Forma indeterminada

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

$0\div 0$
${\infty }\div {\infty }$
$0\times \infty$
$\infty -\infty$
$0^{0}$
$1^{\infty }$
$\infty ^{0}$
${\sqrt[{0}]{1}}$
${\sqrt[{\infty }]{0}}$
${\sqrt[{\infty }]{\infty }}$
$\log _{0}(0)$
$\log _{\infty }(\infty )$
$\log _{1}(1)$
$\log _{\infty }(0)$
$\log _{0}(\infty )$

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, menos generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado

La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x³, x/x, y x²/x se van a $\scriptstyle \infty$ , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0, $\scriptstyle \infty$ o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}

\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}

La forma ထ/ထ

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ထ/ထ. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {+\infty }{+\infty }}

\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {+\infty }{+\infty }}

Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ထ

\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )

\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty

Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es $\infty$ , no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo $\infty -\infty$ . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada

La forma 0⁰

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.

La forma ထ⁰
La forma 1^ထ

Ejemplo: el siguiente límite^[1]

\lim _{x\to 0^{+}}x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}

, es de la forma

0^{0}

; considerando

y=x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

\ln y={\frac {3}{4+\ln x}}\ln x

aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene

\ln y=3\cdot {\frac {1/x}{1/x}}=3

de manera que el límite sería

\lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}

Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada	Condiciones	Transformación a 0/0	Transformación a ထ/ထ
${\frac {0}{0}}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty \over \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$	—
$\qquad 0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\qquad 1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$\qquad 0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$\qquad +\infty -\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$