Перегляд вихідного коду сторінки SO(3)

У [[математика|математиці]] '''SO(3)'''&nbsp;— група обертань навколо фіксованої точки ([[початок координат|початку координат]]) в тривимірному евклідовому просторі. Назва виникла через те, що ця група ізоморфна [[Спеціальна ортогональна група|спеціальній ортогональній групі]] ступеня 3. За визначенням, обертання навколо [[початок координат|початку координат]]&nbsp;— це перетворення, що зберігає початок координат, [[евклідова відстань|евклідову відстань]] (так що це [[ізометрія (математика)|ізометрія]]), і [[орієнтація|орієнтацію]] (тобто, об'єктивність простору). Будь-яке нетривіальне обертання визначається його віссю (лінія, що проходить через початок координат) і кутом. Поєднання двох обертань призводить до іншого обертання; кожне обертання має унікальне [[обернена функція|зворотне обертання]]; і тотожне відображення задовольняє визначенню обертання. Внаслідок зазначених вище властивостей усі обертання утворюють [[Група (математика)|групу]]. Крім того, група обертань має таку природну структуру як [[многовид]], для якого групові операції є [[гладка функція|гладкими]]; так що це насправді [[група Лі]]. Вона [[компактний простір|компактна]] і має розмірність 3.

Обертання це [[лінійне відображення|лінійні перетворення]] '''R'''<sup>3</sup> і, отже, можуть бути представлені [[матриця (математика)|матрицями]], щойно буде обраний [[базис (математика)|базис]] '''R'''<sup>3</sup>. Зокрема, якщо ми виберемо [[ортонормований базис]] з '''R'''<sup>3</sup>, кожне обертання описується [[ортогональна матриця|ортогональною матрицею]] 3х3 (тобто матриця 3х3 з [[Дійсні числа|дійсними]] елементами, які при множенні на транспоновану матрицю, призводять до одиничної матриці) з [[визначник|визначником]] 1. Група '''SO(3)''' визначається групою цих матриць при [[множення матриць|множенні матриць]]. Ці матриці відомі як «спеціальні ортогональні матриці», пояснюючи позначення '''SO(3)'''.

Група '''SO(3)''' застосовується для опису можливої обертальної симетрії об'єкта, а також можливої орієнтації об'єкта в просторі. Його [[представлення групи|представлення]] відіграють важливу роль у фізиці, де вони призводять до виникнення [[елементарна частинка|елементарних частинок]] цілого [[спін]]у.

== Довжина і кут ==
Крім того, що обертання зберігають відстані, обертання також зберігають [[кут]]и між векторами. Це випливає з того, що стандартний [[скалярний добуток]] між двома векторами '''U''' і '''V''' (у [[Евклідів простір|евклідовому просторі]]) можна записати через їх довжину:

<math>u*v=\frac{1}{2}\Bigl(\|u+v\|^2-\|u\|^2-\|v\|^2\Bigr)</math>

Звідси випливає, що будь-яка довжина зберігає перетворення в '''R³''', скалярний добуток, і, отже, кут між векторами. Обертання часто визначають як лінійні перетворення, що зберігають скалярний добуток на '''R³''', що еквівалентно вимозі збереження відстані. Дивись класичну групу для обробки цього більш загального підходу, де '''SO(3)''' виступає як окремий випадок.

== Ортогональна матриця й матриця обертання ==
Кожне обертання відображає ортонормований базис з '''R³''' на інший ортонормований. Як і будь-яке лінійне перетворення [[Скінченновимірний простір|скінченновимірних]] векторних просторів, обертання завжди може бути представлене матрицею. Нехай ''R'' задане обертання. Що стосується стандартного базису '''e<sub>1</sub>''', '''e<sub>2</sub>''', '''e<sub>3</sub>''' з '''R³''' стовпці ''R'' визначаються за формулами (''R'''e<sub>1</sub>''''',''R'''e<sub>2</sub>''''',''R'''e<sub>3</sub>'''''). Оскільки стандартний базис ортонормований, а так як ''R'' зберігає кути і довжину, стовпці ''R'' утворюють інший ортонормований базис. Ця умова ортонормованості може бути виражена у вигляді

<math>R^TR=RR^T=I,</math>

де ''RT'' означає транспонування, ''R'' і ''I'' є одиничною матрицею 3 × 3. Матриці, для яких виконана ця властивість, називаються [[Ортогональна матриця|ортогональними матрицями]]. Група всіх ортогональних матриць 3 × 3 позначається '''O(3)''', і складається з усіх власних і невласних обертань.
Крім збереження довжини, власні обертання повинні також зберегти орієнтацію. Матриця буде зберігати або зворотню орієнтацію в залежності від того яким буде визначник матриці, позитивним або негативним. Для отримання ортогональної матриці ''R'', зауважимо, що det ''R'' <sup>T</sup>= det R має на увазі (det R)² = 1, так що det R = ± 1. Підгрупа ортогональних матриць з визначником +1 називається спеціальною ортогональною групою, позначена як '''SO(3)'''.

