Función implícita

Una función se llama implícita cuando está definida mediante una ecuación de la forma $f(x,\,y)=0.$

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de $\mathbb {R} ^{2}$ entre las variables x e y:

$y^{3}+y^{2}+5xy+x^{2}+x+y=0\,$

Derivación

Para derivar una función implícita se usa la regla de la cadena; en el caso de la variable independiente, sin dificultad alguna, se deriva directamente; al derivar la variable dependiente se la considera como una función que a su vez depende de la variable independiente:

Dada una función $F(x,y)\,$, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: ${\frac {dy}{dx}}=f'(x)$.

Si consideramos $y=f\left(x\right)$ es una función en términos de la variable independiente x y $G\left(y\right)$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que $y=f\left(x\right)$, entonces para obtener la derivada:

$D_{x}\left(G\left(y\right)\right)=D_{x}\left(G\left(f\left(x\right)\right)\right)=G'\left(f\left(x\right)\right)\left(f'\left(x\right)\right)$

Ejemplo

Obtener la derivada de:

$6x^{2}y+5y^{3}+3x^{2}=12-x^{2}y^{2}$

El término $6x^{2}y$ se puede considerar que son dos funciones, $6x^{2}$ y $y$ por lo que se derivará como un producto:

$D_{x}\left(6x^{2}y\right)=\left(12x\right)\cdot y+\left(6x^{2}\right)\cdot \left({\frac {dy}{dx}}\right)$

El término $5y^{3}$ se deriva como:

$D_{x}\left(5y^{3}\right)=15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}$

El término $3x^{2}$ se deriva de forma normal como:

$D_{x}\left(3x^{2}\right)=6x\,$

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

$D_{x}\left(12\right)=0\,$

El término $x^{2}y^{2}$ se puede considerar como un producto y se deriva como:

$D_{x}\left(x^{2}y^{2}\right)=2xy^{2}+x^{2}\cdot \left(2y\cdot {\frac {dy}{dx}}\right)$

Al unir todos los términos se obtiene:

$12xy+6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+6x=-2xy^{2}-2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}$

Ordenando:

$6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}=-12xy-6x-2xy^{2}$

Factorizando respecto a ( ${\frac {dy}{dx}}$ ) los valores son:

$\left(6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y\right)\cdot {\frac {dy}{dx}}=-\left(12xy+6x+2xy^{2}\right)$

Finalmente despejando ${\frac {dy}{dx}}$ se obtiene la derivada de la función implícita:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {12xy+6x+2xy^{2}}{6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y}}$

Véase también

• Función matemática
• Derivada
• Teorema de la función implícita

Referencias

• John B. FRALEIGH. Cálculo con geometría analítica. Fondo Educativo Interamericano, S.A. México D.F., 1984 ISBN 968-50-0127-8

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Implicit Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Implicit_function&oldid=17179», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

• Datos: Q1196523