Аномалія (фізика)

Квантова теорія поля
Діаграма Фейнмана
Історія
Підґрунтя Теорія поля Калібрувальна інваріантність Симетрія Пуанкаре Квантова механіка Спонтанне порушення симетрії
Симетрії Зарядове спряження Кросинг Парність Часове обернення Симетрія в квантовій механіці
Інструменти Аномалія Ефективна теорія поля Вакуумне очікуване значення Духи Фаддєєва — Попова Діаграми Фейнмана Калібрувальна теорія поля на ґратці Теорема ЛСЦ Корелятор Пропагатор Квантування Регуляризація Перенормування вакуумний стан Теорема Віка Аксіони Вайтмана
Рівняння Рівняння Дірака Рівняння Клейна — Ґордона Рівняння Прока Рівняння Вілера — Девітта Рівняння Баргманна — Вігнера
Стандартна модель Електрослабка взаємодія Механізм Гіґґза Квантова хромодинаміка Квантова електродинаміка Поля Янга-Міллса
Незавершені теорії Квантова гравітація Теорія струн Суперсиметрія Техніколор Теорія всього
Науковці К. Д. Андерсон Ф. Андерсон Бете Бйоркен Боголюбов Каллан Коулман Девітт Дірак Дайсон Англер Фермі Фейнман Фірц Фок Фреліх Ґлешоу Гелл-Манн Гайзенберг Хіґс Гаг Гейген 'т Гофт Кобаясі Лемб Ландау Лі Майорана Маскава Міллс Намбу Нісідзіма Поляков Салам Швінгер Ворд Вайнберг Вейль Вільсон Янґ Юкава

Аномалією у квантовій теорії поля називається явище принципового порушення симетрії, притаманної класичній теорії, у відповідній квантовій теорії (варто відрізняти від спонтанного порушення симетрії). Аномалії мають важливе значення як з точки зору теоретичної фізики, так і експериментальної. Зокрема, умова незалежності теорії від деякого класу аномалій має лежати в основі будь-якої квантової теорії поля; з іншого боку, явища, що зумовлюються іншими класами аномалій, призводять до широкого класу спостережуваних явищ, наприклад, роблять можливим конфайнмент у квантовій хромодинаміці та призводять до розпаду $\ \pi ^{0}$-мезону на два фотони.

Причина аномалій у квантовій теорії поля

Симетрії

Симетрія - деяке перетворення простору (координатного чи фазового), яке залишає незмінними спостережувані величини. Зокрема, у лагранжевому формалізмі класичної фізики симетрія визначається як перетворення полів та координат, яке залишає дію (інтеграл від функції Лагранжа) незмінною.

Неперервні симетрії (наприклад, повороти у тривимірному просторі) у теорії мають наслідком, відповідно до теореми Нетер, закони збереження струмів. Зокрема, симетрія теорії відносно зсуву часової координати має наслідком закон збереження енергії, просторової - імпульсу, і т.д. Існують також менш очевидні симетрії, зокрема - локальні (що залежать від просторово-часових координат) фазові перетворення, що відповідають закону збереження електричного заряду. У лоренц-інваріантному вигляді цей закон виражається у термінах 4-струму $\ J_{\mu }$ як

$\ \partial _{\mu }J^{\mu }=0$

Аномалії

Розглянемо калібрувально-інваріантну теорію взаємодії зарядженого поля $\ \Phi$ довільної природи (скалярного, векторного, спінорного тощо) із електромагнітним полем. В силу лоренц-інваріантності лагранжіан завжди буде містити принаймні білінійні функції $\ \Phi ^{\dagger }(x)\Phi (x)$ полів (див. наприклад, випадок скалярного поля). Відповідно, і струми $\ J_{\mu }$ є білінійними функціями полів.