Таким чином, кожне обертання може однозначно представлятись ортогональною матрицею з одиничним визначником. Крім того, оскільки композиція обертань відповідає матричному множенню, група обертань ізоморфна спеціальній ортогональній групі '''SO(3)'''.
Невласні обертання відповідають ортогональним матрицям з визначником -1, і вони не утворюють групи, оскільки добуток двох невласних обертань складає правильне обертання.

== Структура групи ==
Група обертань є [[група (математика)|групою]] під [[композиція функцій|композицією функцій]] (що еквівалентно [[множення матриць|добутку лінійних перетворень]]). Це є [[підгрупа|підгрупою]] [[загальна лінійна група|загальної лінійної групи]], що складається з усіх [[невироджена матриця|оборотних]] лінійних перетворень реального координатного простору '''R³'''.

Група обертань неабелева (некомутативна). Тобто, результат двох обертань може відрізнятися залежно від порядку їх виконання. Наприклад, чверть оберту навколо осі X, за яким слідує чверть оберту навколо осі Y являє собою інший поворот, ніж обертання спочатку навколо Y, а потім — навколо X.

Ортогональна група, що складається з усіх власних і невласних обертань, породжується [[Відбиття (геометрія)|дзеркальними відображеннями]]. Кожне правильне обертання є композицією двох дзеркальних відображень, {{прояснити|окремим випадком теореми Картана-Д'єдонне}}.

== Вісь обертання ==
Кожне нетривіальне власне обертання в 3-х вимірах фіксує унікальний 1-мірний [[лінійний підпростір]] R³, який називається ''віссю обертання'' (це [[теорема обертання Ейлера|теорема обертання Ейлера]]). Кожне таке обертання діє як звичайне 2-вимірне обертання в площині, що [[ортогональність|перпендикулярна]] цій осі. Оскільки кожне 2-вимірне обертання може бути задано кутом ф, довільне 3-вимірне обертання може бути задане за допомогою осі обертання разом із кутом обертання навколо цієї осі. (потрібно задати не тільки розташування, а й орієнтацію осі, та визначити напрямок обертання — за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки відносно до заданої орієнтації).

Наприклад, обертання проти годинникової стрілки щодо позитивної осі на кут ф задається

<math>R_z(\phi)=\begin{bmatrix} \ cos\phi & \ -sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>.

З огляду на [[одиничний вектор]] '''n''' в '''R³''' і кут φ, нехай ''R''(φ,'''n''') являє собою обертання проти годинникової стрілки навколо осі через '''n''' (з орієнтацією, визначеною '''n'''). тоді
*''R'' (0, '''n''') є тотожне перетворення для будь-якого '''n'''
*''R'' (φ, '''n''') = ''R''(-φ, -'''n''')
*''R'' (π + φ, '''n''') = ''R''(π - φ, -'''n''').
Використовуючи ці властивості, можна показати, що будь-яке обертання може бути представлене унікальним кутом ф в діапазоні 0 ≤ ф ≤ π і одиничним вектором '''n''', таким, що
*'''n''' довільно, якщо φ = 0
*'''n''' єдино, якщо <nowiki>0 <φ <π</nowiki>
*'''n''' єдина з точністю до знака, якщо ф = π (тобто обертання ''R''(π, ± π) однакові).

