Аномалія (фізика)

Регуляризація як причина порушення симетрій у квантовій теорії поля

Симетрії

Симетрія - деяке перетворення простору (координатного чи фазового), яке залишає незмінними спостережувані величини. Зокрема, у лагранжевому формалізмі класичної фізики симетрія визначається як перетворення полів та координат, яке залишає дію (інтеграл від функції Лагранжа) незмінною.

Неперервні симетрії (наприклад, повороти у тривимірному просторі) у теорії мають наслідком, відповідно до теореми Нетер, закони збереження струмів. Зокрема, симетрія теорії відносно зсуву часової координати має наслідком закон збереження енергії, просторової - імпульсу, і т.д. Існують також менш очевидні симетрії, зокрема - локальні (що залежать від просторово-часових координат) фазові перетворення, що відповідають закону збереження електричного заряду. У лоренц-інваріантному вигляді цей закон виражається у термінах 4-струму $\ J_{\mu }$ як

$\ \partial _{\mu }J^{\mu }=0$.

Аномалії

Розглянемо калібрувально-інваріантну теорію взаємодії зарядженого поля $\ \Phi$ довільної природи (скалярного, векторного, спінорного тощо) із електромагнітним полем. В силу лоренц-інваріантності лагранжіан завжди буде містити принаймні білінійні функції $\ \Phi ^{\dagger }(x)\Phi (x)$ полів (див. наприклад, випадок скалярного поля). Відповідно, і струми $\ J_{\mu }$ є білінійними функціями полів.

Наївна квантова теорія може бути отримана із класичної шляхом відповідності $\ \Phi \to {\hat {\Phi }}$, $\ A_{\mu }\to {\hat {A}}_{\mu }$, тобто, поля стають операторами; відповідно, $\ J_{\mu }\to {\hat {J}}_{\mu }$, і наївний квантовий закон збереження струму має вигляд

$\ \partial _{\mu }{\hat {J}}^{\mu }=0\qquad (1)$

Така проста картина може порушуватись внаслідок відсутності перестановності полів $\ {\hat {\Phi }}$. А саме, у залежності від того, являється поле $\ \Phi$ бозонним чи ферміонним, для операторів $\ {\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}$ народження та знищення, лінійною комбінацією яких є поле $\ {\hat {\Phi }}$ є справедливим комутаційне співвідношення типу

$\ {\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {p} {'})\mp {\hat {a}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {p} {'}){\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} )=\hbar \delta _{\sigma \sigma {'}}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} {'})$.

Це означає, що поля не є перестановними; зокрема, для спінорного поля, що представляє частинки типу електронів,

$\ {\hat {\Psi }}_{m}^{\dagger }(\mathbf {r} ,t){\hat {\Psi }}_{m'}(\mathbf {r} ',t)+{\hat {\Psi }}_{m'}(\mathbf {r} ',t){\hat {\Psi }}_{m}^{\dagger }(\mathbf {r} ,t)=\hbar \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} {'})$.

Внаслідок цього будь-яка білінійна функція квантових полів є погано визначеною (формально містять нескінченну частину), а отже, погано визначеними стають і заряди. У квантовій теорії поля існує формальна процедура, яка довизначає величини типу білінійних форм так, щоб вони були добре визначеними. Вона включає в себе регуляризацію та перенормування основних величин теорії - (для перенормовних теорій - полів, зарядів та мас). Проте у загальному випадку довільна регуляризація може зруйнувати закон збереження $\ (0)$ струму, оскільки вона модифіковує дію так, що втрачається властивість інваріантності відносно перетворення симетрії. Якщо регуляризація, що зберігає дану симетрію, не може бути знайдена - відповідно, струм $\ {\hat {J}}$ не зберігається:

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ \partial_{\mu}\hat{J}^{\mu \text{...}} = \hat{F}^{\text{...}} \neq 0 \qquad (2)} ,

кажуть, що симетрія є аномальною. Рівняння $\ (2)$ називається аномальним законом збереження струму $\ {\hat {J}}^{\mu {\text{...}}}$, а функція $\ {\hat {F}}$ - аномальною функцією.

Аномалія у різних підходах квантової теорії поля

Існує декілька підходів до квантової теорії поля. Історично першим був підхід, заснований на концепції моря Дірака. За ним слідував операторний підхід, а за ним — підхід континуального інтегралу. Аномалія, звісно, може бути описана у кожному із цих підходів.

Зокрема, кіральна аномалія у морі Дірака виникає внаслідок розщеплення рівнів Фермі для безмасових ліво-кіральних та право-кіральних ферміонів при включенні зовнішнього поля, внаслідок чого густина станів для лівих та правих ферміонів моря Дірака змінюється по-різному. Море Дірака еквівалентне вторинному квантуванню, що є основою операторного підходу; у операторному підході кіральна аномалія виникає внаслідок відсутності кірально-інваріантної регуляризації. Нарешті, гайзенбергівські функції Гріна у операторному підході еквівалентні континуальному інтегралу; у підході континуального інтегралу аномалія виникає внаслідок неінваріантності міри інтегрування внаслідок кірального перетворення.

Приклади аномалій

Масштабна аномалія

Розглянемо теорію із полями $\ \Phi$, яка дається лагранжіаном $\ L$, що залежить лише від безрозмірних параметрів $\ \alpha$. Прикладом є лагранжіан квантової хромодинаміки із безмасовими кварками. На класичному рівні теорія є інваріантною відносно неперервних перетворень

$\ \Phi (x)\to e^{\sigma \epsilon }\Phi (e^{\epsilon }x)$,

де $\ \sigma$ — канонічна розмірність поля $\ \varphi$ у енергетичних одиницях $\ c=\hbar =1$, яка отримується із канонічного кінетичного члену для $\ \Phi$.

