Аномалія (фізика)

Регуляризація як причина порушення симетрій у квантовій теорії поля

Симетрії

Симетрія - деяке перетворення простору (координатного чи фазового), яке залишає незмінними спостережувані величини. Зокрема, у лагранжевому формалізмі класичної фізики симетрія визначається як перетворення полів та координат, яке залишає дію (інтеграл від функції Лагранжа) незмінною.

Неперервні симетрії (наприклад, повороти у тривимірному просторі) у теорії мають наслідком, відповідно до теореми Нетер, закони збереження струмів. Зокрема, симетрія теорії відносно зсуву часової координати має наслідком закон збереження енергії, просторової - імпульсу, і т.д. Існують також менш очевидні симетрії, зокрема - локальні (що залежать від просторово-часових координат) фазові перетворення, що відповідають закону збереження електричного заряду. У лоренц-інваріантному вигляді цей закон виражається у термінах 4-струму $\ J_{\mu }$ як

$\ \partial _{\mu }J^{\mu }=0$.

Розглянемо калібрувально-інваріантну теорію взаємодії зарядженого поля $\ \Phi$ довільної природи (скалярного, векторного, спінорного тощо) із електромагнітним полем. В силу лоренц-інваріантності лагранжіан завжди буде містити принаймні білінійні функції полів $\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Аномалія у різних підходах квантової теорії поля

Існує декілька підходів до квантової теорії поля. Історично першим був підхід, заснований на концепції моря Дірака. За ним слідував операторний підхід, а за ним — підхід континуального інтегралу. Аномалія, звісно, може бути описана у кожному із цих підходів.

Зокрема, кіральна аномалія у морі Дірака виникає внаслідок розщеплення рівнів Фермі для безмасових ліво-кіральних та право-кіральних ферміонів при включенні зовнішнього поля, внаслідок чого густина станів для лівих та правих ферміонів моря Дірака змінюється по-різному. Море Дірака еквівалентне вторинному квантуванню, що є основою операторного підходу; у операторному підході кіральна аномалія виникає внаслідок відсутності кірально-інваріантної регуляризації. Нарешті, гайзенбергівські функції Гріна у операторному підході еквівалентні континуальному інтегралу; у підході континуального інтегралу аномалія виникає внаслідок неінваріантності міри інтегрування внаслідок кірального перетворення.

Приклади аномалій

Масштабна аномалія

Розглянемо теорію із полями $\ \Phi$, яка дається лагранжіаном $\ L$, що залежить лише від безрозмірних параметрів $\ \alpha$. Прикладом є лагранжіан квантової хромодинаміки із безмасовими кварками. На класичному рівні теорія є інваріантною відносно неперервних перетворень

$\ \Phi (x)\to e^{\sigma \epsilon }\Phi (e^{\epsilon }x)$,

де $\ \sigma$ — канонічна розмірність поля $\ \varphi$ у енергетичних одиницях $\ c=\hbar =1$, яка отримується із канонічного кінетичного члену для $\ \Phi$.

Це призводить, згідно із теоремою Нетер, до існування так званого дилатаційного струму

$\ \theta _{\mu }=x^{\nu }T_{\mu \nu }$,

який зберігається:

$\ \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=0\qquad (1)$

У квантовій теорії, що дається оператором лагранжіану $\ {\hat {L}}({\hat {\Phi }})$, закон збереження $\ (1)$ явним чином порушується. Це відбувається внаслідок необхідності регуляризації нескінченностей у квантовій теорії. А саме, будь-яка регуляризація завжди супроводжується введенням фіктивного розмірного параметру масштабу $\ \mu$, від якого починає залежати константа зв'язку $\ \alpha$. У результаті закон збереження $\ (1)$ порушується. Зокрема, у безмасовій квантовій хромодинаміці він має вигляд

$\ \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=-{\frac {\beta (g)}{2g_{s}}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }$,

де $\ G_{\mu \nu }^{a}$ — тензор напруженості глюонного поля, $\ \beta (g)={\frac {dg}{d{\text{ln}}(\mu )}}$ — бета-функція КХД. Таким чином, масштабна симетрія порушується на квантовому рівні. Це називається масштабною аномалією.

