正交頻分复用

調變方式
連續調變
调幅 调频 调角 模拟 AM （SSB · DSB） FM PM 数字 ASK （OOK · QAM） FSK （MSK · GFSK） PSK （CPM） 其他 SM （類比）
脈衝調變
模拟	PAM · PDM · PPM
数字	PCM · PWM
扩频
CSS · DSSS · THSS · FHSS
另見
調變 · 线路码 · 调制解调器 · ΔΣ調變 · OFDM · FDM

OFDM的周波数

OFDM訊號強度x頻率圖

正交頻分多工（英語：Orthogonal frequency-division multiplexing, OFDM）有時又稱為分離複頻調變技術（英語：discrete multitone modulation, DMT），可以視為多載波傳輸的一個特例，具備高速率資料傳輸的能力，加上能有效對抗頻率選擇性衰減，而逐漸獲得重視與採用。

OFDM使用大量緊鄰的正交子載波（Orthogonal sub-carrier），每個子載波採用傳統的調變方案，進行低符號率調製。可以視為一調變技術與多工技術的結合。

定義

調變是將傳送資料對應於載波變化的動作，可以是載波的相位、頻率、振幅、或是其組合。正交頻分複用之基本觀念為將一高速資料流程，分割成數個低速資料流程，並將這數個低速資料流程同時調製在數個彼此相互正交載波上傳送。由於每個子載波頻寬較小，更接近於相干頻寬，故可以有效對抗頻率選擇性衰弱，因此現今以大量採用於無線通訊。

正交頻分複用屬於多載波（multi-carrier）傳輸技術，所謂多載波傳輸技術指的是將可用的頻譜分割成多個子載波，每個子載波可以載送一低速資料流程。

運作模式

傳統的數位調變和分工使用頻率分頻分工，透過不同頻段傳輸不同的資訊，OFDM將一整段頻段分割成數個子載波(sub-carrier),而且讓每個子載波相互正交，使得他們在頻譜上並不互相重疊，可以降低干擾，其運作方式在傳輸端將訊號擺置在頻域(frequency domain)上，透過反傅利葉轉換(IDFT)轉換至時域(time domain)上，並透過增加循環前綴(cyclic prefix)之後傳送出去，而接收端則是將訊號去除循環前綴，再將時域訊號透過傅利葉轉換(DFT)將訊息轉回頻域，解出原傳遞訊號。

OFDM技術提高載波的頻譜利用率，它的特點是各子載波相互正交，使擴頻調製後的頻譜可以相互重疊，從而減小了子載波間的相互干擾。在對每個載波完成調製以後，為了增加數據的吞吐量、提高數據傳輸的速度。OFDM的另一個優點，它可以利用離散傅立葉反變換/離散傅立葉變換（IDFT/DFT）代替多載波調製和解調。

OFDM 原理說明

在一般的無限通道來說，因為有多路徑問題(multipath problem)，將它等價於離散的基頻模型可視為：

輸入：$x[n]$

輸出：$y[n]=\sum _{j=0}^{L-1}h_{l}x[n-l]+z[n]=h_{0}x[n]+\sum _{j=1}^{L-1}h_{l}x[n-l]+z[n]$

其中$h_{0}x[n]$是我們想要的訊號，$\sum _{j=1}^{L-1}h_{l}x[n-l]$是過去的訊號對現在所得訊號的干擾，也就是所謂的符元間干擾(Inter-symbol Interference)，$z[n]$是雜訊。L 可以視為線性非時變系統下tap的個數。

傳統上，我們可以透過維特比演算法(Viterbi Algorithm)，一種動態規劃的演算法，來找尋最有可能序列探測可能性(Maximum Likelihood Sequence Detection)，但這種演算法的時間複雜度為$O(2^{L})$，在現在寬頻的系統下，L的大小大約從100至400，這樣的複雜度對於現在系統並不是非常經濟的。為此，我們引進了OFDM系統。