Це призводить, згідно із теоремою Нетер, до існування так званого дилатаційного струму

$\ \theta _{\mu }=x^{\nu }T_{\mu \nu }$,

який зберігається:

$\ \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=0\qquad (3)$

У квантовій теорії, що дається оператором лагранжіану $\ {\hat {L}}({\hat {\Phi }})$, закон збереження $\ (3)$ явним чином порушується. Це відбувається внаслідок необхідності регуляризації нескінченностей у квантовій теорії. А саме, будь-яка регуляризація завжди супроводжується введенням фіктивного розмірного параметру масштабу $\ \mu$, від якого починає залежати константа зв'язку $\ \alpha$. У результаті закон збереження $\ (3)$ порушується. Зокрема, у безмасовій квантовій хромодинаміці він має вигляд

$\ \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=-{\frac {\beta (g)}{2g_{s}}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }$,

де $\ G_{\mu \nu }^{a}$ — тензор напруженості глюонного поля, $\ \beta (g)={\frac {dg}{d{\text{ln}}(\mu )}}$ — бета-функція КХД. Таким чином, масштабна симетрія порушується на квантовому рівні. Це називається масштабною аномалією.

Кіральна аномалія

Розглянемо теорію безмасових ферміонів $\ \psi$, що взаємодіють із калібрувальним полем $\ A_{\mu }$, яка дається лагранжіаном $\ L=L(\Psi ,A_{\mu })$ (наприклад, квантова електродинаміка із безмасовим електроном). На класичному рівні лагранжіан є інваріантним відносно глобального кірального перетворення

$\ \psi \to e^{i\gamma _{5}\alpha }\psi \qquad (4)$,

де $\ \gamma _{5}=i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$ — кіральна матриця, $\ \gamma _{\mu },\mu =0,3$ — матриці Дірака, $\ \alpha$ — у загальному випадку матриця представлення кіральної симетрії, якому належить $\ \psi$.

Відповідний нетерівський струм має вигляд

$\ J_{5}^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\psi ,\quad \partial _{\mu }J_{5}^{\mu }=0\qquad (5)$

У квантовій теорії поля ми маємо справу із регуляризацією. Стоїть питання: чи можна знайти такий тип регуляризації, який зберігає симетрію відносно перетворення $\ (4)$? Виявляється, що такої регуляризації не існує. Зокрема, регуляризація Паулі-Вілларса явно вводить масові параметри, які порушують кіральну симетрію, у той час як розмірнісна регуляризація, яка заснована на формальній зміні розмірності простору-часу з чотирьох до $\ d$, модифікує антикомутатор $\ [\gamma _{5},\gamma _{\mu }]_{+}=4-d$ (який є точно нульовим, що знову ж таки порушує симетрію лагранжіану відносно кірального перетворення. У результаті закон збереження $\ (5)$ модифіковується як

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ \partial_{\mu}J^{\mu}_{5} = \frac{\alpha}{8 \pi}F_{\mu \nu}\tilde{F}^{\mu \nu} \qquad (6)} ,

де $\ \alpha ={\frac {g^{2}}{4\pi }}$, $\ F_{\mu \nu }$ — тензор напруженості поля $\ A_{\mu }$, $\ {\tilde {F}}_{\mu \nu }\equiv {\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }$ — дуальний тензор напруженості.

Рівняння $\ (6)$ є рівнянням кіральної аномалії.

Калібрувальна аномалія

Розглянемо більш загальну теорію, що містить ферміони, які знаходяться у кіральному представленні деякої калібрувальної групи $\ G$. Прикладом є Стандартна модель, у якій є кіральна електрослабка підгрупа симетрії $\ {\text{SU}}_{L}(2)$. Розглянемо квантовий корелятор

$\ \Gamma _{\mu \nu \rho }^{abc}(x,y,z)\equiv \langle 0|{\text{T}}\left(J_{\mu }^{a}(x)J_{\nu }^{b}(y)J_{\rho }^{c}(z)\right)|0\rangle \qquad (7)$,

де $\ J_{\mu }^{a}$ — струм, що зберігається,

$\ J_{\mu }^{a}=-i{\bar {\Psi }}T_{a}\gamma _{\mu }\Psi$,

$\ \Psi$ — стовпчик, що об'єднує усі ліві ферміонні поля теорії, $\ T_{a}$ — генератор симетрії.

Похідна $\ {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}$ від цього корелятора виражає квантовий закон збереження струму $\ J_{\mu }^{a}(x)$. Аномалія міститься у тій частині корелятора $\ (7)$, що пропорційна величині

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ d_{abc} \equiv \text{Tr}[[T_{a}, T_{b}]_{+}T_{c}] \qquad (8)}

($\ []_{+}$ позначає антикомутатор).

Якщо для представлення даної калібрувальної групи $\ G$, якій відповідають струми $\ J_{a,b,c}$, величина $\ (8)$ не дорівнює нулю, то ці струми не зберігаються:

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ \partial_{\mu}J^{\mu}_{a} = -\frac{1}{32 \pi^{2}}D_{abc}F^{b}_{\mu \nu}\tilde{F}^{\mu \nu}_{c} \qquad (9)}

Рівняння $\ (9)$ є рівнянням квантової калібрувальної аномалії.

Оскільки калібрувальний струм тепер не зберігається, то калібрувальна інваріантність теорії являється порушеною. Це призводить до порушення унітарності теорії, тому будь-яка теорія, яка описує набір ймовірностей фізичних процесів, має бути вільною від аномалій.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$