Наївна квантова теорія може бути отримана із класичної шляхом відповідності $\ \Phi \to {\hat {\Phi }}$, $\ A_{\mu }\to {\hat {A}}_{\mu }$, тобто, поля стають операторами; відповідно, $\ J_{\mu }\to {\hat {J}}_{\mu }$, і наївний квантовий закон збереження струму має вигляд

$\ \partial _{\mu }{\hat {J}}^{\mu }=0\qquad (1)$

Така проста картина може порушуватись внаслідок відсутності перестановності полів $\ {\hat {\Phi }}$. А саме, у залежності від того, являється поле $\ \Phi$ бозонним чи ферміонним, для операторів $\ {\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}$ народження та знищення, лінійною комбінацією яких є поле $\ {\hat {\Phi }}$ є справедливим комутаційне співвідношення типу

$\ {\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {p} {'})\mp {\hat {a}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {p} {'}){\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} )=\hbar \delta _{\sigma \sigma {'}}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} {'})$.

Це означає, що поля не є перестановними; зокрема, для спінорного поля, що представляє частинки типу електронів,

$\ {\hat {\Psi }}_{m}^{\dagger }(\mathbf {r} ,t){\hat {\Psi }}_{m'}(\mathbf {r} ',t)+{\hat {\Psi }}_{m'}(\mathbf {r} ',t){\hat {\Psi }}_{m}^{\dagger }(\mathbf {r} ,t)=\hbar \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} {'})$.

Внаслідок цього будь-яка білінійна функція квантових полів є погано визначеною (формально містять нескінченну частину), а отже, погано визначеними стають і заряди. У квантовій теорії поля існує формальна процедура, яка довизначає величини типу білінійних форм так, щоб вони були добре визначеними. Вона включає в себе регуляризацію та перенормування основних величин теорії - (для перенормовних теорій - полів, зарядів та мас). Проте у загальному випадку довільна регуляризація може зруйнувати закон збереження $\ (0)$ струму, оскільки вона модифіковує дію так, що втрачається властивість інваріантності відносно перетворення симетрії. Якщо регуляризація, що зберігає дану симетрію, не може бути знайдена - відповідно, струм $\ {\hat {J}}$ не зберігається:

$\ \partial _{\mu }{\hat {J}}^{\mu {\text{...}}}[\Phi ]={\hat {F}}^{\text{...}}[\Phi ]\neq 0\qquad (2)$,

кажуть, що симетрія є аномальною. Рівняння $\ (2)$ називається аномальним законом збереження струму $\ {\hat {J}}^{\mu {\text{...}}}$, а функція $\ {\hat {F}}$ - аномальною функцією.

Аномалія у різних підходах квантової теорії поля

Існує декілька підходів до квантової теорії поля. Історично першим був підхід, заснований на концепції моря Дірака. За ним слідував операторний підхід, а за ним — підхід континуального інтегралу. Аномалія, звісно, може бути описана у кожному із цих підходів.

Зокрема, кіральна аномалія у морі Дірака виникає внаслідок розщеплення рівнів Фермі для безмасових ліво-кіральних та право-кіральних ферміонів при включенні зовнішнього поля, внаслідок чого густина станів для лівих та правих ферміонів моря Дірака змінюється по-різному. Море Дірака еквівалентне вторинному квантуванню, що є основою операторного підходу; у операторному підході кіральна аномалія виникає внаслідок відсутності кірально-інваріантної регуляризації. Нарешті, гайзенбергівські функції Гріна у операторному підході еквівалентні континуальному інтегралу; у підході континуального інтегралу аномалія виникає внаслідок неінваріантності міри інтегрування внаслідок кірального перетворення.

Приклади аномалій

Масштабна аномалія

Розглянемо теорію із полями $\ \Phi$, яка дається лагранжіаном $\ L$, що залежить лише від безрозмірних параметрів $\ \alpha$. Прикладом є лагранжіан квантової хромодинаміки із безмасовими кварками. На класичному рівні теорія є інваріантною відносно неперервних перетворень

$\ \Phi (x)\to e^{\sigma \epsilon }\Phi (e^{\epsilon }x)$,

де $\ \sigma$ — канонічна розмірність поля $\ \varphi$ у енергетичних одиницях $\ c=\hbar =1$, яка отримується із канонічного кінетичного члену для $\ \Phi$.