數學推導

OFDM 是一個避免ISI的數學架構，以下說明他如何避免ISI，在一個OFDM系統下 $\{{\tilde {x_{k}}}\}\rightarrow pre-processing\rightarrow \{x[n]\}\rightarrow h_{l}\rightarrow \{y[n]\}\rightarrow post-processing\rightarrow \{{\tilde {y_{k}}}\}$

我們希望可以做到 ${\tilde {y_{k}}}={\tilde {h_{k}}}{\tilde {x_{k}}}$ ，這樣就是一個ISI-free的架構 若我們考慮線性旋積(linear convolution)，我們想要證明時域上的線性旋積是頻域上的乘法，我們可以用 ${\hat {x}}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j2\pi fn}$

${\hat {h}}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]e^{-j2\pi fn}$

$y[n]=\left(h\ast x\right)[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]$

${\hat {y}}(f)={\hat {h}}(f)\cdot {\hat {x}}(f)$

從推導我們可以發現證明時域上線性旋積等價於頻域上的乘法，是構築在積分範圍從$-\infty$至$\infty$，但在離散時間的傅立葉轉換中，其積分範圍為有限值，但我們仍然想要保有時域上的旋積等價於頻域上的乘法，故為此我們引進了環旋積(circular convolution)。

• 環旋積(circular convolution)

$\left(h\circledast _{N}x\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x[{\left(n-k\right)}_{mod\ N}]h[k]$

我們可以透過輸入、線性非時變系統脈衝響應的離散傅立葉轉換以及環旋積的定義：

${\hat {x_{k}}}\triangleq {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi {\frac {k}{N}}n}$

${\hat {h_{k}}}\triangleq {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n=0}^{N-1}h[n]e^{-j2\pi {\frac {k}{N}}n}$

$y[n]=\left(h\circledast _{N}x\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x[{\left(n-k\right)}_{mod\ N}]h[k]$

來導出對於離散傅立葉轉換下，時域上的環旋積等價於頻域上的乘法。

${\hat {y_{l}}}={\sqrt {N}}\cdot {\hat {h_{k}}}\cdot {\hat {x_{k}}}$

而此使我們可以將架構架構看成：

$\{{\hat {x_{k}}}\}\rightarrow IDFT\rightarrow \{x[n]\}\rightarrow circular\ convolution\ h\rightarrow \{y[n]\}\rightarrow DFT\rightarrow \{{\hat {y_{k}}}\}$

則此時我們只要就考慮對於如何將環旋積實踐在線性非時變系統下。

為此，我們引進了循環前綴 (cyclic prefix) 也就是將原長度為N的時間訊息，取最後L項放置在原來時間訊息的前面，為此就可以在通過通道，做線性旋積，卻擁有環旋積的效果，進而避免ISI的發生。

物理理解

OFDM 系統與傳統分頻多工(Frequency Division Multiplexing， FDM)不同之 處為:OFDM 系統的每個子載波(Sub-Carrier)之間具有正交性(Orthogonality)，此 為 OFDM 系統之主要特點。子載波彼此之間不會產生干擾，且頻譜可以相互重疊;而傳統分頻多工系統之不同載波之間頻譜沒有重疊，因此 OFDM 系統比傳 統分頻多工系統具有較好的頻寬效益(Bandwidth Efficiency)。

那我們如何得出子載波彼此之間都相互正交的性質呢？

OFDM引進了IFFT和FFT，他們兩個都是正交轉換(orthogonal transfrom)，所以我們可以視為在頻譜上先擺好資訊，而這些資訊們因為透過IFFT轉換成時域，而他使用的carrier必定正交，因為IFFT的每個basis都相互正交，可以視為其他subcarrier對自己subcarrier沒有影響，這樣的優點在於頻譜可以重疊而不互相干擾，是OFDM優點之一。