== Топологія ==
{{сирий переклад|дата=жовтень 2019}}
Група Лі SO (3) [[дифеоморфізм|дифеоморфний]] [[фактор-простір|дійсний проєктивний простір]] '''RP³'''. Розглянемо тверду кулю в '''R³''' радіуса π (тобто, всі точки '''R³''' на відстані π чи менше від початку координат). З урахуванням вищесказаного, для кожної точки в цій кулі відбувається обертання з віссю, що проходить через точку і початок координат, а також кут повороту, що дорівнює відстані від точки до початку координат. Ідентичне обертання відповідає точці в центрі кулі. Обертання на кути між 0 і -π відповідають точці на тій же осі, і відстані від початку координат проте на протилежному боці від початку координат. Проте питання полягає в тому, що два оберти через π і через -π однакові. Таким чином, ми ототожнюємо (або "склеюємо") діаметрально протилежні точки на поверхні кулі. Після цієї ідентифікації, ми приходимо від [[Гомеоморфізм|гомеоморфного]] [[топологічний простір|топологічного простору]] до групи обертань.

Дійсно, куля з ототожненими діаметрально протилежними точками поверхні є [[Диференційовний многовид|гладким многовидом]], і цей многовид дифеоморфний групі обертань. Він також дифеоморфний дійсному 3-мірному проєктивному простору '''RP³''', так що останній може також служити як топологічна модель для групи обертань.

Ці ототожнення показують, що SO(3) зв'язний, але не [[однозв'язна область|просто зв'язаний]]. Що стосується останнього, в кулі з ототожненими діаметрально протилежними точками поверхні, розглянемо шлях, що йде від «північного полюса» через внутрішню порожнину до південного полюса. Це замкнутий цикл, бо північний полюс і південний полюс ототожнено. Цей цикл не може бути стягнутий в точку, бо незалежно від того, як деформовано контур, початкова та кінцева точки мають залишатися діаметрально протилежними, інакше цикл буде "розкриватись". З точки зору обертань, цей цикл являє собою безперервну послідовність обертань навколо Z-осі і закінчуючи обертанням ідентичності (тобто ряд оберту на кут ф, де φ пробігає від 0 до 2π).

Дивно, але якщо пройти цей шлях двічі, тобто, від північного полюса до південного полюса, а потім назад до північного полюса (враховуючи той факт, що північний і південний полюси ототожнені), а потім знову пройти від північного полюса на південний полюс, так що φ змінюється від 0 до 4 π, утворюється замкнутий контур, який може бути стягнутий у точку: спочатку перемістити шлях безперервно до поверхні кулі, все ще з'єднує північний полюс південний полюс двічі. Друга половина шляху може бути дзеркальною до діаметрально протилежної сторони без зміни траєкторії взагалі. Тепер у нас є звичайний замкнутий контур на поверхні кулі, що приєднує північний полюс до себе по великому колу. Це коло може бути зменшене до Північного полюса без проблем. Балійський трюк з пластиною і подібні трюки демонструють це на практиці.

Той же аргумент може бути виконаний в цілому, і це показує, що [[Фундаментальна група|фундаментальна група]] SO(3) є [[циклічна група|циклічною групою]] порядку 2. У [[фізика|фізиці]] додатків, нетривіальність фундаментальної групи допускає існування об'єктів, відомих як [[спінор]], і є важливим інструментом у розвитку [[теорема Паулі|теореми Паулі]].

Універсальне накриття SO(3) є групою Лі називається [[Спінорна група|Spin(3)]]. Група Spin(3) ізоморфна [[Спеціальна унітарна група|спеціальній унітарній групі]] SU(2); також дифеоморфна до блоку [[3-сфера|3-сфери]] S³ і може бути зрозуміла як група [[Кватерніони і повороти простору|versors]] ([[Кватерніони|кватерніонів]] з [[Модуль (математика)|абсолютним значенням]] 1). Зв'язок між кватерніонами і обертаннями, зазвичай експлуатують в комп'ютерній графіці, пояснюється в [[Кватерніони і повороти простору|кватерніонових і просторових обертаннях]]. Відображення S³ на SO(3), яке ідентифікує діаметрально протилежні точки S³ є [[Сюр'єкція|сюр'єктивним]] [[Гомоморфізм|гомоморфізмом]] груп Лі, з ядром {± 1}. Топологічно, ця карта є два до одного [[Накриття (топологія)|зв’язаного простору]].