Це призводить, згідно із теоремою Нетер, до існування так званого дилатаційного струму

$\ \theta _{\mu }=x^{\nu }T_{\mu \nu }$,

який зберігається:

$\ \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=0\qquad (3)$

У квантовій теорії, що дається оператором лагранжіану $\ {\hat {L}}({\hat {\Phi }})$, закон збереження $\ (3)$ явним чином порушується. Це відбувається внаслідок необхідності регуляризації нескінченностей у квантовій теорії. А саме, будь-яка регуляризація завжди супроводжується введенням фіктивного розмірного параметру масштабу $\ \mu$, від якого починає залежати константа зв'язку $\ \alpha$. У результаті закон збереження $\ (3)$ порушується. Зокрема, у безмасовій квантовій хромодинаміці він має вигляд

$\ \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=-{\frac {\beta (g)}{2g_{s}}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }$,

де $\ G_{\mu \nu }^{a}$ — тензор напруженості глюонного поля, $\ \beta (g)={\frac {dg}{d{\text{ln}}(\mu )}}$ — бета-функція КХД. Таким чином, масштабна симетрія порушується на квантовому рівні. Це називається масштабною аномалією.

Аксіальна аномалія

Розглянемо теорію безмасових ферміонів $\ \psi$, що взаємодіють із калібрувальним полем $\ A_{\mu }$, яка дається лагранжіаном $\ L=L(\Psi ,A_{\mu })$ (наприклад, квантова електродинаміка із безмасовим електроном). На класичному рівні лагранжіан є інваріантним відносно глобального кірального перетворення

$\ \psi \to e^{i\gamma _{5}\alpha }\psi \qquad (4)$,

де $\ \gamma _{5}=i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}$ — кіральна матриця, $\ \gamma _{\mu },\mu =0,3$ — матриці Дірака, $\ \alpha$ — у загальному випадку матриця представлення кіральної симетрії, якому належить $\ \psi$.

Відповідний нетерівський струм має вигляд

$\ J_{5}^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\psi ,\quad \partial _{\mu }J_{5}^{\mu }=0\qquad (5)$

У квантовій теорії поля ми маємо справу із регуляризацією. Стоїть питання: чи можна знайти такий тип регуляризації, який зберігає симетрію відносно перетворення $\ (4)$? Виявляється, що такої регуляризації не існує. Зокрема, регуляризація Паулі-Вілларса явно вводить масові параметри, які порушують кіральну симетрію, у той час як розмірнісна регуляризація, яка заснована на формальній зміні розмірності простору-часу з чотирьох до $\ d$, модифікує антикомутатор $\ [\gamma _{5},\gamma _{\mu }]_{+}=4-d$ (який є точно нульовим, що знову ж таки порушує симетрію лагранжіану відносно кірального перетворення. У результаті закон збереження $\ (5)$ модифіковується як

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ \partial_{\mu}J^{\mu}_{5} = \frac{\alpha}{8 \pi}F_{\mu \nu}\tilde{F}^{\mu \nu} \qquad (6)} ,

де $\ \alpha ={\frac {g^{2}}{4\pi }}$, $\ F_{\mu \nu }$ — тензор напруженості поля $\ A_{\mu }$, $\ {\tilde {F}}_{\mu \nu }\equiv {\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }$ — дуальний тензор напруженості.

Рівняння $\ (6)$ є рівнянням кіральної аномалії.

Калібрувальна аномалія

Розглянемо більш загальну теорію, що містить ферміони, які знаходяться у кіральному представленні деякої калібрувальної групи $\ G$. Прикладом є Стандартна модель, у якій є кіральна електрослабка підгрупа симетрії $\ {\text{SU}}_{L}(2)$. Розглянемо квантовий корелятор

$\ \Gamma _{\mu \nu \rho }^{abc}(x,y,z)\equiv \langle 0|{\text{T}}\left(J_{\mu }^{a}(x)J_{\nu }^{b}(y)J_{\rho }^{c}(z)\right)|0\rangle \qquad (7)$,

де $\ J_{\mu }^{a}$ — струм, що зберігається,

$\ J_{\mu }^{a}=-i{\bar {\Psi }}T_{a}\gamma _{\mu }\Psi$,

$\ \Psi$ — стовпчик, що об'єднує усі ліві ферміонні поля теорії, $\ T_{a}$ — генератор симетрії.