特點

OFDM優點

• 有效減少多徑及頻率選擇性通道造成接收端誤碼率上升的影響

透過循環前綴解決多路徑問題，頻率選擇性通道透過不同載子波解決。

• 接收端可利用簡單一階等化器補償通道傳輸的失真

OFDM系統架構其通道的響應是呈現平坦衰減特性，對於接收端要解調出訊號，相對簡單許多，只要設計簡單的等化器對訊號做適當的調整或補償。

• 频谱效率上升

OFDM比FDM有更高的頻譜效率，因OFDM將頻寬分割成多個子載波，而子載波彼此間重疊且為正交，所以頻寬使用效率提高。若可使用的載波總頻寬是固定的，OFDM比FDM系統架構可以提供更高的傳輸速率。

• 有較佳的抵抗「深度衰減」之能力

OFDM系統架構就是將原本寬頻的訊號，分割成很多個窄頻的訊號，接著訊號經過S/P轉換，好比週期拉長N倍，若由頻率的角度來看是頻寬縮小N倍。因此當子載波的個數越多，每個子載波的頻寬就越窄，此時子載波間距會遠小於同調頻寬(Coherent Bandwidth)，每個子載波的頻率響應可視為平坦衰減(Flat Fading)，只遭受增益大小的改變，不容易受到頻率選擇性衰減而發生嚴重的失真現象。

• 利用適應性調變及編碼，可有較佳的傳輸速度

利用對於通道的響應可以適應性調變，使得傳輸速度上升。

OFDM缺點

• 傳送與接收端需要精確的同步

• 對於多普勒效應頻率漂移敏感

• 峰均比高

• 迴圈首碼（Cyclic Prefix）造成的負荷

相比CDMA的優勢

• OFDM能更好地抵禦多徑干擾，且實現方式比較簡單。

• 與CDMA的Rake接收機相比，OFDM提供的扁平頻率通道能夠獲得更好的MIMO頻率效率。

相比時分多址系統的優勢

• 允許多個用戶並行傳送低速資料流程。

• 能夠避免脈衝載波

• 可以靈活調整低速率用戶的發射功率

• 時延固定且比較小

• 簡化了多址接入的防碰撞實現機制

• 更好地抵禦信號衰落和干擾

單載波與多載波傳送

單載波（single carrier）

• 使用者在任何時間上只利用一個載波來進行傳送與接收訊號。

多載波（multi-carrier）

• 同時利用多個不同頻率的載波傳送及接收信號。OFDM即利用數個（2的次方）正交的子載波傳送信號。OFDM便是多載波調變的特例，其使用數個正交載波調變信號，在每個子載波間不需要有保护間隔，大大的增加了頻寬使用效率，且使OFDM更有位分配的概念，即通道環境好的子載波就加大該載波的power或提高調變等級（ex:BPSK->QAM），位分配使得OFDM頻寬使用效率更加高。

接收

子載波間的正交性（Orthogonality）

∫х(t)*y(t)dt=0 ⇔ ∫Х(f)Y(f)df=0……①

爲了避免子載波間互相干擾，多載波系統對於子載波間的正交性要求相當高。爲了滿足子載波間彼此正交，子載波的頻率間隔需要有一定要求來滿足①式 在此可以由下述的有限頻帶的帶通訊號來進行說明解釋此一要求：

$x_{m}(t)=\cos(2\pi (f_{c}+f_{m})t)=\operatorname {Re} (e^{j2\pi (f_{c}|+f_{m})t})=\operatorname {Re} (x_{lm}(t)e^{j2\pi f_{c}t})$

假定我們目前要分析兩子載波頻率{f1, f2}之間的間隔Δf，我們先計算其交互相關性（cross-correlation）

$R=\int _{0}^{T}{e^{j2\pi f_{1}t}(e^{j2\pi f_{2}t})^{*}dt=}\int _{0}^{T}{e^{j2\pi \Delta ft}dt={\frac {\sin(\pi \Delta fT)}{\pi \Delta f}}}e^{j\pi \Delta fT}$