== Зв'язок між SO(3) і SU(2) ==
[[Файл:Stereoprojnegone.svg|міні|Стереографічна проєкція зі сфери радіуса 1/2 від північного полюса ( х , у , z ) = (0, 0, 1/2) на площину М задається z = - 1/2 координатизовану по ( ξ , η ) ,як показано в поперечному перерізі.]]
Точки ''P'', за винятком північного полюса N , на сфері S = {( х , у , z ) ∈ ℝ³ : х² + у² + z² = 1/4} можуть бути введені один-до-одного бієкцію з точками '''''S(P)=P''''' на площині ''М'' і визначатись як z=-1/2,що можна побачити на фігурі. Відображення S називається стереографічною проєкцією. Нехай координати на М будуть (ξ,η) . Лінію ''L'' , що проходить через ''N'' і ''P'' можна записати

<math>L=N+t(N-P)=(0,0,1/2)+t((0,0,1/2)-(x,y,z)), t\in \mathbb{R}</math>.

Присвоюємо z-координаті значення 1/2,знаходимо <math>t=\frac{1}{z-\tfrac{1}{2}}</math>, отже

<math>S: S\rightarrow M \rightarrow P';(x,y,z)\mapsto (\xi,\eta)=\left ( \frac{x}{\frac{1}{2}-z},\frac{y}{\frac{1}{2}-z} \right )\equiv\zeta=\xi+i\eta</math>,

де, для подальшої зручності, площина М ототожнюється з комплексною площиною ℂ.

== Алгебра Лі ==  
Пов'язана з кожною групою Лі, алгебра Лі це лінійний простір тієї ж розмірності, що і група Лі, закритий під білінійною змінною продукту званого дужкою Лі. Алгебра Лі SO (3) позначається '''so(3)''' і складається з усіх кососиметричних матриць 3 × 3. Це можна побачити шляхом диференціювання умови ортогональності, ''A''<sup>T</sup>''A'' = ''I'', ''A'' ∈ SO(3). Дужка Лі двох елементів '''so(3)''', як і для алгебри Лі кожної групи матриць, задається матричним комутатором [''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>] = ''A''<sub>1</sub>''A''<sub>2</sub> − ''A''<sub>2</sub>''A''<sub>1</sub>, а це знову-таки кососиметрична матриця. Дужка Лі відображає суть продукту групи Лі в деякому сенсі більш точно за формулою Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа.

Елементи so (3) є "нескінченно малими генераторами" обертань, тобто вони є елементами дотичного простору многовиду '''so'''(3) у одиничного елемента. Якщо R (φ, '''n''') позначає обертання проти годинникової стрілки з кутом φ щодо осі зазначеного одиничного вектора '''n''',

<math>{\operatorname{d}\over\operatorname{d}\phi}| R(\phi,n)x=n\times \mathsf{x} </math>,

для кожного вектора '''x''' в '''R'''<sup>3</sup>. 

== Узагальнення ==
Група обертань цілком природно узагальнюється для ''n''-мірного евклідового простору  '''R'''<sup>''n''</sup> зі стандартною евклідовою структурою. Група всіх власних і невласних обертань в ''n'' вимірах називається ортогональною групою O ( ''n'' ), а підгрупа власних обертань називається [[Спеціальна ортогональна група|спеціальною ортогональною групою]] SO(n), яка є групою Лі розмірності  ''n''( ''n'' - 1 ) / 2.

У спеціальній теорії відносності працюють у 4-вимірному векторному просторі, відомому як [[простір Мінковського]]. На відміну від евклідового простору, простір Мінковського має скалярний добуток невизначеного знаку. Можна визначити узагальнені обертання, що зберігають цей скалярний добуток. Узагальнені обертання відомі як [[перетворення Лоренца]] і група всіх таких перетворень називається [[Група Лоренца|групою Лоренца]].

Група обертань SO(3) може бути описана як підгрупа E(^+) (3) , евклідова група з прямих ізометрій евклідової '''R'''<sup>3</sup> . Ця більша група являє собою групу всіх рухів твердого тіла: кожен з них являє собою комбінацію обертання навколо довільної осі і зсуву вздовж осі, або інакше кажучи, це комбінація елемента з SO(3) і довільного зсуву.

Взагалі, групи обертання об'єкта є групою симетрії всередині групи прямих [[Ізометрія (математика)|ізометрій]]; Іншими словами, перетин повної групи симетрії і групи прямих ізометрій. Для отримання хіральних об'єктів це теж саме, що повна група симетрії.

== Див. також ==
* [[Ортогональна матриця]]
* [[Матриця повороту]]
* [[Формула повороту Родрігеса]]
* [[Кватерніони і повороти простору]]
* [[Ейлерові кути]]

[[Категорія:Групи Лі]]
[[Категорія:Обертання в тривимірному просторі]]