查看“︁双曲线”︁的源代码

{{Missing information|1={{link|en:Hyperbola#Properties{{!}}幾何性質}}|time=2023-03-01T23:54:43+00:00}}
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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:实轴; zh-tw:貫軸;
|2 = zh-cn:虚轴; zh-tw:共軛軸;
}}
在[[数学]]中，'''双曲线'''（{{lang-en|hyperbola}}；{{lang-el|ὑπερβολή}}，意思是超过、超出）是定义为[[平面 (数学)|平面]]交截直角[[圆锥]]面的两半的一类[[圆锥曲线]]。

它还可以定义为与两个固定的点（称为[[焦点]]）的[[距离]]差是常数的点的[[轨迹]]。这个固定的距离差是<math>a</math>的两倍，这里的<math>a</math>是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。<math>a</math>还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上，它们的中间点称为中心。

从代数上说，双曲线是在[[笛卡尔平面]]上由如下方程定义的曲线
:<math>Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math>
使得<math>B^2>4AC</math>，这裡的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对<math>(x,y)</math>的多于一个的解。

在笛卡尔坐标平面上，两个互为[[倒数]]的变量的图像是双曲线。

== 定义 ==
[[File:Drini-conjugatehyperbolas.svg|thumb|300px|共轭单位直角双曲线]]
上面已经列出：
*平面切直角圆锥面的两半的交截线。
*与两个固定点（称为'''焦点'''）距离差为常数的点的[[轨迹]]。
*到一个焦点的距离和到一条直线（称为'''准线'''）的距离的[[比例]]是大于<math>1</math>的常数的点的轨迹。这个常数称为双曲线的[[离心率]]。

双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近称为[[渐近线]]的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率<math>\pm\frac{b}{a}</math>，对于北南开口的双曲线有斜率<math>\pm\frac{a}{b}</math>。

双曲线有个性質，出自一个焦点的[[射线]][[反射 (数学)|反射]]于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。

双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐近线交于[[直角]]。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程<math>xy=c</math>给出，这裡的<math>c</math>是常数。

如果对双曲线方程交换<math>x</math>和<math>y</math>，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。

== 笛卡尔坐标 ==
中心位于<math>(h,k)</math>的左右开口的双曲线：
:<math>\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1</math>
中心位于<math>(h,k)</math>的上下开口的双曲线：
:<math>\frac{\left(y-k\right)^2}{a^2}-\frac{\left(x-h\right)^2}{b^2}=1</math>
实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。

在两个公式中，<math>a</math>是[[半长轴|半实轴]]（在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离），而<math>b</math>是[[半短轴|半虚轴]]。

如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是<math>2b</math>，平行于实轴的两边的长度是<math>2a</math>，注意<math>b</math>可以大于<math>a</math>。

如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是<math>2a</math>。

[[File:Rectangular_hyperbola.svg|thumb|300px|直角双曲线<math>y=\tfrac{1}{x}</math>的图像。]]
[[离心率]]给出自：
:<math>e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}</math>

左右开口的双曲线的焦点是：<math>\left(h\pm c,k\right)</math>，其中c给出自<math>c^2=a^2+b^2</math>。

上下开口的双曲线的焦点是：<math>\left(h,k\pm c\right)</math>，其中c给出自<math>c^2=a^2+b^2</math>。

=== 等軸雙曲線 ===
等轴双曲线的实轴与虚轴长相等，即<math>2a=2b</math>且<math>e=\sqrt{2}</math>，此时渐近线方程为<math>y=\pm x</math>（无论焦点在<math>x</math>轴还是<math>y</math>轴）。

单位双曲线属于等轴双曲线，且半实轴和半虚轴的长均为<math>1</math>，即<math>a=b=1</math>，满足方程：
: <math>x^2-y^2=1</math>或<math>y^2-x^2=1</math>。

对于以直线<math>x=h</math>和直线<math>y=k</math>为渐近线的直角双曲线：
:<math>(x-h)(y-k)=c</math>

这种双曲线最简单的例子是：
:<math>y=\frac{m}{x}</math>

=== 共軛雙曲線 ===
當双曲线<math>S'</math>的实轴是双曲线<math>S</math>的虚轴，且双曲线<math>S'</math>的虚轴是双曲线<math>S</math>的实轴时，称双曲线<math>S'</math>与双曲线<math>S</math>为共轭双曲线。若<math>S</math>的方程為
:<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,</math>
則<math>S'</math>的方程為
:<math>\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1.</math>

其特点為：
# 共渐近线，与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。
# 焦距相等。
# 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于<math>1</math>。

== 极坐标 ==
左右开口的双曲线：
:<math>r^2=a^2\sec{2}\theta</math>
上下开口的双曲线：
:<math>r^2=-a^2\sec{2}\theta</math>
上右下左开口的双曲线：
:<math>r^2=a^2\csc{2}\theta</math>
上左下右开口的双曲线：
:<math>r^2=-a^2\csc{2}\theta</math>

在所有公式中，中心在极点，而<math>a</math>是半实轴和半虚轴。

== 双曲线的参数方程 ==
如同正弦和余弦函数给出[[椭圆]]的[[参数方程]]，[[双曲函数]]给出双曲线的参数方程。
左右开口的双曲线：
:<math>\begin{cases}
x=a\sec{t}+h\\
y=b\tan{t}+k\\
\end{cases}
</math>
或
:<math>\begin{cases}
x=a\cosh{t}+h\\
y=b\sinh{t}+k\\
\end{cases}
</math>

上下开口的双曲线：
:<math>\begin{cases}
x=b\tan{t}+h\\
y=a\sec{t}+k\\
\end{cases}
</math>
或
:<math>\begin{cases}
x=b\sinh{t}+h\\
y=a\cosh{t}+k\\
\end{cases}
</math>

在所有公式中，<math>(h,k)</math>是双曲线的中点，<math>a</math>是半实轴而<math>b</math>是半虚轴。

== 双曲线的标准方程 ==
焦点在<math>x</math>轴：<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>

焦点在<math>y</math>轴：<math>\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1</math>

== 双曲线的渐近线方程 ==
焦線平行於<math>x</math>轴：<math>y=\pm\frac{b}{a}x</math>

焦線平行於<math>y</math>轴：<math>y=\pm\frac{a}{b}x</math>

== 圆锥曲线方程 ==
<math>\rho=\frac{ep}{1+e\cos\theta}</math>

当<math>e>1</math>时，表示双曲线。其中<math>p</math>为焦点到准线距离，<math>\theta</math>为弦与<math>x</math>轴夹角。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* {{planetmath reference|id=5996|title=Unit hyperbola|urlname=unithyperbola}}
* {{planetmath reference|id=3584|title=Conic section|urlname=conicsection}}
* {{planetmath reference|id=6241|title=Conjugate hyperbola}}{{deadlink}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html Mathworld - Hyperbola]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html |date=20070607172623 }}

== 参见 ==
* [[圆锥曲线]]
* [[双曲函数]]

{{-}}
{{几何术语}}

{{Authority control}}
[[Category:圆锥曲线]]
[[Category:解析几何|S]]