其中Δf=$f_{1}-f_{2}$表兩個載波間的頻率間隔，在上式中若ΔfT = n其中n為一個非零整數，如：Δf=n/T則此時R=0即代表這兩個子載波在符元週期內為正交。

系統架構特性

OFDM系統方塊圖如上圖所示

並列轉串列

• 正交分頻多工系統設計中最重要的觀念就是並行資料傳輸，並行資料傳輸的技術是透過串列至並行轉換器實現。正交分頻多工系統把資料載送到較小頻寬的子載波上，相當於將每一個並行資料分別經過不同的子載波調變後傳送

• 一般的串列傳輸系統中，是把訊號以連續序列的方式傳送出去，當訊號的傳輸速率很高時，訊號的頻譜可能大到占滿整個可用的頻寬，此時訊號會因為通過頻率選擇性衰減通道而造成訊號的失真。相對的，在並行傳輸系統中，資料是同時並行進行傳輸，每一個個別並行訊號佔有較小的頻寬，所以訊號所經過的通道頻率響應（frequency response）可以視為是平坦

訊號對應

• 將位元串流對應各調變（例：BPSK、QPSK、QAM）的符號

FFT的應用

• s(t)訊號

$s(t)=\sum \limits _{k=0}^{N-1}{X_{k}e^{j2\pi f_{k}t}}$

對t=N$T_{s}$取樣 $s(nT_{s})=\sum \limits _{k=0}^{N-1}{X_{k}e^{j2\pi f_{k}nT_{S}}}$

取f=$1/NT_{S}$,$f_{k}$=kf得 $x_{n}=s(nT_{s})=\sum \limits _{k=0}^{N-1}{X_{k}e^{\frac {j2\pi kn}{N}}}$:IDFT

由上式得OFDM可以用DFT FFT技術实现

• 反快速傅立葉變換和快速傅立葉變換演算法為反離散傅立葉變換和離散傅立葉變換之快速硬體實現。
• 在IEEE 802.11a裡，反快速傅立葉變換和快速傅立葉變換的大小為N = 64。

循環前綴和保護間隔（cyclic prefix and Guard interval）

• 傳送訊號在通過具有多重路徑干擾的通道後，會造成前一個符元的後端部份干擾到下一個符元的前端，此稱之為「符元間的干擾（ISI）」
• 爲了克服ISI的問題，在OFDM symbol前端加入一保護區間（Guard Interval）。爲了對抗信號因通道延遲的影響，Guard interval（Tg）長度要大於最大的Delay spread，即Tg>delay spread time。
• 在保護區間未放信號的OFDM系統稱ZP-OFDM（zero padding）。ZP-OFDM有比較低的傳輸功率，但在接收端接收於zero padding區域信號時，會破壞載波的正交性造成「載波間的干擾（ICI）」，所以複製OFDM symbol後半段信號並擺放於保護區間內，稱之為循環字首（cyclic prefix）；循環字首會造成頻寬效益下降，故必須小於OFDM symbol長度的1/4。如：一個OFDM symbol共有256個子載波，則其循環字長度為64個位元。

通道估計及等化器

由於在信號傳輸時，接收端收到的信號是傳送信號和通道響應作用過的結果，所以為瞭解出傳送信號勢必要得到通道回應，所以要作通道估計。在高速移動環境時變通道估計更是重要，不好的通道估計會造成誤碼率上升；通道估計常見的方法就是加入測試信號，由測試信號得到測試信號那些點的通道回應對通道其它點作估計，進而求出整個通道回應。等化器由通道估計的結果對接收信號作通道補償，降低錯誤率。由於OFDM將頻寬切割成數個小頻帶，故更接近通道的相干頻寬，所以信號受到通道失真變小，故可以用簡單的一階等化器補償。

