Образ відображення

Нехай f:X→Y - відображення множини X в множину Y.

Образом відображення (чи областю значень функції) f називається множина всіх елементів виду f(x)∈Y, тобто:

im f = {f(x)| x∈X} = f(X)      (очевидно, що f(X)⊂Y).

Точно так образом елемента або значенням відображення в точці x ∈ X при відображенні f називається такий елемент y ∈ Y, що y = f(x).

Образом підмножини А⊂X при відображенні f називається така підмножина B⊂Y, що B = {f(x)| x∈A} = f(A).

---

Прообразом елемента y∈Y називається множина всіх елементів виду f^-1(y)∈X, де f^-1(y) = {x∈X| f(x)=у}.

Прообразом підмножини B⊂Y називається множина виду f^-1(B) = {x∈X| f(x)∈B}.

Не слід плутати f^-1 з оберненим відображенням для бієктивного відображення.

Приклади

1. f: {1,2,3} → {a,b,c,d} визначена як $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\d,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.$

В цьому випадку, образом множини {2,3} при відображенні f є f({2, 3}) = {c, d}, і областю значень f є {a, c, d}. Прообразом множини {a, b} є f ⁻¹({a, b}) = {1}.

2. f: R → R визначена як f(x)=x².

В цьому прикладі, образом [-2,3] для відображення f є f([-2,3])=[0,9] і областю значень f є множина невід'ємних дійсних чисел. Прообразом [0,9] для f є f ⁻¹([0,9])=[-3,3].

Властивості

З наведених визначень безпосередньо випливають такі властивості образів та прообразів для будь-яких A, A₁, A₂ з X та B, B₁, B₂ з Y:

• $f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$
• $f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$

• $f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$
• $f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})\!$

• $f(f^{-1}(B))\subseteq B$
• $f^{-1}(f(A))\supseteq A$

• $A_{1}\subseteq A_{2}\to f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$
• $B_{1}\subseteq B_{2}\to f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$

Див. також

• Образ та прообраз відповідності між множинами

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)