團 (圖論)：修订间差异
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* [[图兰定理]]给出了稠密图中团的大小的下界。<ref>{{citation|last = Turán| first = Paul | author-link = |
* [[图兰定理]]给出了稠密图中团的大小的下界。<ref>{{citation|last = Turán| first = Paul | author-link = 圖蘭·帕爾| year = 1941| title = On an extremal problem in graph theory| journal = Matematikai és Fizikai Lapok| volume = 48| pages = 436–452| language = hu}}</ref>如果一张图有足够多条边，那么它肯定包含一个大团。例如，对于任意<math>n</math>阶图，如果它的边数大于<math>\scriptstyle\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\cdot\lceil\frac{n}{2}\rceil</math>，那么它必然包含一个<math>3</math>阶团。 |
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* [[拉姆齐定理]]指出，任意图或者它的[[補圖|补图]]包含这样的团，它具有至少为对数大小的点数。<ref>{{citation| last1 = Graham| first1 = R.| author1-link = Ronald Graham| last2 = Rothschild| first2 = B.| last3 = Spencer| first3 = J. H.| author3-link = Joel Spencer| location = New York| publisher = John Wiley and Sons| title = Ramsey Theory| year = 1990| isbn = 978-0-471-50046-9| url-access = registration| url = https://archive.org/details/ramseytheory0000grah}}</ref> |
* [[拉姆齐定理]]指出，任意图或者它的[[補圖|补图]]包含这样的团，它具有至少为对数大小的点数。<ref>{{citation| last1 = Graham| first1 = R.| author1-link = Ronald Graham| last2 = Rothschild| first2 = B.| last3 = Spencer| first3 = J. H.| author3-link = Joel Spencer| location = New York| publisher = John Wiley and Sons| title = Ramsey Theory| year = 1990| isbn = 978-0-471-50046-9| url-access = registration| url = https://archive.org/details/ramseytheory0000grah}}</ref> |
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* Moon & Moser 指出，阶数为<math>3n</math>的图至多有<math>3^n</math>个极大团。极大值在 Moon-Moser 图<math>K_{3,3,\dots}</math>取得，这是{{tsl|en|Turán_graph|图兰图}}的在图兰定理下的一种极端情况。<ref>{{citation| last1 = Moon | first1 = J. W. | author2-link = Leo Moser | last2 = Moser | first2 = L.| title = On cliques in graphs| journal = Israel J. Math.| volume = 3| year = 1965| pages = 23–28| mr = 0182577 | doi = 10.1007/BF02760024}}</ref> |
* Moon & Moser 指出，阶数为<math>3n</math>的图至多有<math>3^n</math>个极大团。极大值在 Moon-Moser 图<math>K_{3,3,\dots}</math>取得，这是{{tsl|en|Turán_graph|图兰图}}的在图兰定理下的一种极端情况。<ref>{{citation| last1 = Moon | first1 = J. W. | author2-link = Leo Moser | last2 = Moser | first2 = L.| title = On cliques in graphs| journal = Israel J. Math.| volume = 3| year = 1965| pages = 23–28| mr = 0182577 | doi = 10.1007/BF02760024}}</ref> |
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* {{tsl|en|Hadwiger_conjecture_(graph_theory)|Hadwiger猜想}}给出了最大团大小与[[图着色问题|色数]]之间的关系。 |
* {{tsl|en|Hadwiger_conjecture_(graph_theory)|Hadwiger猜想}}给出了最大团大小与[[图着色问题|色数]]之间的关系。 |
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* {{tsl|en|Erdős–Faber–Lovász_conjecture|Erdős–Faber–Lovász猜想}}给出了图着色与团之间的关系。 |