遇到的問題

各種同步問題

• symbol timing offset

當接收信號進入fft時，要找到適當起點從起點後選取多點作離散傅立葉變換，將訊號從时域轉回频域，若選取太早或太晚都會產生ISI。

$Y_{k}=\sum \limits _{n=0}^{N-1}{(\sum \limits _{l=0}^{L}{x_{n-m-l}h_{l})e^{-j{\frac {2\pi kn}{N}}}}=X_{k}H_{k}e^{\frac {-j2\pi kn}{N}}}$

上式Z表接收訊號，X表傳送訊號，H則是通道響應，V則是AWGN雜訊，由本式可見STO會造成接收訊號相位改變、ISI及振幅失真

• sampling clock offset

由於傳送端及接收端的取樣速率不一樣，會造成取樣點的誤差，而且越後面的子載波SCO誤差會越大。

• carrier phase offset

傳送端在傳送端最後會乘上一載波f1使基頻訊號載至旁頻，在接收端要將旁頻降回基頻會再乘上一載波f2，由於f1 f2兩載波相位的不同在升降頻之間，會造成carrier phase offset。傳送接收端的相對運動的督普勒效應也會造成相位carrier phase offset。Carrier phase offset會造成接收訊號相位飄移及ICI。在產生高頻載波時由於都會有起始相位，所以很難用人為因素使傳送端高頻載波和接收端載波完全同步。

• carrier frequency offset

如同phase offset傳送升頻及接收端降頻載波的頻率不同步，會造成carrier frequency offset。傳送及接收端的相對運動所產生的doppler shift也會產生CFO。SCO越後面子載波偏移會越大，但CFO則是每個子載波所受到的frequency shift都是相同。在高速移動環境下CFO影響更嚴重。CFO會造成嚴重的ICI效應

峰均比（Peak-to-average power ratio）

由於OFDM信號是由多個調製後的子載波信號的線性疊加，因此可能會造成比平均訊號準位高的瞬間尖峰訊號，進而產生高峰值對均值功率比效應，在正交頻分複用系統中，高峰均比會造成的問題主要有下列兩個：

1. 在數位類比轉換的過程中，要經過量化程式，在量化過程中使用相同量化位元的量化器時，因為訊號變大量化雜訊也就變大，故訊號失真就變嚴重。如果要降低量化雜訊就要增加量化位元使量化位階便多，如此就增加量化過程的複雜度及成本。
2. 在射頻電路功率放大器中，其線性放大訊號有一定範圍，當訊號振幅大於某一範圍就進入飽和區，在飽和區信號會因非線性放大而失真。OFDM訊號是由多個調變過的子載波訊號的線性疊佳而成，當載波數變多訊號功率可能超過放大器線性區域造成通道失真。

参见

• 频率分集

參考書目

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外部連結

• OFDM简介（英文）OFDM简介（法文）OFDM系统中的线性预编码技术（英文）- Tutorial written by Prof. Debbah, head of the Alcatel-Lucent Chair on flexible radio
• Numerous useful links and resources for OFDM - WCSP Group - University of South Florida (USF)
• WiMAX Forum, WiMAX, the framework standard for 4G mobile personal broadband
• Flarion Technologies, the inventor of FLASH-OFDM
• QUALCOMM, parent company of Flarion Technologies
• Stott, 1997 [1] Technical presentation by J H Stott of the BBC's R&D division, delivered at the 20 International Television Symposium in 1997; this URL accessed 24 January 2006.
• Page on Orthogonal Frequency Division Multiplexing at http://www.iss.rwth-aachen.de/Projekte/Theo/OFDM/node6.html accessed on 24 September 2007.
• Siemens demos 360 Mbit/s wireless
• 1994 US Patent 5,282,222 for wireless data transmission - The patent "tree" rooted on this patent has upwards of 20000 nodes and leaves references.
• An Introduction to Orthogonal Frequency Division Multiplex Technology