Аномалія (фізика)

Приклади аномалій

Масштабна аномалія

Розглянемо теорію із полями $\ \Phi$, яка дається лагранжіаном $\ L$, що залежить лише від безрозмірних параметрів $\ \alpha$. Прикладом є лагранжіан квантової хромодинаміки із безмасовими кварками. На класичному рівні теорія є інваріантною відносно неперервних перетворень

$\ \Phi (x)\to e^{\sigma \epsilon }\Phi (e^{\epsilon }x)$,

де $\ \sigma$ - канонічна розмірність поля $\ \varphi$ у енергетичних одиницях $\ c=\hbar =1$, яка отримується із канонічного кінетичного члену для $\ \Phi$.

Це призводить, згідно із теоремою Нетер, до існування так званого дилатаційного струму

$\ \theta _{\mu }=x^{\nu }T_{\mu \nu }$,

який зберігається:

$\ \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=0\qquad (1)$

У квантовій теорії, що дається оператором лагранжіану $\ {\hat {L}}({\hat {\Phi }})$, закон збереження $\ (1)$ явним чином порушується. Це відбувається внаслідок необхідності регуляризації нескінченностей у квантовій теорії. А саме, будь-яка регуляризація завжди супроводжується введенням фіктивного розмірного параметру масштабу $\ \mu$, від якого починає залежати константа зв'язку $\ \alpha$. У результаті закон збереження $\ (1)$ порушується. Зокрема, у безмасовій квантовій хромодинаміці він має вигляд

$\ \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=-{\frac {\beta (g)}{2g_{s}}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }$,

де $\ G_{\mu \nu }^{a}$ - тензор напруженості глюонного поля, $\ \beta (g)={\frac {dg}{d{\text{ln}}(\mu )}}$ - бета-функція КХД. Таким чином, масштабна симетрія порушується на квантовому рівні. Це називається масштабною аномалією.

Кіральна аномалія

Розглянемо теорію безмасових ферміонів $\ \psi$, що взаємодіють із калібрувальним полем $\ A_{\mu }$, яка дається лагранжіаном $\ L=L(\Psi ,A_{\mu })$ (наприклад, квантова електродинаміка із безмасовим електроном). На класичному рівні лагранжіан є інваріантним відносно глобального кірального перетворення

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ \psi \to e^{i\gamma_{5}\alpha}\psi \qquad (2)} ,

де $\ \gamma _{5}=i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$ - кіральна матриця, $\ \gamma _{\mu },\mu =0,3$ - матриці Дірака, $\ \alpha$ - у загальному випадку матриця представлення кіральної симетрії, якому належить $\ \psi$.

Відповідний нетерівський струм має вигляд

$\ J_{5}^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\psi ,\quad \partial _{\mu }J_{5}^{\mu }=0\qquad (3)$

У квантовій теорії поля ми маємо справу із регуляризацією. Стоїть питання: чи можна знайти такий тип регуляризації, який зберігає симетрію відносно перетворення $\ (2)$? Виявляється, що такої регуляризації не існує. Зокрема, регуляризація Паулі-Вілларса явно вводить масові параметри, які порушують кіральну симетрію, у той час як розмірнісна регуляризація, яка заснована на формальній зміні розмірності простору-часу з чотирьох до $\ d$, модифікує антикомутатор $\ [\gamma _{5},\gamma _{\mu }]_{+}=4-d$ (який є точно нульовим, що знову ж таки порушує симетрію лагранжіану відносно кірального перетворення. У результаті закон збереження $\ (3)$ модифіковується як

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ \partial_{\mu}J^{\mu}_{5} = \frac{\alpha}{8 \pi}F_{\mu \nu}\tilde{F}^{\mu \nu} \qquad (4)} ,

де $\ \alpha ={\frac {g^{2}}{4\pi }}$, $\ F_{\mu \nu }$ - тензор напруженості поля $\ A_{\mu }$, $\ {\tilde {F}}_{\mu \nu }\equiv {\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }$ - дуальний тензор напруженості.

Рівняння $\ (4)$ є рівнянням кіральної аномалії.

Калібрувальна аномалія

Розглянемо більш загальну теорію, що містить ферміони, які знаходяться у кіральному представленні деякої калібрувальної групи $\ G$. Прикладом є Стандартна модель, у якій є кіральна електрослабка підгрупа симетрії $\ {\text{SU}}_{L}(2)$. Розглянемо квантовий корелятор

$\ \Gamma _{\mu \nu \rho }^{abc}(x,y,z)\equiv \langle 0|{\text{T}}\left(J_{\mu }^{a}(x)J_{\nu }^{b}(y)J_{\rho }^{c}(z)\right)|0\rangle \qquad (5)$,

де $\ J_{\mu }^{a}$ - струм, що зберігається,

$\ J_{\mu }^{a}=-i{\bar {\Psi }}T_{a}\gamma _{\mu }\Psi$,

$\ \Psi$ - стовпчик, що об'єднує усі ліві ферміонні поля теорії, $\ T_{a}$ - генератор симетрії.

Похідна $\ {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}$ від цього корелятора виражає квантовий закон збереження струму $\ J_{\mu }^{a}(x)$. Аномалія міститься у тій частині корелятора $\ (5)$, що пропорційна величині

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ d_{abc} \equiv \text{Tr}[[T_{a}, T_{b}]_{+}T_{c}] \qquad (6)}

($\ []_{+}$ позначає антикомутатор).

Якщо для представлення даної калібрувальної групи $\ G$, якій відповідають струми Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ J_{a, b, c}} , величина $\ (6)$ не дорівнює нулю, то ці струми не зберігаються:

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ \partial_{\mu}J^{\mu}_{a} = -\frac{1}{32 \pi^{2}}D_{abc}F^{b}_{\mu \nu}\tilde{F}^{\mu \nu}_{c} \qquad (8)}

Рівняння $\ (8)$ є рівнянням квантової калібрувальної аномалії.

Оскільки калібрувальний струм тепер не зберігається, то калібрувальна інваріантність теорії являється порушеною. Це призводить до порушення унітарності теорії, тому будь-яка теорія, яка описує набір ймовірностей фізичних процесів, має бути вільною від аномалій.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Калібрувальна аномалія

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$