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==分团问题== |
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在[[计算复杂性理论]]中，分团问题（clique problem）在给定图中寻找最大团的问题。它是[[图论]]中的一个[[NP完全]]问题。人们在分团问题上提出了许多算法，[[EXPTIME|指数时间复杂度]]算法包括{{tsl|en|Bron–Kerbosch_algorithm|Bron–Kerbosch算法}}，而针对特定一类图有[[P_(複雜度)|多项式时间复杂度]]算法，例如[[平面图_(图论)|平面图]]和{{tsl|en|Perfect_graph|完美图}}。 |
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2021年7月16日 (五) 07:06的最新版本
在图论领域的一个无向图中，满足两两之间有边连接的顶点的集合，被称为该无向图的团。团是图论中的基本概念之一，用在很多数学问题以及图的构造上。计算机科学中也有对它的研究，尽管在一个图中寻找给定大小的团达到了NP完全的难度，人们还是研究过很多寻找团的算法。
虽然对完全子图的研究可以追溯到Erdős & Szekeres (1935)中拉姆齐理论对图理论的重组[1]，“团”这一术语本身其实源自 Luce & Perry (1949)，那篇文章中社会网络的完全子图被用来模拟一“团”人，也就是一组两两相互认识的人。团在科学领域特别是在生物信息学中有许多其他应用。
定义
[编辑]顶点集C被称为无向图 G=(V,E) 的团，如果C是顶点集V的子集(C⊆V)，而且任意两个C中的顶点都有边连接。另一种等价的说法是，由C诱导的子图是完全图 （有时也用“团”来指这样的子图）。
极大团是指增加任一顶点都不再符合团定义的团，也就是说，极大团不能被任何一个更大的团所包含。
最大团是一个图中顶点数最多的团。图G的团数（clique number）ω(G) 是指G中最大团的顶点数。图G的边团覆盖数（edge clique cover number）是指覆盖G中所有的边所需要的最少的团的数目。图G的二分维数是指覆盖G中所有边所需要的最少的二分团的数目，其中二分团（biclique）就是完全二分子图 。而分团覆盖问题 （Clique cover problem）所关心的是用最少的团去覆盖G中所有的顶点。
独立集是刚好和团相反的概念，因为图G中的团和图G的补图中的独立集是一一对应的。
相关性质
[编辑]- Cluster graph的连通分量为团。
- Block graph的2-连通分量为团。
- 弦图的点具有完美消去序（perfect elimination ordering），这种排序具有如下性质：对于所有的点，中排序在后的点和共同构成一个团。
- Cograph的所有导出子图具有如下性质：任意极大团与任意极大独立集有且仅有一个共同点。
- Interval graph的极大团可以按照如下方式排序：对于任意点包含的团在排序中是连续的。
- 线图的边能被一些没有公共边的团所覆盖，并且每个点恰好属于两个团。
- 完美图的所有导出子图的团数等于色数。
- Split graph包含具有如下性质的团：对于图中每条边，至少包含一个顶点。
- Triangle-free graph的团数至多为2。
相关定理
[编辑]- 图兰定理给出了稠密图中团的大小的下界。[2]如果一张图有足够多条边，那么它肯定包含一个大团。例如，对于任意阶图，如果它的边数大于，那么它必然包含一个阶团。
- 拉姆齐定理指出，任意图或者它的补图包含这样的团，它具有至少为对数大小的点数。[3]
- Moon & Moser 指出，阶数为的图至多有个极大团。极大值在 Moon-Moser 图取得，这是图兰图的在图兰定理下的一种极端情况。[4]
- Hadwiger猜想给出了最大团大小与色数之间的关系。
- Erdős–Faber–Lovász猜想给出了图着色与团之间的关系。
分团问题
[编辑]在计算复杂性理论中，分团问题（clique problem）在给定图中寻找最大团的问题。它是图论中的一个NP完全问题。人们在分团问题上提出了许多算法，指数时间复杂度算法包括Bron–Kerbosch算法，而针对特定一类图有多项式时间复杂度算法，例如平面图和完美图。
注释
[编辑]- ^ 其实Kuratowski (1930)更早提出完全子图一词（一个有限图是平面图，当且仅当它不包含完全子图或完全二分子图），但作者在最初的措辞着意于拓扑术语，而非图论术语.
- ^ Turán, Paul, On an extremal problem in graph theory, Matematikai és Fizikai Lapok, 1941, 48: 436–452 （匈牙利语）
- ^ Graham, R.; Rothschild, B.; Spencer, J. H., Ramsey Theory
, New York: John Wiley and Sons, 1990, ISBN 978-0-471-50046-9
- ^ Moon, J. W.; Moser, L., On cliques in graphs, Israel J. Math., 1965, 3: 23–28, MR 0182577, doi:10.1007/BF02760024
参考文献
[编辑]- Erdős, Paul; Szekeres, George, A combinatorial problem in geometry (PDF), Compositio Math., 1935, 2: 463–470 [2013-08-22], （原始内容存档 (PDF)于2020-05-22）.
- [R. Duncan]; Perry, Albert D., A method of matrix analysis of group structure, Psychometrika, 1949, 14 (2): 95–116, PMID 18152948, doi:10.1007/BF02289146 请检查
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外部链接
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