Función de Möbius

August Ferdinand Möbius
Función de Möbius
Nombrado por	August Ferdinand Möbius
Año de publicación	1832
Autor de la publicación	August Ferdinand Möbius
No. de términos conocidos	infinito
Primeros términos	1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1
índice OEIS	A008683; Función mu(n) de Möbius (o Moebius). mu(1) = 1; mu(n) = (-1)^k si n es el producto de k primos diferentes; en caso contrario mu(n) = 0.;
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La función de Möbius μ(n), nombrada así en honor a August Ferdinand Möbius, es una función multiplicativa estudiada en teoría de números y en combinatoria.

Definición

μ(n) está definida para todos los enteros positivos n^[1] y tiene valores en {-1, 0, 1} dependiendo en la factorización de n en sus factores primos. Se define como sigue:

μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos.
μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos.
μ(n) = 0 si n es divisible por algún cuadrado.

Una definición equivalente se define haciendo uso de las funciones ω(n) y Ω(n), donde:

ω(n) obtiene el número de primos distintos que dividen el número.
Ω(n) obtiene el número de factores primos de n, incluyendo sus multiplicidades. Claramente, ω(n) ≤ Ω(n).

Así, se define la función de Möbius como

$\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{si }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{si }}\;\omega (n)<\Omega (n).\end{cases}}$

La definición implica que μ(1) = 1, ya que 1 tiene 0 factores primos distintos, por lo tanto, un número par.

Representación

La tabla de valores de μ(n) para los veinte primeros números enteros positivos (sucesión A008683 en OEIS) es:^[2]

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
μ(n)	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

Los 50 primeros valores de la función μ(n), representados en la gráfica siguiente:

Propiedades y aplicaciones

La función de Möbius es multiplicativa, y tiene gran relevancia en la teoría de las funciones multiplicativas y aritméticas puesto que aparece en la fórmula de inversión de Möbius. La suma sobre todos los divisores positivos de n de la función de Möbius es cero excepto cuando n = 1.

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}n=1\\0&{\mbox{ si }}n>1.\end{cases}}$

Otras aplicaciones de μ(n) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de Pólya en grupos combinatorios.

Teoría de números

Artículo principal: Función de Mertens

En teoría de números, la función de Mertens está emparentada con la función de Möbius, y se define como:

$M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)$

para todo número natural n. Esta función está relacionada con las posiciones de los ceros de la función ζ de Euler-Riemann y con la conjetura de Riemann.