Кіральна аномалія

Розглянемо теорію безмасових ферміонів $\ \psi$, що взаємодіють із калібрувальним полем $\ A_{\mu }$, яка дається лагранжіаном $\ L=L(\Psi ,A_{\mu })$ (наприклад, квантова електродинаміка із безмасовим електроном). На класичному рівні лагранжіан є інваріантним відносно глобального кірального перетворення

$\ \psi \to e^{i\gamma _{5}\alpha }\psi \qquad (2)$,

де $\ \gamma _{5}=i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$ — кіральна матриця, $\ \gamma _{\mu },\mu =0,3$ — матриці Дірака, $\ \alpha$ — у загальному випадку матриця представлення кіральної симетрії, якому належить $\ \psi$.

Відповідний нетерівський струм має вигляд

$\ J_{5}^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\psi ,\quad \partial _{\mu }J_{5}^{\mu }=0\qquad (3)$

У квантовій теорії поля ми маємо справу із регуляризацією. Стоїть питання: чи можна знайти такий тип регуляризації, який зберігає симетрію відносно перетворення $\ (2)$? Виявляється, що такої регуляризації не існує. Зокрема, регуляризація Паулі-Вілларса явно вводить масові параметри, які порушують кіральну симетрію, у той час як розмірнісна регуляризація, яка заснована на формальній зміні розмірності простору-часу з чотирьох до $\ d$, модифікує антикомутатор $\ [\gamma _{5},\gamma _{\mu }]_{+}=4-d$ (який є точно нульовим, що знову ж таки порушує симетрію лагранжіану відносно кірального перетворення. У результаті закон збереження $\ (3)$ модифіковується як

$\ \partial _{\mu }J_{5}^{\mu }={\frac {\alpha }{8\pi }}F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }\qquad (4)$,

де $\ \alpha ={\frac {g^{2}}{4\pi }}$, $\ F_{\mu \nu }$ — тензор напруженості поля $\ A_{\mu }$, $\ {\tilde {F}}_{\mu \nu }\equiv {\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }$ — дуальний тензор напруженості.

Рівняння $\ (4)$ є рівнянням кіральної аномалії.

Калібрувальна аномалія

Розглянемо більш загальну теорію, що містить ферміони, які знаходяться у кіральному представленні деякої калібрувальної групи $\ G$. Прикладом є Стандартна модель, у якій є кіральна електрослабка підгрупа симетрії $\ {\text{SU}}_{L}(2)$. Розглянемо квантовий корелятор

$\ \Gamma _{\mu \nu \rho }^{abc}(x,y,z)\equiv \langle 0|{\text{T}}\left(J_{\mu }^{a}(x)J_{\nu }^{b}(y)J_{\rho }^{c}(z)\right)|0\rangle \qquad (5)$,

де $\ J_{\mu }^{a}$ — струм, що зберігається,

$\ J_{\mu }^{a}=-i{\bar {\Psi }}T_{a}\gamma _{\mu }\Psi$,

$\ \Psi$ — стовпчик, що об'єднує усі ліві ферміонні поля теорії, $\ T_{a}$ — генератор симетрії.

Похідна $\ {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}$ від цього корелятора виражає квантовий закон збереження струму $\ J_{\mu }^{a}(x)$. Аномалія міститься у тій частині корелятора $\ (5)$, що пропорційна величині

$\ d_{abc}\equiv {\text{Tr}}[[T_{a},T_{b}]_{+}T_{c}]\qquad (6)$

($\ []_{+}$ позначає антикомутатор).

Якщо для представлення даної калібрувальної групи $\ G$, якій відповідають струми Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://wikimedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle \ J_{a,b,c}} , величина $\ (6)$ не дорівнює нулю, то ці струми не зберігаються:

$\ \partial _{\mu }J_{a}^{\mu }=-{\frac {1}{32\pi ^{2}}}D_{abc}F_{\mu \nu }^{b}{\tilde {F}}_{c}^{\mu \nu }\qquad (8)$

Рівняння $\ (8)$ є рівнянням квантової калібрувальної аномалії.

Оскільки калібрувальний струм тепер не зберігається, то калібрувальна інваріантність теорії являється порушеною. Це призводить до порушення унітарності теорії, тому будь-яка теорія, яка описує набір ймовірностей фізичних процесів, має бути вільною від аномалій.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Калібрувальна аномалія

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$