Похідна $\ {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}$ від цього корелятора виражає квантовий закон збереження струму $\ J_{\mu }^{a}(x)$. Аномалія міститься у тій частині корелятора $\ (7)$, що пропорційна величині

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ d_{abc} \equiv \text{Tr}[[T_{a}, T_{b}]_{+}T_{c}] \qquad (8)}

($\ []_{+}$ позначає антикомутатор).

Якщо для представлення даної калібрувальної групи $\ G$, якій відповідають струми Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ J_{a, b, c}} , величина $\ (8)$ не дорівнює нулю, то ці струми не зберігаються:

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ \partial_{\mu}J^{\mu}_{a} = -\frac{1}{32 \pi^{2}}D_{abc}F^{b}_{\mu \nu}\tilde{F}^{\mu \nu}_{c} \qquad (9)}

Рівняння $\ (9)$ є рівнянням квантової калібрувальної аномалії.

Оскільки калібрувальний струм тепер не зберігається, то калібрувальна інваріантність теорії являється порушеною. Це призводить до порушення унітарності теорії, тому будь-яка теорія, яка описує набір ймовірностей фізичних процесів, має бути вільною від аномалій.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Наслідки аномалій

Порушення випадкових симетрій Стандартної моделі

Стандартна модель заснована на локальній калібрувальній групі

$\ G\simeq SU_{c}(3)\times SU_{L}(2)\times U_{Y}(1)$

В силу тих чи інших причин група $\ G$ за побудовою являється вільною від аномалій (див. Теорія всього). У Стандартній моделі існують також глобальні неперервні групи симетрії. Зокрема, існують точні на класичному рівні симетрії, що відповідають збереженню баріонного та лептонних чисел. Вони відповідають групам

$\ G_{\text{lepton}}\simeq U_{e}(1)\times U_{\mu }(1)\times U_{\tau }(1),\quad G_{\text{baryon}}\simeq U_{B}(1)$

відповідно (тут $\ e,\mu ,\tau$ - лептони). Ці групи симетрії - некіральні, тому, здавалося, квантова аномалія не може порушувати їх. Проте в силу того, що ферміони, які несуть баріонні та лептонні заряди, несуть також заряди кіральної групи $\ SU_{L}(2)$. Внаслідок цього коефіцієнт $\ D_{abc}$, де індекс $\ a$ відповідає групам $\ G_{\text{lepton}}$ чи $\ G_{\text{baryon}}$, а індекси $\ b,c$ - групі $\ SU_{L}(2)$. Внаслідок цього є справедливими такі рівняння аномалії:

$\ \partial _{\mu }J_{B}^{\mu }={\frac {3g_{\text{weak}}^{2}}{16\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu },\quad \sum _{l=e,\mu ,\tau }\partial _{\mu }J_{l}^{\mu }={\frac {3g_{\text{weak}}^{2}}{16\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }\qquad (10)$,

де $\ F$ - тензор напруженості полів групи $\ SU_{L}(2)$.

В силу теореми про індекси, проінтегрована по 4-простору ліва частина відповідає різниці лівих та правих нульових ферміонних мод. Проінтегрована права частина також дорівнює цілому числу в силу нетривіальної топології полів Янга-Міллса (в інтеграл вносять ненульовий внесок лише інстантоноподібні конфігурації). Проінтегрований закон $\ (10)$ тоді має вигляд

Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ \Delta Q_{B} = 3n, \quad \sum_{l}\Delta Q_{l} = 3n} ,

де $\ Q_{B},Q_{l}$ - баріонний та лептонні заряди відповідно.

Таке незбереження баріонного та лептонного числа роблять принципово можливим баріогенезис та (чи) лептогенезис у рамках Стандартній моделі для раннього Всесвіту.