина|комплексною площиною]], а вектори ґратки&nbsp;— з комплексними числами. Якщо додатно орієнтований базис ґратки подано парою комплексних чисел <math>(\omega_1,\omega_2)</math>, то перетворенням подібності можна перейти до ґратки з базисом <math>(1,\omega_2/\omega_1)</math>, після чого зміна базису в ґратці зі збереженням орієнтації буде відповідати [[Дробово-лінійне перетворення|дробово-лінійному перетворенню]] [[Верхня півплощина|верхньої півплощини]] елемента [[Модулярна група|модулярної групи]].

== Застосування ==
З ґратками пов'язані різні геометричні задачі, такі як [[щільне пакування рівних сфер]]. Також на ґратках ґрунтуються коди для [[Виявлення та виправлення помилок|завадостійкого кодування]]. Багато [[Задачі теорії ґраток|задач теорії ґраток]] лежать в основі [[Криптографія на ґратках|криптографії на ґратках]].

== Узагальнення ==
* Якщо пов'язати з вільною абелевою групою білінійну форму, яка не є додатно визначеною, то наслідком буде ґратка у [[Псевдоевклідів простір|псевдоевклідовому просторі]].
* Ґратка максимального рангу <math>\R^n</math> має [[Фундаментальна область|фундаментальну область]] скінченного об'єму. В теорії груп Лі і деяких інших галузях [[Ґратка в групі|ґраткою]] в групі <math>G</math> називають окрему підгрупу, об'єм [[Фактор-простір|фактор-простору]] групи <math>G</math> за якою скінченний, що узагальнює цю властивість.
* З загальнішої алгебричної точки зору, ґратка&nbsp;— це [[Вільний модуль|вільний]] <math>\Z</math>-[[Модуль над кільцем|модуль]], вкладений у [[векторний простір]] над [[Алгебраїчне числове поле|полем]], що міститься в <math>\R</math>. Можна узагальнити це поняття, розглянувши довільний [[скінченнопороджений модуль]] [[Модуль без кручень|без кручення]] над [[Область цілісності|цілісним кільцем]] <math>R</math>, вкладений у векторний простір над [[Поле часток|полем часток]] для <math>R</math><ref>{{Книга
|заголовок = Maximal Orders
|серія = London Mathematical Society Monographs. New Series
|том = 28
|видавництво = [[Oxford University Press]]
|рік = 2003
|ISBN = 0-19-852673-3
|сторінки = 44
|ref = Reiner
|автор = Reiner, I.
|мова = en
}}</ref>.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* [[Джон Конвей|Дж. Конвей]], Н. Слоэн. Упаковки шаров, решётки и группы.&nbsp;— М.: Мир, 1990.
* {{Публікація|назва=Perfect Lattices in Euclidean Spaces|книга|автор=Jacques Martinet|видавництво=Springer|рік=2003|isbn=978-3-642-07921-4}}

[[Категорія:Точки ґратки| ]]
[[Категорія:Дискретні групи]]
[[Категорія:Групи Лі]]
[[Категорія:Аналітична геометрія]]